1、P41P42P42P45直线共面的证明直线共面的证明与空间四边形有关的问题与空间四边形有关的问题 异面直线所成的角异面直线所成的角阶段复习课第二章 请你根据下面的体系图快速回顾本章内容,把各序号代表的含义填到对应的横线上,并构建出清晰的知识网络.题型 一 空间线线、线面、面面的位置关系【典例1】(2013绍兴高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是()A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行【解析】选D.取CC1的中点P,易证CC1平面PMN,故MNCC1,分别取BC,DC的中点,易证M
2、NBD,MNAC,又因为BD不平行于A1B1,故D错误.【典例2】设l,m,n表示三条直线,表示三个平面,给出下列四个结论：若l,m,则lm;若m,n是l在内的射影,ml,则mn;若m,mn,则n;若,则.其中正确的为()A.B.C.D.【解析】选A.正确,可用线面垂直证明,正确,中,n可能在内;中,可能有,相交或平行,故选A.【技法点拨】判定空间线线、线面、面面的位置关系的注意点(1)空间线线、线面、面面的位置关系的认识和判定是学习立体几何的基础,要在空间几何体和空间图形中理解、表述位置关系,发展空间想象能力.(2)空间位置关系的判定要紧扣定义,正确把握其内涵,判断中可以结合实例或者转化到我
3、们熟悉的长方体、正方体模型中进行观察.题型 二 共点、共线、共面问题【典例3】如图,若ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交,并且直线AA1,BB1,CC1相交于一点O,求证：(1)AB和A1B1,BC和B1C1,AC和A1C1分别在同一平面内.(2)如果AB和A1B1,BC和B1C1,AC和A1C1分别相交,那么交点在同一直线上.【证明】(1)因为AA1BB1=O,所以AA1,BB1确定平面ABO,因为A,A1,B,B1都在平面ABO内,所以AB平面ABO,A1B1平面ABO,即AB和A1B1在同一平面内.同理可证,BC和B1C1,AC和A1C1分别在同一平面内.(2)设ABA1B1=P
4、,ACA1C1=R,所以平面ABC平面A1B1C1=PR.因为BC平面ABC,B1C1平面A1B1C1,且BCB1C1=Q,所以QPR,即P,R,Q在同一直线上.【技法点拨】点共线、线共点、点或线共面问题的常用证明方法(1)证明点共线,常常采用的方法：转化为证明这些点是某两个平面的公共点,然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上;证明多点共线问题时,通常是过其中两点作一直线,然后证明其他的点都在这条直线上.(2)证明空间的点、线共面问题,通常采用的方法：根据已知条件先由其中部分点或直线确定一个平面,再证明其他点或直线也在这个平面内;分别过某些点或直线作两个平面,证明这两个平面重合.(3)
5、证明线共点,就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点.解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点,再证该点也在其他直线上.题型 三 直线、平面平行的问题【典例4】(2013温州高一检测)如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,E是AC的中点.(1)求证：AB1平面BEC1.(2)求二面角E-BC1-C的正弦值.【解析】(1)连接B1C交BC1于点F,连接EF.在AB1C中,因为E,F分别为AC,B1C的中点,所以EFAB1.因为AB1 平面BEC1,EF平面BEC1,所以AB1平面BEC1.(2)因为E为AC的中点,所以BEAC,从而BE平面ACC1A1,过C作CHEC1
6、交EC1于H,CH平面CC1A1A,所以CHBE,所以CH平面BEC1.所以CHBC1,过H作HDBC1于D,连接CD,则BC1平面CDH,所以BC1CD,故CDH为二面角E-BC1-C的平面角.所以1111C C CEBC CC22 2CHCD2C EBC52 2，CH10sin CDH.CD5【技法点拨】平行问题的常用证明方法(1)证明直线与平面平行常用的两种方法：转化为线线平行;转化为面面平行.(2)证明线线平行常用的两种方法：构造平行四边形;构造三角形的中位线.(3)证明面面平行：面面平行判定定理;线面垂直的性质.题型 四 直线、平面垂直的问题【典例5】(2013聊城高一检测)如图所示
7、,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CDAE.(2)PD平面ABE.【证明】(1)因为PA底面ABCD,所以CDPA,又CDAC,PAAC=A,故CD平面PAC.又AE平面PAC,故CDAE.(2)因为PA=AB=BC,ABC=60,所以PA=AC.又因为E是PC的中点,所以AEPC.由(1)知CDAE,CDPC=C,从而AE平面PCD,故AEPD.因为PAAB,ABAD,所以AB平面PAD,所以BAPD,又因为BAAE=A,所以PD平面ABE.【技法点拨】垂直问题的常用证明方法(1)证明直线与平面垂直往往转
8、化为证明直线与直线垂直,而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平面垂直.(2)证明面面垂直常用的方法是利用面面垂直的判定定理,即证明一个平面经过另一个平面的垂线.一般先在现有直线中寻找垂线,若图中不存在这样的直线,则需要借助中线、高线等辅助线来解.同时,已知面面垂直要转化为线面垂直来应用.题型 五 空间角的求法【典例6】(2012四川高考)如图,在三棱锥P-ABC中,APB=90,PAB=60,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.(1)求直线PC与平面ABC所成的角的正切值大小.(2)求二面角B-AP-C的正切值大小.【解析】(1)如图连接OC.由已知,OCP为直线PC与
9、平面ABC所成的角,设AB的中点为D,连接PD,CD.因为AB=BC=CA,所以CDAB.因为APB=90,PAB=60,所以PAD为等边三角形,不妨设PA=2,则OD=1,OP=,AB=4.所以CD=2 ,OC=在RtOCP中，3322ODCD1 1213.OP339tan OCP.OC1313(2)过D作DEAP于E,连接CE.由题知D，E分别为AB，AP中点，所以DEBP.由已知可得,CD平面PAB.所以CDPA,又DEPA，所以PA平面CDE，所以CEPA，所以,CED为二面角B-AP-C的平面角.由(1)知,DE=，在RtCDE中,故二面角B-AP-C的正切值为2.3CD2 3tan
10、 CED2DE3，【技法点拨】(1)求解二面角的平面角的步骤：一找(寻找现成的二面角的平面角);二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角);三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值).(2)求异面直线所成的角,常用的方法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线或利用中位线,有时还要利用取中点或作平行线将两条直线平移到相交;补形法：把空间图形补成熟悉的几何体,目的在于方便发现平行关系,进而找到两条异面直线所成的角.方法 一 线、面平行的证明方法【典例1】如图所示,正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,ADE=90,
