1、1 第十六届全国中学生物理竞赛第十六届全国中学生物理竞赛预赛试卷预赛试卷 全卷共九题，总分为 140 分。 一、 （10 分） 1到 1998 年底为止，获得诺贝尔物理学奖的华人共有_人，他们的姓名是_ _。 21998 年 6 月 3 日，美国发射的航天飞机“发现者”号搭载了一台磁谱仪，其中一个 关键部件是由中国科学院电工研究所设计制造的直径 1200mm、高 800mm、中心磁感强度为 0.1340T 的永久磁体。用这个 磁谱仪期望探测到宇宙中可能存在的_。 3到 1998 年底为止，人类到达过的地球以外的星球有_，由地球上发射 的探测器到达过的地球以外的星球有_。 二、 （15 分）一质
2、量为M的平顶小车，以速度 0 v沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一 质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为。 1. 若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？ 2. 若车顶长度符合 1 问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？ 三、 （15 分）如图预 16-3 所示，两个截面相同的圆柱形容器，右边容器高为H，上端封闭， 左边容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装有阀门的极细管道相连通， 容器、活塞和细管都是绝热的。开始时，阀门关闭，左边 容器中装有热力学温度为 0 T的单原子理想气体， 平衡时活 塞到容器底的距离为H， 右边容器
3、内为真空。 现将阀门缓 慢打开，活塞便缓慢下降，直至系统达到平衡。求此时左 边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。 提示：一摩尔单原子理想气体的内能为 3 2 RT，其中R为摩尔气 体常量，T为气体的热力学温度。 四、 （20 分）位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd。ab长为 1 l， 是水平的，bc长为 2 l，线框的质量为m，电阻为R.。其下方有一匀 强磁场区域，该区域的上、下边界PP和QQ均与ab平行，两边界 间的距离为H， 2 Hl，磁场的磁感应强度为B，方向与线框平面垂 直，如图预 16-4 所示。令线框的dc边从离磁场区域上边界PP的距 离为h处自由下落，已知在线框的dc边进入磁
4、场后，ab边到达边界 PP之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到dc边刚刚到 达磁场区域下边界QQ的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功为多少？ 1999 年 2 五、 （15 分）一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2 f处，垂直于主 轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上（如图预 16-5） 。 1. 用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。 2. 用计算法求出此像的位置和大小。 六、 （15 分）如图预 16-4-1 所示，电阻 12 1kRR，电动势6VE，两个相同的二极管D 串联在电路中，二极管D的 DD IU特性曲线
5、如图预 16-6-2 所示。试求： 1. 通过二极管D的电流。 2. 电阻 1 R消耗的功率。 七、 （15 分）将一根长为 100 多厘米的均匀弦线，沿水平的x轴放置，拉紧并使两端固定。现 对离固定的右端 25cm 处（取该处为原点O，如图预 16-7-1 所示）的弦上一点施加一个沿垂 直于弦线方向（即y轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图预 16-7-2 所示。该扰动 将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波） 。已知该波在弦线中的传播速度为2.5cm/s，且波在 传播和反射过程中都没有能量损失。 1. 试在图预 16-7-1 中准确地画出自O点沿弦向右传播的波在2.5st 时的波形图。
6、2. 该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播，反射点总是固定不动的。这 可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零。由此观点出发， 试在图预 16-7-1 中准确地画出12.5st 时的波形图。 3. 在图预 16-7-1 中准确地画出10.5st 时的波形图。 3 八、 （15 分）1997 年 8 月 26 日在日本举行的国际天文学会上，德国 Max Planck 学会的一个研 究组宣了他们的研究成果：银河系的中心可能存在一个在黑洞。他们的根据是用口径为 3.5m 的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得到的数据，他们 发现，距离银
7、河系中心约 60 亿公里的星体正以2000km/s的速度围绕银河系中心旋转。根据 上面的数据，试在经典力学的范围内（见提示 2） ，通过计算确认，如果银河系中心确实存在 黑洞的话，其最大半径是多少。 （引力常数 20312 6.67 10kmkgsG ） 提示：1. 黑洞是一种密度极大的天体，其表面的引力是如此之强，以至于包括光在内的 所有物质都不了其引力作用。 2计算中可以采用拉普拉斯经典黑洞模型，在这种模型中，在黑洞表面上的所有 物质，即使初速度等于光速c也逃脱不了其引力的作用。 九、 （20 分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为 1 和 2 （ 12 ） 。 现让一长
