1、 1 2612 反比例函数的图象和性质（反比例函数的图象和性质（1） 广西南宁市天桃实验学校 韦莎莎 一、内容和内容解析 1内容 反比例函数的图象和性质 2内容解析 反比例函数是这一学段教材安排的最后一类函数，与研究一次函数、二次函数的 过程一样，我们得到反比例函数的概念后，研究它的图象和性质。通过图象，可以直 观地得到函数的性质，结合解析式，可以进一步认识函数的性质。图象和解析式结合 研究函数的性质是数形结合的重要方面。研究函数的图象，主要是研究函数的形状、 位置；研究函数的性质，是对函数描述的变化规律的进一步认识。 类比研究二次函数 2 axy 0a图象和性质的过程，对反比例函数图象的研究
2、， 我们也是根据k的正负进行分类。重点研究 k0 时的情形，先从具体的 k 值：6，12 等开始，逐步归纳 k0 时，函数的图象特征和性质；完全类比 k0 时的研究，我们 研究 k0 时的情况，同样遵循从特殊到一般的过程。 我们仍然采用“描点”法画反比例函数的图象。 要对 k 的正负性予以区别，体现分类思想；在对图象的研究和分析时，用“描点” 法画出函数图象，体现数形结合思想；在归纳反比例函数的性质时，体现从特殊到一 般的思想。 探究反比例函数性质的思路是：类比前面研究函数的方法，确定从 k0 和 k0 两种情况进行研究。研究的方法是选取特殊的反比例函数，通过“描点”法画出函数图 象，再通过对
3、图象的探究，归纳得出反比例函数的性质，并加以应用。 基于以上分析，本节课的教学重点是：由反比例函数的图象，并结合解析式，探 究反比例函数的性质。 二、目标和目标解析 1目标 （1）会根据解析式画反比例函数的图象，归纳得到反比例函数的图象特征和性 质。 （2）在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“分类讨论” “数 形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想。 2 2目标解析： 达成目标（1）的标志是：会根据解析式使用“描点”法画出反比例函数的图象， 分析图象特征，归纳得到反比例函数的性质。 达成目标 （2） 的标志是： 画反比例函数的图像时类比画二次函数 2 axy 0a的 方法，分
4、k0 和 k0 两种情况；在画反比例函数图象、探究反比例函数性质时，体 会“数”与“形”的相互转化：解析式与图象；通过具体的图象并结合解析式，归纳得到 反比例函数的性质。 三、教学问题诊断分析 授课班级的学生刚上九年级，基础扎实，思维灵活，具备一定的探索数学问题的 能力。观察能力已有所发展，能按照教学的要求有意识地较长时间地观察，但观察和 表达的精确性，深入性不够。抽象思维处于发展期，同时形象思维还时有表现，其抽 象思维还需要感性经验的支持。在知识基础方面，学生已经学习了一次函数、二次函 数，会用描点法绘制函数图象，能够借助函数图象描述出函数的性质，能够理解函数 的解析式、图象和性质之间的内在
5、联系。 对于用“描点”法画反比例函数图象时，常遇到如下问题： （1） “列表”选点时 x 的取值缺乏代表性，容易忽略 x0 的条件； （2） “连线”时，由于前面所学函数图象是直线或抛物线，容易使学生产生知识 上的负迁移，把双曲线跨象限连接； （3）对双曲线与 x 轴、y 轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解。教学时， 应注意有针对性的引导，注意从解析式的分析入手，让学生先进行“数” （ x0，y0， k0） 、 “式” （解析式中 x，y 的反比例关系）的分析，进而过渡到对 “形” （图象） 的认识。 在前面学习函数图象的时候，学生已经历过观察、分析图象特征，抽象、概括函 数性质的过程，对
6、研究函数性质的方法也有一定的了解。因此通过类比方法，结合反 比例函数的图象探究性质，从方法上不会存在障碍。但反比例函数图象与一次函数图 象、二次函数图象相比，具有自变量取值不为 0 的特殊性，函数在 x=0 没有定义，对 图象不过 x=0 这一点在认识上还存在一定的困难。 教学中应注重引导学生体会由 “数” 到“形” 、由“形”到“数”的转化关系，以“数”与“形”的转化为途径，展开探 究活动。 基于以上分析本节课的教学难点是：对 x0 的理解，以及结合解析式理解反比例 函数的性质。 3 四、教学支持条件分析 本节教学需要借助多媒体、几何画板。 五、教学过程设计 1 1学习导入学习导入 复习提问
