1、2.1 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布正态分布第二章第二章 小结小结2.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值(第一课时第一课时)2.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值(第二课时第二课时)2.3.2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差2.3.1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值(第一课时第一课时)返回目录返回目录 1.什么是数学期望什么是数学期望?在分布列中是怎样在分布列中是怎样计算的计算的?2.数学期望是反映变量的什么特征数学期
2、望是反映变量的什么特征?在在实际应用中起什么作用实际应用中起什么作用?学习要点 问题问题1.某商场要将单价分别为某商场要将单价分别为 18 元元/kg,24 元元/kg,36 元元/kg 的的 3 种糖果按种糖果按 3:2:1 的比例混合销售的比例混合销售,你认为你认为混合后的定价应该是多少混合后的定价应该是多少?按比例算得按比例算得 1 kg 的混合糖果中的混合糖果中,18 元元/kg 的占的占 kg,24 元元/kg 的占的占 kg,36 元元/kg 的占的占 kg.213161那么这那么这 1 kg 糖果的价格应该是糖果的价格应该是613631242118 =23(元元/kg).61 ,
3、31 ,21是这三种糖果在混合中的权数是这三种糖果在混合中的权数.这就是这就是混合后混合后的平均的平均价价,问题问题1.某商场要将单价分别为某商场要将单价分别为 18 元元/kg,24 元元/kg,36 元元/kg 的的 3 种糖果按种糖果按 3:2:1 的比例混合销售的比例混合销售,你认为你认为混合后的定价应该是多少混合后的定价应该是多少?又问又问:如果在混合好的糖果中随机抽出一颗如果在混合好的糖果中随机抽出一颗,抽抽到到 18 元元/kg,24 元元/kg,36 元元/kg 的概率分别是多少的概率分别是多少?根据古典概型根据古典概型:P(18元元/kg)=;21121=P(24元元/kg)
4、=;31131=P(36元元/kg)=.61161=概率恰与权数相同概率恰与权数相同.于是前面的平于是前面的平均价可怎样求得均价可怎样求得单价乘以概率后求和单价乘以概率后求和.用分布列表示如下用分布列表示如下:问题问题1.某商场要将单价分别为某商场要将单价分别为 18 元元/kg,24 元元/kg,36 元元/kg 的的 3 种糖果按种糖果按 3:2:1 的比例混合销售的比例混合销售,你认为你认为混合后的定价应该是多少混合后的定价应该是多少?又问又问:如果在混合好的糖果中随机抽出一颗如果在混合好的糖果中随机抽出一颗,抽抽到到 18 元元/kg,24 元元/kg,36 元元/kg 的概率分别是多
5、少的概率分别是多少?X182436P213161平均价为平均价为:18 P(X=18)24 P(X=24)36 P(X=36).=23(元元/kg).613631242118 =一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为pnpip2p1Pxnxix2x1XE(X)=x1p1 x2p2 xipi xnpn则称则称为随机变量为随机变量 X 的的均值均值或或数学期望数学期望.均值反映了离散型随机变量取值的平均水平均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.如如:下表是某果品的概率分布列下表是某果品的概率分布列,X 表示销售价表示销售价.X(元元/kg)15106P0.30.