8、为L、密度为 12 1 () 2 的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体 分界面的距离为 3 4 L，由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍运 动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动， 未露出液面，也未与容器相碰。 4 第十六届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答第十六届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答 一、参考解答 1. 五，杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦 2. 反物质 3. 月球，月球、火星 二、参考解答 1. 物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始 加速运动，而小车将做减速运动
9、，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度， 则物块就刚好不脱落。令v表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水 平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即 0 ()MvmM v （1） 从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即 2 1 1 2 mvmgs （2） 其中 1 s为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即 22 02 11 22 Mvmvmgs （3） 其中 2 s为小车移动的距离。用l表示车顶的最小长度，则 21 lss （4） 由以上四式，可解得 2 0 2() Mv l g mM （5） 即车顶的长度至少
10、应为 2 0 2() Mv l g mM 。 2由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即 22 0 11 () 22 WmM vMv （6） 由（1）、（6）式可得 2 0 2() mMv W mM （7） 三、参考解答 设容器的截面积为A，封闭在容器中的气体为摩尔，阀门打开前，气体的压强为 0 p。 5 由理想气体状态方程有 00 p AHRT （1） 打开阀门后，气体通过细管进入右边容器，活塞缓慢向下移动，气体作用于活塞的压强 仍为 0 p。活塞对气体的压强也是 0 p。设达到平衡时活塞的高度为x，气体的温度为T，则有 0( )p Hx ART （2） 根据热力学第一定律，活塞
11、对气体所做的功等于气体内能的增量，即 00 3 ()() 2 p Hx AR TT （3） 由（1）、（2）、（3）式解得 2 5 xH （4） 0 7 5 TT （5） 四、参考解答 设线框的dc边刚到达磁场区域上边界PP时的速度为 1 v，则有 2 1 1 2 mvmgh （1） dc边进入磁场后，按题意线框虽然受安培力阻力作用，但依然加速下落设dc边下落到 离PP的距离为 1 h时，速度达到最大值，以 0 v表示这个最大速度，这时线框中的感应电动势 为 1 0 Bl vE 线框中的电流 1 0 Bl v I RR E 作用于线框的安培力为 2 2 10 1 B l FBl I R v （
12、2） 速度达到最大的条件是安培力 Fmg 由此得 0 2 2 1 mgR v B l （3） 在dc边向下运动距离 1 h的过程中，重力做功 1G Wmg h，安培力做功 F W，由动能定 理得 22 01 11 22 FG WWmvmv 6 将（1）、（3）式代入得安培力做的功 322 1 4 4 1 2 F m g R Wmg hmgh B l （4） 线框速度达到 0 v后，做匀速运动当dc边匀速向下运动的距离为 221 hlh时，ab边 到达磁场的边界PP， 整个线框进入磁场 在线框dc边向下移动 2 h的过程中， 重力做功 G W ， 安培力做功 F W，但线框速度未变化，由动能定理
13、 0 FG WW 221 () FG WWmg hmg lh （5） 整个线框进入磁场后，直至dc边到达磁场区的下边界QQ，作用于整个线框的安培力为 零，安培力做的功也为零，线框只在重力作用下做加速运动。 所以，整个过程中安培力做的总功 322 2 4 4 1 () 2 FF m g R WWWmg lh B l （6） 编注：此题命题有不严密之处。由微分方程 2 2 1 d d B lv mgm Rt v 的解 2 2 1 2 2 1 B l mR t B l mgl R v 可知，只有当t 时，v才能趋向极限速度 0 2 2 1 mgR v B l （即线框下落无穷长的距离，速度才 能趋向
14、 0 v）。原题说ab边未进入磁场即达到最大速度是不确切的。 五、参考解答 1. 用作图法求得物AP，的像A P及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。 说明：平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜L和与它密接的平面镜M的组合 LM，如图预解16-5所示图中O为L的光心，AOF为主轴，F和F为L的两个焦点，AP 为物，作图时利用了下列三条特征光线： 7 （1） 由P射向O的入射光线， 它通过O后方向不变， 沿原方向射向平面镜M， 然后被M 反射，反射光线与主轴的夹角等于入射角，均为。反射线射入透镜时通过光心O，故由透 镜射出时方向与上述反射线相同，即图中的OP （2） 由P发出已通过L左方