7、复习提问 （1）我们学习了反比例函数的定义，什么样的函数是反比例函数？ （2） 大家以前还学过哪些函数？研究这些函数时， 我们是从哪几个方面入手的？ （3）我们已经学习了反比例函数的定义，接下来还应研究它哪方面的知识呢？ （4）回顾对二次函数 2 axy 0a的图象和性质的探究过程。 师生活动：师生活动：教师提出问题，学生思考、回答教师引导学生复习研究二次函数 2 axy 0a的图象和性质的方法和过程，进而提出问题：反比例函数 x k y 中比例 系数 k0，那么应该如何分类讨论？学生回答。 设计意图：设计意图：引导学生回忆解析式的形式和自变量、函数值、k 值的取值范围。结 合复习研究函数的一
8、般方法，引出本节课的学习内容。同时，复习二次函数 2 axy 0a的图象和性质的学习过程时， 先对 a 的正负不同进行分类讨论， 再回忆 画函数图象的步骤和注意事项，接着观察图象的特征（形状、位置、变化趋势等） ， 最后归纳得到函数的性质。让学生类比这一过程去探究反比例函数的图象和性质，为 学习反比例函数的图象和性质作好铺垫 2 2探究新知探究新知 【探究一】【探究一】 同桌分工，分别画出反比例函数 x y 6 与 x y 12 的图象 师生活动：师生活动： （1）学生独立操作，用“描点”法画函数图象，教师巡视，收集并展 示学生画出的典型图象 （2）针对所展示的作图里出现的问题，让学生互相完善
9、和补充。教师适时提问： 选取自变量的值时，要注意什么？连线时要注意什么？图象延伸的趋势是怎样的？为 什么？教师引导学生思考和回答。 （3）教师小结作图的注意事项，并通过课件演示作图规范。 设计意图：设计意图：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用“描点”法画 出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的、整体 4 的感性认识。列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即 x0） 。 同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量对应的函数 值太大或太小，以便于描点和全面反映图象的特征；连线时按照自变量从小到大的顺 序顺次连接各点，
10、注意图象末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图象。根据 学生作图容易出现图象末端延伸趋势有误的问题，结合作图实例的对比，有针对性的 引导学生从解析式的分析入手，让学生先进行“数” （ x0，y0，k0）或“式” （解 析式中 x，y 的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形” （图象）的认识。使学生初 步理解双曲线与 x 轴、y 轴“越来越靠近”但不相交的趋势。同时为探究函数的性质 做好准备。 问题问题 1 观察反比例函数 x y 6 和 x y 12 的图象，它们有哪些共同特征？ 师生活动：师生活动：学生观察，思考，四人小组讨论，归纳学生代表发表观点和看法， 互相交流和补充，形成统一的认识
11、。教师引导和评价，给出双曲线的名称 设计意图：设计意图：学生感受“形”的特征，类比对二次函数 2 axy 0a图象和性质的 学习，容易观察得到函数图象的形状、位置和变化趋势，对反比例函数的图象和性质 形成初步的印象。 反比例函数具有丰富的性质， 且九年级学生思维能力强， 适当放开， 以小组讨论的形式给学生充分交流，既激发学生探究问题的主动性和热情，又给学生 一个更广阔的思维空间，培养了学生的合作交流能力。注意把握好“度” ，对双曲线 的渐进性、对称性以及相对于原点的位置等等，若学生有所发现，教师给予肯定，但 不作基本要求。 问题问题 2 你能由列表中数值的关系，或者由函数解析式来解释这些性质吗
12、？ 师生活动：师生活动：学生先独立思考，再四人小组合作交流学生回答，教师引导和评价 设计意图：设计意图：函数的表示法有解析式法、列表法和图象法。函数图象是研究函数性 质的直观载体，从图象上较容易整体把握函数的性质，但是难以深入局部和细节；而 解析式可以对函数性质进行无限“解读” ，但不够直观。学生观察函数图象，归纳得 到函数的性质后，引导学生结合列表中数值的关系，或者观察解析式的特点，去解释 说明这些性质，这样结合函数图象和解析式去研究函数的性质，既深化了学生对函数 性质的认识，又体现了数形结合的思想。 追问追问 1 对于一般的 k 0 的反比例函数，是否也具有同样的性质呢？ 师生活动：师生活