6、60.1请同学们估计这批请同学们估计这批 8000 kg 果品的销售收入果品的销售收入.如如:下表是某果品的概率分布列下表是某果品的概率分布列,X 表示销售价表示销售价.0.10.60.3P61015X(元元/kg)请同学们估计这批请同学们估计这批 8000 kg 果品的销售收入果品的销售收入.E(X)=x1p1 x2p2 xipi xnpn这批果品的平均价这批果品的平均价:=15 0.3 10 0.6 6 0.1=11.1(元元/kg)估计估计 8000 kg 果品的销售收入为果品的销售收入为11.1 8000=88800(元元).问题问题2.在数学在数学必修必修3中中,我们学习过样本平我们
7、学习过样本平均数均数,与这里的数学期望是相同概念吗与这里的数学期望是相同概念吗?说说你的说说你的认识认识?样本平均数样本平均数数学期望数学期望数据来源数据来源实际统计数实际统计数规律数规律数(概率概率p)=niixnx11=niiipxXE1)(计算公式计算公式反映特征反映特征实际意义实际意义样本平均情况样本平均情况变量平均情况变量平均情况估计总体平均情况估计总体平均情况推测结果平均情况推测结果平均情况样本平均数与数学期望比较样本平均数与数学期望比较:练习练习:(补充补充)某地区某地区 5 月份下雨的天数月份下雨的天数 X 的分布列如下的分布列如下0.160.2350.2330.340.082
8、0.020.030.01P710X求这个地区求这个地区 5 月份下雨天数的均值月份下雨天数的均值.解解:这个地区这个地区 5 月份下雨天数的均值为月份下雨天数的均值为E(X)=0 0.01 1 0.03 2 0.08 3 0.23 4 0.3 5 0.23 6 0.1 7 0.02=3.97.即即 估计这个地区估计这个地区 5 月份有月份有 4 天下雨天下雨.例例1.在篮球比赛中在篮球比赛中,罚球命中罚球命中 1 次得次得 1 分分,不中不中得得 0 分分.如果运动员罚球命中的概率为如果运动员罚球命中的概率为 0.7,那么他罚那么他罚球球 1 次的得分次的得分 X 的均值是多少的均值是多少?解
9、解:由题意知由题意知 X 服从两点分布服从两点分布,其取值范围是其取值范围是0,1.因为因为 P(X=1)=0.7,则则 P(X=0)=1-0.7=0.3.所以所以 E(X)=1 P(X=1)0 P(X=0)=1 0.7 0 0.3=0.7.(问问:由此题你能得到一个什么结论由此题你能得到一个什么结论?)一般地一般地,如果随机变量如果随机变量 X 服从两点分布服从两点分布,那么那么 E(X)=1 p 0(1-p)=p.于是有于是有 若若 X 服从两点分布服从两点分布,则则 E(X)=p.即即:随机变量服从随机变量服从两点分布两点分布的的均值均值等于等于成功概率成功概率.如如:某地区端午节下雨的
10、概率是某地区端午节下雨的概率是0.8,则这地区端午节则这地区端午节下雨的均值就是下雨的均值就是 0.8.抛掷一枚图钉落地后针尖向上的概率是抛掷一枚图钉落地后针尖向上的概率是 0.3,抛掷图钉落地后针尖向上的均值就是抛掷图钉落地后针尖向上的均值就是 0.3.练习练习:(课本课本64页页)第第 1、2、3、4 题题.练习练习:(课本课本64页页)1.离散型随机变量的数学期望一定是它在试验离散型随机变量的数学期望一定是它在试验中出现的概率最大的值吗中出现的概率最大的值吗?请用具体事例说明请用具体事例说明.解解:不一定不一定.如下面两个分布列如下面两个分布列:X-55P0.40.6Y012P0.70.
11、10.2E(X)=-=-5 0.4 5 0.6=15.E(Y)=0 0.7 1 0.1 2 0.2=0.50.2.已知随机变量已知随机变量 X 的分布列为的分布列为0.230.140.320.10.20.1P510X求求 E(X).解解:E(X)=0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.1 5 0.1=2.3.3.抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,规定正面向上得规定正面向上得 1 分分,反面反面向上得向上得-1 分分,求得分求得分 X 的均值的均值解解:因为因为 P(正面向上正面向上)=0.5,P(反面向上反面向上)=0.5,即即 P(X=1)=0.5,P(X=-=-1)=0.5.所以