15、焦点F的入射光线PFR， 它经过L折射后的出射线与主轴平 行，垂直射向平面镜M，然后被M反射，反射光线平行于L的主轴，并向左射入L，经L折 射后的出射线通过焦点F，即为图中的RFP （3）由P发出的平行于主轴的入射光线PQ，它经过L折射后的出射线将射向L的焦点 F，即沿图中的QF方向射向平面镜，然后被M反射，反射线指向与F对称的F点，即沿 QF方向。 此反射线经L折射后的出射线可用下法画出： 通过O作平行于QF的辅助线S OS， S OS通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于T点，由于入射平行光线经透镜后相交于焦 面上的同一点，故QF经L折射后的出射线也通过T点，图中的QT即为QF经L折射后的
16、出 射光线。 上列三条出射光线的交点P即为LM组合所成的P点的像，对应的A即A的像点由图 可判明， 像A P是倒立实像， 只要采取此三条光线中任意两条即可得A P， 即为正确的解答。 2. 按陆续成像计算物AP经LM组合所成像的伙置、大小。 物AP经透镜L成的像为第一像，取 1 2uf，由成像公式可得像距 1 2vf，即像在平向 镜后距离2 f处，像的大小H与原物相同，HH。 第一像作为物经反射镜M成的像为第二像。 第一像在反射镜M后2 f处， 对M来说是虚 物，成实像于M前2 f处。像的大小 H 也与原物相同，HHH。 第二像作为物，而经透镜L而成的像为第三像，这时因为光线由L右方入射，且物
17、（第二 像）位于L左方，故为虚物，取物 3 2uf，由透镜公式 33 111 uvf 可得像距 3 3 3 2 0 3 fu vf uf 上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离 2 3 f处，像的大小 H 可 由 3 3 1 3 vH Hu 求得，即 11 33 HHH 8 像高为物高的 1 3 。 六、参考解答 解法一： 设二极管D两端的管压为 D U，流过二极管的电流为 D I。则有 D DD1 2 2 2 U UIR R E （1） 代入数据解得 D U与 D I的关系为 3 DD (1.50.2510 )VUI （2） 这是一在图预解16-6中横轴上截距为1.5， 纵
18、轴上 截距为 6、斜率为4的直线方程（称为二极管的负载 线）因管压 D U与流过二极管电流 D I还受二极管D的 D I D U特性曲线的限制，因而二极管就工作在负载 线与 D I D U特性曲线的相交点P上（如图预解 16-6）由此得二极管两端的管压和电流分别为 D 1VU, D 2 mAI （3） 电阻 1 R上的电压 D1 24VUUE 其功率 2 1 1 1 16 mW U P R （4） 解法二： 设两个二极管用一个等效二极管 D 代替，当流过等效二极管的电流为 D I 时，等效二极管 的管压为 DD 2UU 。 即有 D DD1 2 () U UIR R E （1） 代入数据解得
19、D U 与D I 的关系为 9 3 DD (3 0.510 )VUI （2） 这是一在横轴上截距为3、 纵轴上截距为6、 斜率为2的负载线方程， 二极管 D 的 DD IU 特性曲线只要将图预解16-6的横坐标增大1倍即可用作图法，求出负载线与管 D 的特性曲线 相交的P点得 D 2 VU ， D 2 mAI （3） 电阻 1 R上的电压 D1 4VUU E 其功率 2 1 1 1 16 mW U P R （4） 七、参考解答 10.5st 和12.5st 的波形如图预解16-7-1所示。 其中10.5 s 时的波形， 如果没有固定点应如AB所示， 以固定点D对称作出反射波B C， 再和AC合
20、成，形成了AED（图预解16-7-2）。12.5 s 的波形，如果没有固定点应如AB所 示，以固定点对称作出反射波A B（图预解16-7-3） 10 八、参考解答 首先求出一定质量的引力源成为黑洞应满足的条件按照黑洞的定义，包括以光速运动 的光子也不能脱离黑洞的吸引，即不能逃离黑洞的表面而拉普拉斯经典黑洞模型则把光看 做是以光速c运动的某种粒子我们知道，物体在引力作用下的势能是负的，物体恰能逃离引 力作用，表示物体运动到无限远的过程中，其动能恰好全部用于克服引力做功物体在无限 远处时，动能和势能都等于零这意味着该物体处在引力源表面处时，其动能与势能之和亦 等于零物体不能逃离引力作用，表示该物体
21、尚未到达无限远处，其动能已全部用于克服引 力做功，但引力势能仍是负的这意味着它在引力源表面处时，其动能与势能之和小于零若 某引力源的质量为M，半径为 B r，质量为m的粒子在引力源表面的速度等于光速，但它仍不 能逃离引力作用，则按牛顿力学的观点应有下列关系： 2 1 0 2 B Mm mcG r （1） 或 2 2 B GM r c （2） 这就是说，对于质量为M的引力源，只有其半径 B r（叫做黑洞的引力半径）小于 2 2GM c 时才会在其表面产生足够强的引力，使得包括光在内的所有物质都不能脱离其引力作用对 光而言，人们将无法通过光学测量看到它，这就是把它叫做黑洞的原因 现在再来根据观测数
22、据确定存在于银河系中心的大黑洞的半径设位于银河系中心的引 力源的质量为M，绕银河系中心旋转的星体的质量为m，该星体做圆周运动时， 有下列关系： 2 2 vmM mG rr 即 2 rv M G （3） r为轨道半径若该引力源为黑洞，则其质量分布球的半径应满足（2）式，即 22 22 2 2 B G v rv r r Gcc （4） 根据观测数据， 36 2 10 km/s=2 10 m/sv ， 812 60 10 km=6 10mr ，而 8 3 10 m/sc ， 把这些数据代入（4）式，得 85 5.3 10 m=5.3 10 km B r （5） 这说明，对质量由（3）式决定的引力源来