13、动：学生猜想，教师演示几何画板，在 k0 的前提下赋予不同的 k 值， 5 学生观察所得到的反比例函数图象的特征，引导学生发现“变化中的规律性” 。 设计意图：设计意图：通过几何画板演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，归 纳得到 k0 时，反比例函数的图象特征和性质。 问题问题 3 猜想反比例函数 x k y （k0）的图象和性质是怎样的呢？你是怎么猜 的？ 师生活动：师生活动：学生猜想，回答 设计意图：设计意图：引导学生根据已有经验猜想，使学生巩固在探究一中获得的经验和思 考方法。同时，引出对 k0 的反比例函数的图象和性质的探究。 【探究二】【探究二】 请类比刚才的探究过程，探究
14、反比例函数 x k y （k0）的图象和性质，验证一 下你的猜想。 追问追问 1 类比 k0 的情况，你能归纳 k0 时函数的性质吗？ 师生活动：师生活动：学生自选一个 k0 的反比例函数，借鉴画反比例函数 x y 6 或 x y 12 的图象的经验，自主画出函数图象，教师巡视指导。作图完成后，展示作品，学生说 出函数的图象特征和性质。 教师演示几何画板， 赋予 k 不同的负值， 引导学生发现 “变 化中的规律性” 。 设计意图：设计意图：通过再次画出反比例函数的图象，使学生巩固作图经验。同时，在总 结说出反比例函数的图象特征的过程中，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概 括的能力，以及经历
15、画出函数图象，并利用函数图象研究函数性质的过程。 问题问题 4 反比例函数 x y 6 与 x y 6 的图象有什么共同特征？有什么不同点？ 追问追问 1 不同点由什么决定？ 师生活动：师生活动：教师启发学生对比、思考，引导学生关注反比例系数 k 的作用。 设计意图：设计意图：学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图象的特征，为总结反比 例函数 x k y 0k的图象和性质做准备。 6 【小结归纳】【小结归纳】 函数 图象形状 图象位置 变化趋势 x k y 师生活动：师生活动：教师帮助学生梳理、归纳。 设计意图：设计意图：通过归纳，培养学生的抽象概括能力。 3 3应用新知应用新知 （1）下列
16、图象中是反比例函数图象的是（ ） （2）如图所示的图象对应的函数解析式为（ ） A. xy5 B. 32 xy C. x y 4 D. x y 3 第（2）题图 第（3）题 （3）填空： 反比例函数 x y 5 的图象在第_象限 反比例函数 x k y 的图象如图所示，则 k_0；在图象的每一支上，y 随 x 的增大而_ 师生活动：师生活动：师生问答，引导学生关注各题对应考查的知识点。 设计意图：设计意图：通过练习，实现知识向能力的转化。 4 4 课堂小结课堂小结 师生共同回顾本节课所学主要内容，学生回答以下问题，最后教师总结各环节的 x y O x y O 7 学习方法和数学思想。 （1）这
17、节课我们从哪几个方面去研究反比例函数？ （2）在这些环节中你学到了哪些知识？ （3）从中体会到了哪些数学思想方法？ 设计意图：设计意图：教师引导学生回顾本节课的学习过程，梳理知识脉络，归纳知识点和 思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为完整、全面的认识。 六、目标检测设计 1.反比例函数 x y 8 的图象位于（ ）。 （A）第一、第二象限 （B）第一、第三象限 （C）第二、第三象限 （D）第二、第四象限 2.在同一直角坐标系中，函数xy 与 x y 1 的图象大致是（ ）。 3.写出一个反比例函数，使得该反比例函数的图象位于第一、第三象限，这个函 数可以是_；若点 P 在这个函数的图象上，则点 P 的坐标可以是_。 （分别写出一个即可） 4.已知双曲线 x m y 1 ，当0x时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 _。 板书设计 2612 反比例函数的图象和性质（1） 1解析式：0k x k y 2反比例函数的图象和性质：