12、所以 X 的均值为的均值为E(X)=1 0.5(-1)0.5=0.4.产量相同的产量相同的 2 台机床生产同一种零件台机床生产同一种零件,它们在它们在一小时内生产出的次品数一小时内生产出的次品数 X1,X2 的分布列分别如下的分布列分别如下:问哪台机床更好问哪台机床更好?请解释你所得出结论的实际含义请解释你所得出结论的实际含义.X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2解解:各台机床生产出次品数的均值如下各台机床生产出次品数的均值如下:E(X1)=0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1=1.0.E(X2)=0 0.3 1 0.5 2 0.2=0.9.第二台机床
13、较好第二台机床较好.如果同是生产如果同是生产 10 件零件件零件,两台机床都可能出现两台机床都可能出现1 件次品件次品.但如果生产的零件数很多时但如果生产的零件数很多时,第二台机床第二台机床出现的次品数就明显的比第一台机床少出现的次品数就明显的比第一台机床少.【课时小结课时小结】1.数学期望数学期望在分布列中在分布列中:pnpip2p1Pxnxix2x1XE(X)=x1p1 x2p2 xipi xnpn.离散随机变量离散随机变量 X 的的平均值平均值称为变量称为变量 X 的的数学期望数学期望,用用 E(X)表示表示.【课时小结课时小结】2.数学期望的意义数学期望的意义 数学期望反映了离散型随机
14、变量取值的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平.在实际应用中在实际应用中,反映事件发生结果的平反映事件发生结果的平均状态均状态.某机床产品出现的平均次品数某机床产品出现的平均次品数.某月降雨天数的平均情况某月降雨天数的平均情况.某射手中靶环数的平均情况等某射手中靶环数的平均情况等.如如:习题习题 2.3A 组组第第 2、4 题题.习题习题 2.3A 组组2.若随机变量若随机变量 X 的分布列为的分布列为且且 E(X)=1,求求 a 和和 b.b2aP10X31解解:因为因为 E(X)=,121310=ba又又,131=ba于是解得于是解得.31 ,31=ba 4.现要发行现要发行
15、 10000 张彩票张彩票,其中中奖金额为其中中奖金额为 2 元元的彩票的彩票 1000 张张,10 元的彩票元的彩票 300 张张,50 元的彩票元的彩票 100 张张,100 元的彩票元的彩票 50 张张,1000 元的彩票元的彩票 5 张张,1 张彩张彩票可能中奖金额的均值是多少票可能中奖金额的均值是多少?解解:设中奖金额为设中奖金额为 X,其分布列如下其分布列如下:X210501001000P0.10.030.010.005 0.0005则则 E(X)=2 0.1 10 0.03 50 0.01 100 0.005 1000 0.0005=2.答答:1 张彩票可能中奖金额的均值是张彩票
16、可能中奖金额的均值是 2 元元.2.3.1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值(第二课时第二课时)返回目录返回目录 1.随机变量服从二项分布时随机变量服从二项分布时,其数学期其数学期望有什么特点望有什么特点?它的值是多少它的值是多少?2.随机变量随机变量 Y 是变量是变量 X 的一次函数时的一次函数时,Y 的数学期望与的数学期望与 X 的数学期望有什么关系的数学期望有什么关系?学习要点 问题问题3.如果随机变量如果随机变量 X 服从二项分布服从二项分布,你能计你能计算它的均值吗算它的均值吗?X01knPnnppC)1(00-111)1(-nnppCknkknppC-)1(0)1(ppCnn
17、n-E(X)=,)1(0=-nkknkknppkC!)!(!kknnCkn-=)!1()!1()1()!1(-=kkknnn.11-=knCkn=-=nkknkknppnpCXE1)1()1(111)1()(=np.由二项式定理得由二项式定理得,)1()1(11)1()1(111-=-=-nnkknkknppppCE(X)=np(p 1-p)n-1于是有于是有若若 XB(n,p),则则 E(X)=np.练习练习(补充补充).在一个盒子中装有相同型号的在一个盒子中装有相同型号的 3 个白个白球和球和 7 个黑球个黑球,从中任取从中任取 3 个球个球.(1)求取得白球的个数求取得白球的个数 X 的
18、分布列和数学期望的分布列和数学期望;(2)如果每取得如果每取得 1 个白球得个白球得 5 分分,但每抽取一次扣但每抽取一次扣1 分分.求得分数求得分数 Y 的分布列和数学期望的分布列和数学期望.解解:(1)从盒中抽一个球是白球的概率从盒中抽一个球是白球的概率 p=0.3,随机变量随机变量 X 服从二项分布服从二项分布 XB(3,0.3),则分布列为则分布列为X0123P0.343 0.441 0.189 0.027E(X)=np=3 0.3=0.9.用分布列数字计算检验用分布列数字计算检验:E(X)=0 0.343 1 0.441 2 0.189 3 0.027=0.9.练习练习(补充补充).