23、说，半径小于 5 5.3 10 km时才是黑洞，大于这 个数值则不是黑洞所以如果银河系中心存在黑洞的话，该黑洞的半径小于 5 5.3 10 km 九、参考解答 1用S表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中， 木棍受向下的重力 12 1 () 2 LSg和向上的浮力 1LSg 。由牛顿第二定律可知，其下落的加 速度 11 21 1 12 ag （1） 用 1 t表示所需的时间，则 2 1 1 31 42 La t （2） 由此解得 12 1 21 3 () 2() L t g （3） 2木棍下端开始进入下面液体后，用L表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重 力
24、不变，仍为 12 1 () 2 LSg，但浮力变为 12( )LSgLL Sg当LL时，浮力小于 重力；当0L 时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置用 0 L表示在此平衡位 置时，木棍在上面液体中的长度，则此时有 121 020 1 ()() 2 LSgL SgLLSg （4） 由此可得 0 2 L L （5） 即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交界面上， 竖直方向为z轴，向上为正，则当木棍中点的坐标0z 时，木棍所受合力为零当中点坐标 为z时，所受合力为 121221 111 ()() 222 LSgLz SgLz SgSgzkz 式中 21
25、()kSg （6） 这时木棍的运动方程为 12 1 () 2 z kzLSa z a为沿z方向加速度 221 12 () 2 () z gz az L 221 12 () 2 () g L （7） 由此可知为简谐振动，其周期 12 21 ()2 2 2() L T g （8） 12 为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅A木棍下端刚进入下面液体时， 其速度 1 1 vat （9） 由机械能守恒可知 222 12 1 111 () 2 222 SL vkzkA （10） 式中 1 2 zL为此时木棍中心距坐标原点的距离，由（1）、（3）、（9）式可求得v，再将v 和（6）式中的k代人（
26、10）式得 AL （11） 由此可知， 从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达 坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（如图预解 16-9）上可知，对应的为30，对应的时间为/12T。因此 木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的 时间，即棍中心从 2 L z 到 2 L z 所用的时间为 12 2 21 () 212 32() LT t g （12） 3从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和1 中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与 1 a一样，其过程和1中情况 相反地对称，所用时间 31 tt （13） 4总时间为 12 123 21 ()6 62 6
27、() L tttt g （14） 13 第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题 全卷共六题，总分为 140 分。 一、（20 分） 一汽缸的初始体积为 0 V， 其中盛有2 mol的空气和少量的水 （水的体积可以忽略） 。 平衡时气体的总压强是3.0atm，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚 好全部消失，此时的总压强为2.0atm。若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此 时： 1.汽缸中气体的温度； 2.汽缸中水蒸气的摩尔数； 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。 二、 （25 分）两个焦距分别是 1 f和
28、2 f的薄透镜 1 L和 2 L，相距为d，被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。 三、 （25 分）用直径为1mm的超导材料制成的导线做成一个半径为5cm的圆环。圆环处于超 导状态，环内电流为100A。经过一年，经检测发现，圆环内电流的变化量小于 6 10A 。试 估算该超导材料电阻率数量级的上限。 提示：半径为r的圆环中通以电流I后,圆环中心的磁感应强度为 0 2 I B r ,式中B、I、 r各量均用国际单位， 72 0 410N A 。 四、 （20 分）经过用天
29、文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它 们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个 星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很 远，可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者 相距L。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期T计算。 2. 若实验上观测到的运动周期为T观测， 且:1 :(1 )TTNN 观测计算 。 为了解释T观测与 T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗
