1、 1 13.3 等腰三角形等腰三角形（习题习题） 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 1、内容、内容 （人民教育出版社八年级上册）等腰三角形的习题。 2、内容解析、内容解析 本节课是在学生已经学习了等腰三角形的概念、性质、判定方法以及等边三 角形相关内容的基础上，对等腰三角形进行深入研究 主要内容是对教材上的一 道典型题（习题 133 第 12 题）进行横向拓展和纵向延伸其中包括两个环节： 一是条件不变，发现更多的结论并证明其中的两个结论；二是结论不变，弱化条 件，将问题“一般化”，或强化条件，将问题“特殊化” 基于以上分析，确定本课的教学重点是：以典型题的研究为载体，探索几 何问题的研究思
2、路和研究方法 二、目标和目标解析二、目标和目标解析 1、目标、目标 （1）在题目条件不变的前提下，探索并发现其他隐含结论 （2）在题目结论不变的前提下，探索使其成立的条件 （3）在对题目进行横向拓展和纵向延伸的过程中，体会分类、转化、类比、 一般化、特殊化等数学思想和数学方法，进一步理解数学内容的本质，提高思维 能力 2、目标解析、目标解析 达成目标（1）的标志是：学生在题目条件不变的前提下能从不同的角度发 现图形中隐含的结论相等的线段、相等的角、全等的三角形、特殊角以及特 殊位置关系的线段等，并且能对发现的结论进行分类，从而明确探索几何问题的 研究思路 达成目标（2）的标志是：学生知道使题目
3、结论成立的条件共有两个“等 边三角形”和“共线”，并能分别从这两个条件入手进行探索，即弱化条件，将问 题“一般化”或强化条件，将问题“特殊化”，能证明一般化（或特殊化）后的结论 达成目标（3）的标志是：学生对发现的结论进行分类时，进一步体会分类 的作用使无序变得有序；学生在证明比较复杂的结论时，能够利用前面发现 的隐含结论， 将其作为下一步证明的依据， 体会转化的作用使复杂变得简单； 学生对条件进行拓展时，体会一般化的思想，并在拓展后证明相应的结论时，体 会类比的作用思路和方法的迁移，进而加深对数学内容本质的认识，使思维 2 的广阔性、深刻性、灵活性等得到锻炼 三、教学问题诊断分析三、教学问题
4、诊断分析 在第一个环节中，尽管有的学生能够发现一些结论，但他们所发现的结论 往往是无序的，而且是不全面的；在第二个环节中，很多学生不知道应该首先分 别从两个条件入手进行研究 产生以上问题的根本原因是学生没有真正找到研究 几何问题的切入点，对几何问题的研究思路和研究方法没有清晰的认识 本节课的教学难点是：以典型题的研究为载体，探索几何问题的研究思路和 方法 四、教学支持四、教学支持条件分析条件分析 利用几何画板，动态演示图形的变化（形状的变化以及位置的变化） ，加深 对图形本质特征的理解 五、教学过程分析五、教学过程分析 引言 前面，我们学习了等腰三角形，研究了它的概念、性质和判定，今天 我们通
5、过一节习题课来进一步巩固等腰三角形的有关知识 题目 如图 1， ABC 和 DCE 均是等边三角形，且点 B、C、E 共线 BD 与 AE、AC 分别相交于点 P、M，CD 与 AE 相交于点 N 求证：BD=AE （屏幕显示题目） 师生活动：师生活动： 学生独立思考后， 一名学生口述证明过程， 教师板书，其它学生说明每一步的证明根据 设计意图：设计意图： 巩固特殊的等腰三角形等边三角形的 概念、性质，为后续深入研究作准备 1、探索并证明题目的隐含结论 思考思考 1 在不添加任何条件的前提下，你还能得到哪 些结论？ 师生活动：师生活动：教师提出问题，学生将自己发现的所有结论都写在练习本上，教