19、在一个盒子中装有相同型号的在一个盒子中装有相同型号的 3 个白个白球和球和 7 个黑球个黑球,从中任取从中任取 3 个球个球.(1)求取得白球的个数求取得白球的个数 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望;(2)如果每取得如果每取得 1 个白球得个白球得 5 分分,但每抽取一次扣但每抽取一次扣1 分分.求得分数求得分数 Y 的分布列和数学期望的分布列和数学期望.解解:(2)由题意得由题意得 Y=5X-1,随机变量随机变量 Y 的分布列为的分布列为X0 0123P0.3430.4410.1890.027E(Y)=-=-1 0.343 4 0.441 9 0.189 14 0.027=3.5.则
20、则 Y 的取值范围是的取值范围是-1,4,9,14则则 P(Y=-=-1)=P(X=0),P(Y=4)=P(X=1),P(Y=9)=P(X=2),P(Y=14)=P(X=3).-14914 练习练习(补充补充).在一个盒子中装有相同型号的在一个盒子中装有相同型号的 3 个白个白球和球和 7 个黑球个黑球,从中任取从中任取 3 个球个球.(1)求取得白球的个数求取得白球的个数 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望;(2)如果每取得如果每取得 1 个白球得个白球得 5 分分,但每抽取一次扣但每抽取一次扣1 分分.求得分数求得分数 Y 的分布列和数学期望的分布列和数学期望.问问:(1)Y=5xi
21、-1 与与 xi 的概率相等吗的概率相等吗?(2)Y=5X-1 的数学期望与的数学期望与 X 的数学期望有什么关的数学期望有什么关系系?(1)P(Y=5xi-1)=P(X=xi).(2)E(Y)=3.5=5 0.9-1=5E(X)-1.一般地一般地,若若 X 是随机变量是随机变量,Y=aX b(a,b是常数是常数)也是随机变量也是随机变量,P(Y=axi b)=P(X=xi)=pi,则则Y 的分布列的分布列为为Yax1+bax2+baxi+baxn+bPp1p2pipn于是于是 E(Y)=(ax1 b)p1(ax2 b)p2 (axi+b)pi (axn b)pn=a(x1p1 x2p2 xn
22、pn)b(p1 p2 Pn)=aE(X)b.即即E(aX b)=aE(X)b.例例2.一次单元测验由一次单元测验由 20 个选择题构成个选择题构成,每个选每个选择题有择题有 4 个选项个选项,其中仅有一个选项正确其中仅有一个选项正确.每题选对每题选对得得 5 分分,不选或选错不得分不选或选错不得分,满分满分100分分.学生甲选对学生甲选对任意一题的概率为任意一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值这次测验中成绩的均值.解解:设学生甲选对的题数为设学生甲
23、选对的题数为 X1,学生乙选对的题学生乙选对的题数为数为 X2,X1,X2 服从二项分布服从二项分布,即即 X1B(20,0.9),X2B(20,0.25).得得E(X1)=np1=20 0.9=18,E(X2)=np2=20 0.25=5.即学生甲选对题数的均值为即学生甲选对题数的均值为 18 题题,学生乙选对题学生乙选对题数的均值为数的均值为 5 题题.例例2.一次单元测验由一次单元测验由 20 个选择题构成个选择题构成,每个选每个选择题有择题有 4 个选项个选项,其中仅有一个选项正确其中仅有一个选项正确.每题选对每题选对得得 5 分分,不选或选错不得分不选或选错不得分,满分满分100分分
24、.学生甲选对学生甲选对任意一题的概率为任意一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值这次测验中成绩的均值.解解 设学生甲选对的题数为设学生甲选对的题数为 X1,学生乙选对的题学生乙选对的题数为数为 X2,X1,X2 服从二项分布服从二项分布,即即 X1B(20,0.9),X2B(20,0.25).得得E(X1)=np1=20 0.9=18,E(X2)=np2=20 0.25=5.即学生甲选对题数的均值为即学生甲选对题数的均值为 18 题题,学生乙选对题学
25、生乙选对题数的均值为数的均值为 5 题题.设学生甲测验得分为设学生甲测验得分为 Y1,学生乙测验得分为学生乙测验得分为 Y2,则则 Y1=5X1,Y2=5X2,所以所以 E(Y1)=5E(X1)=5 18=90.E(Y2)=5E(X2)=5 5=25.例例3.根据气象预报根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为 0.01,该地区某工地上有一台大该地区某工地上有一台大型设备型设备,遇到大洪水时要损失遇到大洪水时要损失 60000元元,遇到小洪水时要遇到小洪水时要损失损失 10000元元,为保护设备为保护设备,有以下有以下 3