30、物质。 作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而 不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。 五、 （25 分）六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为 1、2、3、4、 5 和 6，如图复 16-5-1 所示。现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为 1 D 、 2 D、 5 D。 现将 2 D的 1、3、5 三点分别与 1 D的 2、4、6 三点用导线连接，如图复 16-5-2 所示。然 后将 3 D的 1、3、5 三点分别与 2 D的 2、4、6 三点用导线连接， 依此类推。最后将 5 D的
31、 1、 3、5 三点分别连接到 4 D的 2、4、6 三点上。 1证明全部接好后，在 1 D上的 1、3 两点间的等效电阻为 724 627 R。 1999 年 14 2求全部接好后，在 5 D上的 1、3 两点间的等效电阻。 六、 （25 分）如图复 16-6 所示，z轴竖直向上，xy平 面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在 0 (,0,0)A x处放一 带电量为(0)q q的小物块， 该物块与一细线相连， 细 线的另一端B穿过位于坐标原点O的光滑小孔，可通过 它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂 直与x轴，与z轴夹角为（如图复 16-6 所示） 。设小 物块和绝缘平面间的摩擦系数
32、为tan,且静摩擦系 数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来 牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细 线的B端只准沿z轴向下缓慢移动，不得沿z轴向上移 动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可近似认 为小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是 一条二次曲线，试求出此轨迹方程。 15 第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 一、参考解答 1 只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之 和： 3.0atmppp 总空饱00 （1） 第一次膨胀后 10 2VV 2.0atmppp 总空饱11 （2）
33、 由于第一次膨胀是等温过程，所以 010 2pVpVpV 空空空011 （3） 解（1）、（2）、（3）三式，得 1.0 atmp 饱 （4） 2.0atmp 空0 （5） 1.0atmp 空1 （6） 由于1.0 atmp 饱 ，可知汽缸中气体的温度 0 373KT （7） 根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。 2 设水蒸气为mol水经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为p饱，这 时对于水蒸气和空气分别有 10 p VRT 饱水 （8） 100 2pVRTRT 空1空 （9） 由此二式及（5） 、 （6）式可得 2 mol 水 （10） 3. 在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想
34、气体处理，有 21 pVpV 总2总1 （11） 由题意知， 20 4VV， 10 2VV，再将（2）式代入，得 1.0atmp 总2 （12） 16 二、参考解答 l 在所示的光路图 （图复解16-2-1） 中， 人射光AB经透镜 1 L折射后沿BC射向 2 L， 经 2 L 折射后沿CD出射AB、BC、CD与透镜主轴的交点分别为P、 P 和 P ，如果P为物点， 因由P沿主轴射向 1 O的光线方向不变，由透镜性质可知， P 为P经过 1 L所成的像， P 为 P 经 2 L所成的像，因而图中所示的 1 u、 1 v、 2 u、 2 v之间有下列关系： 111 111 uvf （1） 222
35、 111 uvf （2） 21 duv （3） 当入射光线PB与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得 2 1 vh hu , 2 1 uh hv 从而求得 22 11 vu uv （4） 联立方程（1）、（2）、（3）、（4），消去 1 v、 2 u和 2 v，可得 1 1 12 () f d u dff （5） 由于d、 1 f、 2 f均已给定，所以 1 u为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行， 则此入射光线必须通过主轴上一确定的点， 它在 1 L的左方与 1 L相距 1 1 12 () f d u dff 处， 又由 17 于 1 u与无关，凡是通过该点射向 1 L
