1、 实验与探究实验与探究 丰富多彩的正方形丰富多彩的正方形 教学设计教学设计 湖北省武汉市武汉第三寄宿中学湖北省武汉市武汉第三寄宿中学 王王 松松 实验与探究实验与探究丰富多彩的正方形教学设计丰富多彩的正方形教学设计 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 1 1内容内容: : 实验 1：探究正方形的中心对称性； 实验 2：设计将两个大小不等的正方形切割拼接成一个大正方形的操作方案。 2 2内容解析：内容解析： 本节课是学习完四边形知识之后的安排的实验与探究部分，主要是让学生通过实验 与探究活动进一步感知正方形的特殊性和动手进行正方形的剪拼实验。本课的两个实验活动 有一定的难度，如实验 1，让学生
2、从图形旋转中体验正方形的中心对称性，是为九年级进一 步学习旋转变换和中心对称作适当铺垫，引导学生从旋转的角度对正方形中心对称性进行再 认识，在探究活动中引导学生经历从直观到抽象的认知过程，体验从特殊到一般的研究方法， 同时还注重渗透化一般为特殊、化归、割补等思想方法，及几何证明严谨性的训练。实验 2， 让学生将两个边长不等的正方形剪拼成一个大正方形，要求学生基于理性思考之后进行动手 操作的训练，通过引导学生抓住面积不变的特点和剪拼的本质割补法，发现剪拼的一般 规律，进而优化剪拼方法，然后动手实践，使学生积累相应数学活动经验，进一步提升动手 操作的能力。 重点：理解两个大小不同的正方形分割重拼成
3、一个大正方形的思想方法。 二、目标和目标解析二、目标和目标解析 1 1教学目标：教学目标： （1）探究正方形的中心对称性，理解化一般为特殊的思想方法，并会用正方形的中心对称 性解决相关问题； （2）了解将两个大小不同的正方形剪拼成一个大正方形的方法，理解剪拼的基本原理。 2 2目标解析：目标解析： 达成目标（1）的标志：能通过探究过程理解正方形的中心对称性，进而利用正方形的中 心对称性解决与之相关的问题； 达成目标（2）的标志：通过观察、分析、归纳，了解将两个大小不同的正方形剪拼成一 个大正方形的基本思路，在小组合作的条件下设计出剪拼方案。 三、教学问题诊断分析：三、教学问题诊断分析： 针对实
4、验 1 而言， 学生已经全面学习了四边形的有关知识， 但对于正方形的重要特性 中心对称性缺乏基本的认识。针对学生的学习过程中存在的困难，本节课选用教材 P62 页第 17 题作为铺垫，帮助学生形成对正方形的中心对称性的初步认识，再结合引入环节中的小组 活动拼正方形，进一步强化对图形中心对称性的感知，然后进入实验 1 的探究活动，借 助动画演示，帮助学生从旋转的角度体验正方形的中心对称性，渗透在研究问题时经历从特 殊到一般的探究过程，在解决问题时理解化一般为特殊的思想方法的学习模式。 针对实验 2 而言，学生动手能力不强，基于理性思考的动手操作能力更是非常欠缺，而 实验 2 的操作难度较大，学生
5、独立找出割补方案存在障碍。针对实验 2 的过程中学生存在的 困难，本节课设计了一系列的活动内容勇于分散难点，首先通过观察黑板上的实例展示，发 现能够将两个大小相同的正方形割补成一个大正方形，形成对此问题在特殊情况下成立的基 本认识，同时也为后续问题作出铺垫，激发学生勇于探索的学习热情。然后通过动画演示， 消除对操作可行性所存在的疑虑，同时引导学生发现问题的本质是利用勾股定理找出剪拼后 的大正方形的边长。最后结合勾股定理在图形中寻找大正方形的边，并作出大正方形，进而 发现剪拼方法。基于以上分析，确定本节课的难点：利用勾股定理和面积不变性确定大正方 形的边，进而找出分割方案。 四、教学条件支持分析