6、师让一名学生到黑板上写出发现的结论 设计意图：设计意图：提出开放性问题，将题目向纵向延伸，让学生尝试多角度地发现 结论，锻炼学生思维的发散性 追问追问 1：你们也发现以上的结论了吗？是否还有补充？ 师生活动：师生活动：学生相互补充、纠正 追问追问 2：刚才，我们找到了这么多的结论，你能对它们进行分类吗？分类的 依据是什么？ 师生活动：师生活动：学生独立思考后进行小组交流，交流重点是： （1）互相补充、纠 正结论； （2）对结论进行分类； （3）说明分类的依据，充分交流后小组派代表进 图 1 3 图 3 图 2 行汇报 当学生回答“将三角形全等的结论放在一起”时，教师指出“全等”就是指图形 的“
7、形状相同、大小相等”，并板书“形状、大小”；当学生回答“将线段相等、角 相等以及一些角等于 60 的结论放在一起”时， 教师指出这些其实是特殊的大小关 系；当学生回答“将平行的结论放在一起”时，学生自然想到这是位置关系，教师 指出平行是位置的特殊关系，并板书“位置” 教师点拨，最初我们发现结论时有些是无序的，经过分类，就将无序变为有 序了，所以，我们不仅要能够发现结论，更要知道应该从哪个角度去发现结论， 即从“形状、大小、位置”三个角度，而“形状、大小、位置”正是几何学的研究对 象，也是几何学的研究本质 设计意图：设计意图：让学生对发散的结论进行梳理，明确发现结论的角度，体会分类 思想，提升对
8、研究内容本质的认识，增强思维的深刻性 追问追问 3： 本节课我们只证明其中的两个结论“APB=60 和 CM=CN”， 其他结 论课后证明 师生活动：师生活动：学生口述“APB=60”的证明过程，“CM=CN”的证明过程写在练 习本上，最后，一名学生利用实物展台讲解证明思路，并展示证明过程，其他学 生对其进行评价 追问追问 4：还有不同的证法吗? 师生活动：师生活动：学生展示不同的证明方法，并相互补充教师最后指出，平时做 相对复杂的题目，比如证明“CM=CN”，有的学生感觉没有思路，觉得缺失证明 的条件，其原因主要是他们没有发现题中的隐含结论（此处教师利用课件依次展 示图形中EAC=DBC、
9、BMC 与 ANC 全等、BDC=AEC、 MCD 与 NCE 全等，等等，如图 2、3） ，其实，一旦发现了这些结论，并证明其中的重 要结论，复杂问题也就迎刃而解了可见，前面发现题中的隐含结论有多么重 要有时不是我们做不到，而是想不到 3 42 1 N M P E A B N M P E A BCC DD 设计意图：设计意图：引导学生用多种方法证明结论，体会发现隐含结论的重要性，进 一步感悟转化思想 2 、 拓展并推广题目的前提条件 思考思考 2 在题目中，结论“BD=AE”是在“等边”“共线”的条件下得到的，这 个结论是否一定需要这么强的条件呢？ 4 师生活动：师生活动：学生独立思考后小组
10、交流，小组派代表汇报讨论结果 预案预案 1：学生认为“点 B、C、E 可以不共线” 追问追问 1：为什么？ 学生很容易想到“因为ACB=DCE,所以ACB+ACD=DCE+ACD 即BCD=ACE ,所以 BCD 和 ACE 全等，从而得到 BD=AE” 此时，教师利用课件，动态展示 DCE 绕点 C 顺时针旋转的过程（如图 4） ， 显示出学生所说的两个全等三角形，并用手指着题目证明的板书过程，与学生一 起总结出“虽然点 B、C、E 位置变了，但是结论 BD=AE 没有变，而且解题的思 路和方法都没有改变” 追问追问 2：类比顺时针的旋转，你能猜想一下逆时针旋转的情况吗？（教师动 态展示 D
11、CE 绕点 C 顺时针旋转的过程，如图 5） P E A B P E A BCC D D 追问追问 3：在以上的探究中APB=60 还成立吗？ 追问追问 4：刚才得到的其它结论是否成立呢？类比共线时的证明，课后探讨 师生活动：师生活动：教师演示，学生思考，并回答 设计意图：设计意图： 通过动态的展示， 让学生进一步感受由“共线”到“不共线”的过程， 深刻体会虽然图形的位置改变了，但是结论不变，证明的思路和方法也不变,其 原因是证明全等的关键条件没有改变；由顺时针旋转到逆时针旋转，体现思维的 完整性；对学生的启发，由课上到课下，体现思维的延续性在整个探究过程中 让学生逐步体会类比、一般化的数学方