11、AFDE,DE=DA=2AF=2.(1)求证：AC平面BEF.(2)求四面体BDEF的体积.【解析】(1)设ACBD=O，取BE中点G，连接OG，FG，所以，OGDE，且OG=DE.因为AFDE，DE=2AF，所以AFOG，且OG=AF，从而四边形AFGO是平行四边形，FGOA.因为FG平面BEF，AO 平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF.12(2)因为平面ABCD平面ADEF，ABAD，所以AB平面ADEF，因为AFDE，ADE=90，DE=DA=2AF=2，所以DEF的面积为所以四面体BDEF的体积DEF1SEDAD2,2DEF14VSAB.33【技法点拨】(1)线线平行的证
12、明方法：平行线的传递性：若ab,ac,则bc.平行四边形：平行四边形的对边平行.中位线定理：三角形中位线定理和梯形中位线定理.线面平行的性质定理,即若一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.若两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行.垂直于同一平面的两条直线平行.(2)线面平行的证明方法：线面平行的判定定理,即若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.若两个平面平行,则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面.若平面外的两条平行线中的一条平行于平面,则另一条也平行于这个平面.(3)面面平行的证明方法：若一个平面内的两条相交直线都与
13、另一个平面平行,则这两个平面平行.若两个平面同时与一条直线垂直,则这两个平面平行.若两个平面同时与一个平面平行,则这两个平面平行.方法 二 线、面垂直的证明方法【典例2】(2013泰州市高一检测)在三棱锥S-ABC中,SA平面ABC,SA=AB=AC=BC,点D是BC边的中点,点E是线段AD上一点,且AE=4DE,点M是线段SD上一点.(1)求证：BCAM.(2)若AM平面SBC,求证：EM平面ABS.33【证明】(1)因为AB=AC，D是BC的中点，所以ADBC,(2)AM平面SBCAMSD，SABCBCSADADSAABCAM.AMSADADBC平面平面MESASM4MDMEABSEMAB
14、S.AE4DESAABS平面平面平面SAABCBCABC平面平面【技法点拨】(1)线线垂直的证明方法：定义：若两条直线的夹角为90,则两条直线垂直.勾股定理逆定理：在ABC中,若AB2+AC2=BC2,则A=90,即ABAC.若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直这个平面里的所有直线.若直线垂直两平行直线中的一条,则也垂直另一条.(2)线面垂直的证明方法：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则该直线也垂直于另一个平面.若两个平面垂直,则一个平面内垂直于
15、交线的直线与另一个平面垂直.(3)面面垂直的证明方法：定义：若二面角-l-的平面角为90,则.若一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.1.如图,A,B为正方体的两个顶点,M,P为其所在棱的中点,则异面直线MP,AB在正视图中的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.不确定【解析】选B.正方体的正视图如图,异面直线MP,AB在正视图中平行.2.已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()【解析】选D.由于是正三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是 故侧棱与底面所成角的余弦值为3133A.B.C.D.22
16、36233323，333.263.如图,平行四边形ABCD中,ABBD,沿BD将ABD折起,使平面ABD平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.ABBD,平面ABD平面BCD,且交线为BD,则AB平面BCD,则平面ABC平面BCD,同理CD平面ABD,则平面ACD平面ABD,因此共有3对互相垂直的平面.4.(2013哈尔滨高一检测)已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,下列说法中正确的是()A.若m,n,则mnB.,则C.若m,m,则D.若m,n,则mn【解析】选D.对于A,由于平行于同一个平面的两条直线
17、的位置关系也可能是相交或异面,因此A项不正确;对于B,由于垂直于同一个平面的两个平面也可能是相交平面,因此B项不正确;对于C,由于平行于同一直线的两个平面未必平行,因此C项不正确;对于D,由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行”可知,D正确.5.(2013常州高一检测)给出下列结论：(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直.(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行.(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直.(4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,正确的序号为.【解析】
18、(1)正确.(2)不正确,一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,才能得到这两个平面平行.(3)根据平行线的性质可知结论正确.(4)正确,因为不与交线垂直,显然不垂直于另一个平面.答案：(1)(3)(4)6.(2013北京高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,CD=1,BCD=60,且BDCD,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.(1)求证：BD平面CDE.(2)求证：GH平面CDE.(3)求三棱锥D-CEF的体积.【解析】(1)因为四边形ADEF是正方形,所以EDAD,又平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD.所以ED平面ABCD,所以EDBD.又BDCD,且EDDC=D,所以BD平面CDE.(2)因为G是DF的中点,又易知H是FC的中点,所以在FCD中,GHCD,又因为CD平面CDE,GH 平面CDE,所以GH平面CDE.(3)设RtBCD中，BC边上的高为h，因为CD1，BCD60，BDCD，所以BC2，BD ，所以 2h 1 ，所以h ，即点C到平面DEF的距离是 ，所以3121233232D CEFC DEF1133VV22.3223