6、：四、教学条件支持分析： 根据本节课的特点，为了减轻学生学习负担，本节课采用了实物展示和动画演示相结合 的呈现方式，设计了配套学案，运用了小组合作的学习模式，组织学生进行观察、操作、想 象、交流、归纳等活动，最大限度的帮助学生分清要点、把握重点、突破难点、消除疑点， 以保证教学活动的顺利开展。 五、教学设计：五、教学设计： （一）情景引入：（一）情景引入： 1图片欣赏 【设计意图】【设计意图】 感受正方形的图形美和实用性，调动学生的学习热情。感受正方形的图形美和实用性，调动学生的学习热情。 2学生活动：拼正方形，观察下面三种情况，并提问：两条接缝的线段有怎样的位置关 系？ 【设计意图】【设计意
7、图】 （1 1）初步感知正方形的中心对称性；初步感知正方形的中心对称性； （2 2）展示学生的拼图作品，激发学生的探究欲；展示学生的拼图作品，激发学生的探究欲； （3 3）为解决后面的问题做适当的铺垫。为解决后面的问题做适当的铺垫。 （二）探究活动：（二）探究活动： 活动一：活动一： 环节环节 1 1 将正方形分割成等面积的四部分，请在作业纸上作两条直线，设计出分割方案。 提问： 1.你是怎样设计的？ 【设计意图】【设计意图】 请学生交流设计方案，为发现共性作铺垫。请学生交流设计方案，为发现共性作铺垫。 2.为什么分的四个部分面积相等？ 【设计意图】【设计意图】 通过说理过程，加深对分割方案的
8、理解。通过说理过程，加深对分割方案的理解。 3.大家设计的分割方法有什么共同点？ 【设计意图】【设计意图】 引导学生对图形形成共性认识，从而揭示问题的本质。引导学生对图形形成共性认识，从而揭示问题的本质。 小结：小结： 经过正方形对角线的交点经过正方形对角线的交点O， 且互相垂直的两条直线将正方形分割成等面积的四， 且互相垂直的两条直线将正方形分割成等面积的四 部分部分. 环节环节 2 2 例题，如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 O 又是正方形 A1B1C1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相同， 无论正方形 A1B1C1O 绕点 O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积， 总
9、等于一个正方形面积的 1 4 .想一想，这是为什么？ F E O C1 B1 A1 D CB A 1.演示旋转过程，引导学生发现旋转过程中的特殊情况。 【设计意图】【设计意图】 体会图形旋转时面积的不变性，经历从旋转的特殊位置发现一般结果的过程，了解化一体会图形旋转时面积的不变性，经历从旋转的特殊位置发现一般结果的过程，了解化一 般为特殊的思想方法。般为特殊的思想方法。 2.请学生谈谈自己的看法，并进行简单证明。 【设计意图】【设计意图】 （1 1）通过学生对问题的证明，培养学生严谨的数学思维；通过学生对问题的证明，培养学生严谨的数学思维； （2 2）引导学生发现问题本质就是引导学生发现问题本
10、质就是 OAOA1 1与与 OCOC1 1是过对角线交点是过对角线交点 O O 且互相垂直的线段，将问且互相垂直的线段，将问 题转化成已解决的问题，体现数学的化归思想的应用，也是对此类问题加深理解。题转化成已解决的问题，体现数学的化归思想的应用，也是对此类问题加深理解。 环节环节 3 3 练习：四边形 ABCD 中，A=C=90O，AB=AD，BC=4，CD=6，求四边形 ABCD 的面积。 提问： 1.计算不规则图形的方法是什么？ 【设计意图】【设计意图】 回顾计算不规则图形面积的常用方法回顾计算不规则图形面积的常用方法割补法， 体会用割补法对不规则图形进行图形割补法， 体会用割补法对不规则