12、法 预案预案 2：学生认为“可以不是等边三角形，只要是等腰三角形即可” 追问追问 1：你是怎么想到的？ 师生活动：师生活动：学生回答“BD=AE 的前提是 BCD 和 ACE 全等” 追问追问 2：全等的条件是什么？ 师生活动：师生活动：学生回答“SAS” 追问追问 3：只要“等腰三角形”就行吗？还需要满足什么条件？ 师生活动：师生活动：学生答“顶角相等” 追问追问 4：必须是顶角相等吗？ 图 4 图 5 5 图 6 图 7 P E B P EBCC A D A D 此处若学生发现出“底角相等也可以”教师要继续追问“为什么？”教师点 拨，“我们发现，虽然图形变了（屏幕展示图 6） ，但是结论
13、BD=AE 没有变，而 且解题的思路和方法（指向板书过程）也都没有改变” （屏幕显示题目：如图， ABC 和 DCE 均是等腰三角形，其中 CA=CB， CD=CE，BCA=DCE=，且点 B、C、E 共线求证：BD=AE ） 设计意图：设计意图：让学生在由“等边”到“不等边”的过程中，体会虽然图形的形状改 变了，但是结论 BD=AE 没有改变，证明的思路和方法也没有改变，其原因是证 明全等的关键条件没有改变；由“等边”到“等腰”，将问题推广到一般的情况在 此过程中让学生进一步体会类比、一般化的数学方法 思考思考 3：刚才我们探讨了“不共线”可以，“不等边”也可以，那么既“不共线”， 又“不等
14、边”可以吗？（动态展示 DCE 绕点 C 旋转的过程，如图 7） 师生活动：师生活动：学生发现可以，原因同前学生发现，原来题目中的条件不必是 两个等边三角形，只要是两个顶角相等的等腰三角形就可以了，这个问题就更具 有一般性了教师指出，我们不仅要学会发现结论，还要抓住图形的本质特征， 尝试着把问题推广到一般情况这也是研究问题的思路和方法 追问追问 1：我们刚才研究问题的思路是将问题“一般化”，还可以怎样研究呢？ 师生活动：师生活动：学生很容易回答出将问题“特殊化” 追问追问 2：特殊的等腰三角形还有什么？ 师生活动：师生活动：学生很容易想到等腰直角三角形， （屏幕显示图 8，然后动态展 示）类比
15、刚才的研究思路和方法，同学们可以课下研究 设计意图：设计意图：深化问题的研究，增强学生思维的全面性、深刻性 P P E A E A CCB D B D 图 9 图 10 6 3、 小结小结 教师与学生一起回顾本节课的学习过程，并让学生回答以下问题： （1）本节课研究了哪些主要内容？ （2）本节课研究问题的主要思路是什么？ （3）在研究过程中体现了哪些数学思想和数学方法？ （4）对本节的研究内容你还有哪些新的想法？ 师生活动：师生活动：教师提出问题，学生回答对于问题（4） ，学生可能提出“对于 原题目，如果连接 MN，你有什么新的发现？如果连接 PC，还能发现哪些新结 论？”等等 设计意图：设计
16、意图：前三个问题主要是引导学生从知识内容、学习过程、研究方法等 方面总结自己的收获，并从中体会所运用的数学思想方法，建立知识之间、方法 之间、过程之间、解决问题策略之间的普遍联系第四个问题，主要是拓展学生 的思维，使学生不仅能够分析问题、解决问题，而且还逐渐地学会发现问题、提 出问题，学生由“学会”向“会学”“乐学”转变 4、 作业作业 （1）证明“思考 1”中得到的其它结论 （2）探索“思考 2”中一般化和特殊化后的结论，并证明 （3）证明“思考 3”中发现的结论，探索并证明“连接 PC”后的其他结论 设计意图：设计意图：将问题探索自然延续到课后，让学生进一步巩固本节所学内容、 方法，启发学生逐渐体会如何发现问题、提出问题、发现问题、解决问题 六、目标检测设计六、目标检测设计 如图， ABC 和DCE 均是等腰三角形， CA=CB， CD=CE，BCA=DCE （1）求证：BD=AE （2）若BAC=70 ，求BPE 的度数 设计意图：设计意图：考查学生对几何问题研究方法的掌握程度 N N M M P P E E B B C C A A D D