36、的入射光线都和对应的出射光线相互平行 2由所得结果（5）式可以看出，当 12 dff时， 1 0u ，此情况下的光路图就是图复 解16-2-1 当 12 dff时， 1 u ，0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复 解16-2-2 当 12 dff时， 1 0u ，这表明P点在 1 L的右方，对 1 L来说，它是虚物由（1）式可 知，此时 1 0v ，由 2 21 1 f uv f 可知， 2 0u ，又由 21 22 0 uv vu 可知， 2 0v ，所以此时的光路 图如图复解16-2-3 三、参考解答 根据题中所给的条件，当圆环内通过电流I时，圆环中心的磁感应强度 01 2
37、B r 穿过圆环的磁通量可近似为 0 2 BSIr （1） 根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小 0 2 I r tt E （2） 圆环的电阻 0 2 rI R IIt E （3） 根 据 题 设 条 件 0.05mr ， 72 0 410N A ，100AI ， 614 10A/s3 10A/s I t ,代入（3）式得 23 3 10R （4） 18 由电阻与电阻率、导线截面积S、长度L的关系 L R S 及已知导线的直径1mmd ，环半径5cmr ，得电阻率 2 29 7.5 10m 8 Sd RR Lr （5） 四、参考解答 1双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设运
38、动速率为v，向心加速度满足下面的方 程： 22 2 /2 vGM M LL （1） 2 GM v L （2） 周期 2 ( /2)2LL TL vGM 计算 （3） 2根据观测结果，星体的运动周期 1 TTT N 观察计算计算 （4） 这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力， 按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与 一质量等于球内暗物质的总质量 M 位于中点处的质量点相同考虑暗物质作用后双星的速度 即为观察到的速度v观，则有 2 2 22 ( /2) v GMMM MG LLL 观 /2 （5） (4) 2 G
39、MM v L 观 （6） 因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由（4）式得 11 vvN 观 1 （7） 把（2）、（6）式代入（7）式得 1 4 N MM （8） 设所求暗物质的密度为，则有 3 41 324 LN M 故 19 3 3(1) 2 NM L （9） 五、参考解答 解法一： 1（1）电阻图变形 此题连好的线路的平面图如图预解16-5-1所示 现将电阻环改画成三角形，1、3、5三 点为顶点，2、4、6三点为三边中点，如图 预解15-2与图预解16-5-3所示整个连好 的线路相当于把 n D的三个顶点分别接到 1n D 的三个中 点上，图预解 16-5-1变为图 预解16-5-4
40、这 样第1问归结 为 求 图 预 解 16-5-4中最外 层三角环任意 两顶点间的等 效电阻。 （2）递推公式 为使图形简化，讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为r的电阻 构成一个三角环，将其顶点接在另一由六个阻值为R的电阻构成的三角环的中点上（如图预 解16-5-5所示）。 图预解16-5-6是由六个阻值为 R 的电阻构成的三角环。若图预解16-5-5顶点1、3间的电 阻与图预解16-5-6顶点l、3间的电阻阻值相等，我们称图预解16-5-6中的 R 为等效单环电阻 20 用符号“/”表示电阻的并联，如 1 / (1/)(1/) BA BA RR RR 由图预解16-5-
41、5中的对称性可知l、3两顶点间的电阻 1,3 R等于图 预解16-5-7中1、0间的电阻 1,0 R的2倍，即 1 31,0 2 2 2/ /(2 )/ 1 2/111 2 43 2/ 23 1 43 3 RR RrrRR R R Rrr rRR R rR rR R rR ，= 1 / 3 RrR （1） 同理，图预解16-5-6中1、3两顶点间的电阻 1,3 R为 1,3 4 2(2)/ 3 RRRR （2） 由（1）、（2）式得等效单环电阻 R 为 31 / 44 RRrR （3） 2. 第一问 现在考虑把 1 D、 2 D、 3 D、 4 D、 5 D按相反的次序， 由内向外依次连接的情
42、况 首先将 4 D 接在 5 D外面，求双环 54 DD的等效单环电阻 (2) R即（3）式中的 R 这时rR由（3） 21 式得到 (2) R为 (2) 317 / 448 RRRRR 其次， 在双环 54 DD外面接上 3 D， 这时 (2) rR 三环 534 DDD的等效单环电阻 (3) R 为 (3)(2) 3131713 / 4444815 RRRRRRRR 由此可得一般公式，(1)s环的等效单环电阻 1()s R 可由 s R( )求出 1() 31 / 44 ss RRRR ( ) （4） 于是 13 15 43 313197 / 4444112 RRRRRRRR ( )( )
43、 97 112 54 3131181 / 4444209 RRRRRRRR ( )( ) 由 （ 2 ） 式 1 , 3 ( 4 / 3)R R 得 出 由 一 个 环 （ 5 D） 、 两 个 环 （ 54 DD） 直 至 五 个 环 （ 54321 DDDDD）构成的线路1、3点间的电阻为 (1) 1,3 44 33 RRR (2) 1,3 4 77 3 86 RRR (3) 1,3 4 1352 3 1545 RRR (4) 1,3 49797 3 11284 RRR (5) 1,3 4 181724 3 209627 RRR 答：所求的五个环的1与3间的等效电阻确为 724 627 R证毕。 3. 第二问 根据五个D组