11、图形进行图形 变形的必要性变形的必要性, ,为解决问题作铺垫。为解决问题作铺垫。 2.你能将这个四边形割补成一个正方形吗？请在作业纸上作出来。 【设计意图】【设计意图】 引导学生解决问题时，考虑化一般为特殊的思想方法。引导学生解决问题时，考虑化一般为特殊的思想方法。 3.你能证明它是正方形吗？ 【设计意图】【设计意图】 通过学生对问题的证明，培养学生严谨的数学思维。通过学生对问题的证明，培养学生严谨的数学思维。 4.正方形的边长是多少？面积是多少？ 【设计意图】【设计意图】 引导学生理解正方形的边长等于引导学生理解正方形的边长等于，从而发现在以上问题中，只要已知，从而发现在以上问题中，只要已知
12、 BCBC，CDCD 之和，即可求出四边形的面积。之和，即可求出四边形的面积。 小结：小结： 1通过对问题的解答，我们发现只要知道 BC+CD 的和就可以计算四边形的面积； DC B A 2本题还可以将四边形割补成一个等腰直角三角形或者分解成两个直角三角形求面 积； 3解决问题的过程中，使用了割补法和化一般为特殊的思想。 思维导图：思维导图： 活动二：活动二： 环节环节 1 1 将两个边长相等的正方形剪拼成一个正方形. 通过观察学生拼图作品，找到具体拼法，从而在特定条件下发现剪拼的可行性。 【设计意图】【设计意图】 （1 1）利用学生的作品作为后续问题的铺垫，帮助学生快速找到答案，也是对前面问
13、题的利用学生的作品作为后续问题的铺垫，帮助学生快速找到答案，也是对前面问题的 再认识过程；再认识过程； 观察 理解 应用 变式 特殊图形 一般化 一般图形 归纳 发现一般性结论 （过正方形对角线的交点，且互相垂直 的两条直线将正方形等分成 4 个部分） 运动 课本例题 F E O C1 B1 A1 D CB A 从运动过程中发现特殊图形 利用特殊图形证明一般结论 从特殊情况发现结论，形成初步认识 练 习 DC B A 化一般为特殊，解决问题 ( (2 2) )发现发现在特殊情况下在特殊情况下将两个边长相等的正方形剪拼成一个大将两个边长相等的正方形剪拼成一个大正方形的可行性， 进而为实正方形的可
14、行性， 进而为实 验验 2 2 的探究活动作铺垫。的探究活动作铺垫。 环节环节 2 2 将两个边长不相等的正方形剪拼成一个正方形. 1.观察动画演示过程，请学生说说有什么发现？ 【设计意图】【设计意图】 ( (1 1) )通过观察动画演示，感受剪拼的可行性；通过观察动画演示，感受剪拼的可行性； ( (2 2) )发现正方形面积之间的关系、边之间的关系。发现正方形面积之间的关系、边之间的关系。 2.提问： (1)设两个正方形的边分别为 a 和 b，剪拼得的正方形面积是多少？边长是多少？ 【设计意图】【设计意图】 利用勾股定理，帮助学生发现剪拼所得的正方形的有关信息，分散难点。利用勾股定理，帮助学
15、生发现剪拼所得的正方形的有关信息，分散难点。 (2)图中有长度为 22 ab的线段吗？请你作出来. 【设计意图】【设计意图】 找出图形中隐藏的大正方形的边，为探究剪拼方案作准备。找出图形中隐藏的大正方形的边，为探究剪拼方案作准备。 (3)除线段 BG、DE 外，还有长度为 22 ab的线段吗？ 【设计意图】【设计意图】 利用平移的思想，进一步发现图形中隐藏的大正方形的边，为探究剪拼方案作准备。利用平移的思想，进一步发现图形中隐藏的大正方形的边，为探究剪拼方案作准备。 (4)以一条线段作为边，怎样作一个正方形？你有几种作法？ 【设计意图】【设计意图】 完善学生剪拼的一般流程：依据面积不变和勾股定
16、理找到正方形的边完善学生剪拼的一般流程：依据面积不变和勾股定理找到正方形的边依据边作出正依据边作出正 方形并找到重叠部分方形并找到重叠部分将不重叠部分剪拼填空。将不重叠部分剪拼填空。 3.指导学生作出的正方形，观察正方形与原来正方形重叠部分并作好标记，然后由学生 分组讨论，找出剪拼方案。 【设计意图】【设计意图】 通过学生讨论方案、尝试剪拼、小结经验等小组活动，充分调动学生的探究热情，提供通过学生讨论方案、尝试剪拼、小结经验等小组活动，充分调动学生的探究热情，提供 学生展示自己的舞台，同时增强学生团队合作意识。学生展示自己的舞台，同时增强学生团队合作意识。 4.比较两种正方形作法哪种更容易找到
17、剪拼方案？ 重叠 II II I I 重叠 II II I I 引导学生发现剪拼时的一般规律： (1)重叠部分越大，则需剪拼的部分越少，剪拼越容易； (2)分割的多边形形状越简单（如三角形） ，剪拼越容易. 【设计意图】【设计意图】 引导学生经历： “初步感知剪拼的可行性引导学生经历： “初步感知剪拼的可行性找到问题关键点，尝试剪拼找到问题关键点，尝试剪拼小结成功小结成功 （或失败）的原因（或失败）的原因发现剪拼规律，进而优化方案”的过程，体验数学研究过程的逻辑性发现剪拼规律，进而优化方案”的过程，体验数学研究过程的逻辑性 和规律性，培养学生问题思辨的能力。和规律性，培养学生问题思辨的能力。
18、环节环节 3 3 请学生尝试独立设计出一种剪拼方案，并进行展示。 【设计意图】【设计意图】 1 1. .检验学生学习效果，让他们独立探索并解答问题，同时积累数学活动经验；检验学生学习效果，让他们独立探索并解答问题，同时积累数学活动经验； 2 2. .让能成功设计出剪拼方案的学生进行展示，进一步激发学生的数学学习热情让能成功设计出剪拼方案的学生进行展示，进一步激发学生的数学学习热情. . 小结：小结：以图形中任何一条长度为 22 ab的线段作正方形都能够找到剪拼成正方形的方案，但 是由于分割后所得的图形不同，导致重叠部分较小而需要剪拼的部分过大或者分割后的图形 比较复杂，而一时难以发现剪拼方法。
19、 思维导图：思维导图： 比较 铺垫 归纳 优化方案 实例展示 弱化条件 两个大小不同的正方形 探究 开展小组合作，发现问题的本质， 找出解决问题的方案 交流展示 学生动手操作， 展示实验成果 总结成功经验（失败原因） 观察 发现在特定条件下，实验的可行性 总结剪拼规律， 优化操作方案 提升思维，积累经验 动画演示 （三）课堂小结 请学生谈谈自己的收获和感受。 六、目标检测设计：六、目标检测设计： 练习：工人师傅将一块如图所示的铝板，经过适当的剪切拼接，焊接成一块正方形铝板， 请画出剪切方法，并将剪切后的铝板拼成一个面积与原图面积相等的正方形。 【设计意图】【设计意图】 1 1. .选取与课本实
20、验选取与课本实验 2 2 类似的实际问题，检测学生对已学知识技能的掌握情况；类似的实际问题，检测学生对已学知识技能的掌握情况； 2 2. .所选练习可以转化为两个正方形剪拼为一个大正方形的问题，考察培养学生对于解决所选练习可以转化为两个正方形剪拼为一个大正方形的问题，考察培养学生对于解决 问题的基本思路（即化一般为特殊的思想）的掌握情况；问题的基本思路（即化一般为特殊的思想）的掌握情况； 3 3. .体现本节课所学知识的实用价值。体现本节课所学知识的实用价值。 20 20 10 10 20 I II重叠 III I I I II 重叠 II I 丰富多彩的正方形丰富多彩的正方形探究活动作业纸探究活动作业纸 活动 1： 备用图 备用图 活动 2： 备用图 备用图 活动 3： 备用图 备用图 练习：工人师傅将一块如图所示的铝板，经过适当的剪切拼接，焊接成一块正方形铝板，请画出剪切方法， 并将剪切后的铝板拼成一个面积与原图面积相等的正方形。 （不考虑焊接、剪切损耗） DC B A DC B A DC B A 20 20 20 10 10 10