26、种方案种方案:方案方案 1:运走设备运走设备,搬运费为搬运费为 3800元元.方案方案 2:建保护围墙建保护围墙,建设费为建设费为 2000元元,但围墙只能但围墙只能防小洪水防小洪水.方案方案 3:不采取措施不采取措施.试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好.解解:计算各方案的损失费如下计算各方案的损失费如下:方案方案 1:不管有无洪水不管有无洪水,都损失都损失 3800元元.方案方案 2:设损失费为设损失费为 X,则分布列为则分布列为X2000(无洪水无洪水)2000(小洪水小洪水)62000(大洪水大洪水)P0.740.250.01 例例3.根据气象预报根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率
27、为某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为 0.01,该地区某工地上有一台大该地区某工地上有一台大型设备型设备,遇到大洪水时要损失遇到大洪水时要损失 60000元元,遇到小洪水时要遇到小洪水时要损失损失 10000元元,为保护设备为保护设备,有以下有以下 3 种方案种方案:方案方案 1:运走设备运走设备,搬运费为搬运费为 3800元元.方案方案 2:建保护围墙建保护围墙,建设费为建设费为 2000元元,但围墙只能但围墙只能防小洪水防小洪水.方案方案 3:不采取措施不采取措施.试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好.解解:计算各方案的损失费如下计算各方案的损失费如下:
28、方案方案 1:不管有无洪水不管有无洪水,都损失都损失 3800元元.方案方案 2:设损失费为设损失费为 X,则分布列为则分布列为0.742000(无洪水无洪水)0.010.25P62000(大洪水大洪水)2000(小洪水小洪水)X则则 E(X)=2000 0.74 2000 0.25 62000 0.01=2600(元元).方案方案 3:设损失费为设损失费为 Y,则分布列为则分布列为Y0(无洪水无洪水)10000(小洪水小洪水)60000(大洪水大洪水)P0.740.250.01则则 E(Y)=0 0.74 10000 0.25 60000 0.01=3100(元元).相比之下相比之下,选择方
29、案选择方案 2 平均损失要小些平均损失要小些.【小结小结】1.二项分布的数学期望二项分布的数学期望若若 XB(n,p),则则 E(X)=np.【小结小结】2.线性变量的数学期望线性变量的数学期望 若若 Y=aX b(X 是随机变量是随机变量,a,b 是常数是常数),则则E(Y)=E(aX b)=aE(X)b.若若 XB(n,p),则则 E(Y)=anp b.练习练习:(课本课本64页页)第第 5 题题.习题习题 2.3A 组组第第 3 题题.B 组组第第 1、2 题题.5.同时抛掷同时抛掷 5 枚质地均匀的硬币枚质地均匀的硬币,求出现正面向求出现正面向上的硬币数上的硬币数 X 的均值的均值.解
30、解:抛掷抛掷 1 枚硬币出现正面上向的概率为枚硬币出现正面上向的概率为 p=0.5,则则 XB(5,0.5).所以所以 X 的均值为的均值为E(X)=np=5 0.5=2.5.练习练习:(课本课本64页页)3.一名射手击中靶心的概率是一名射手击中靶心的概率是 0.9,如果他在同如果他在同样条件下连续射击样条件下连续射击 10 次次,求他击中靶心的次数的均求他击中靶心的次数的均值值.解解:设这名射手击中靶心的次数为设这名射手击中靶心的次数为 X,则则XB(10,0.9).所以这名射手击中靶心的均值为所以这名射手击中靶心的均值为E(X)=np=10 0.9=9.习题习题 2.3A 组组B 组组 1
31、.抛掷两枚骰子抛掷两枚骰子,当至少有一枚当至少有一枚 5 点或一枚点或一枚 6 点出现时点出现时,就说这次试验成功就说这次试验成功,求在求在 30 次试验中成次试验中成功次数功次数 X 的均值的均值.解解:设抛掷一枚骰子出现的点数为设抛掷一枚骰子出现的点数为 x x.则抛掷两枚骰子成功的概率为则抛掷两枚骰子成功的概率为p=P(x x15)P(x x15)P(x x25)313231 =.95=因为成功次数因为成功次数 X 服从二项分布服从二项分布,即即).95 ,30(BX所为所为 E(X)=np9530=.350=2.一台机器在一天内发生故障的概率为一台机器在一天内发生故障的概率为 0.1.
32、若若对台机器一周对台机器一周 5 个工作日不发生故障个工作日不发生故障,可获利可获利 5 万元万元;发生发生 1 次故障仍可获利次故障仍可获利 2.5 万元万元;发生发生 2 次故障的利次故障的利润为润为 0 元元;发生发生 3 次或次或 3 次以上故障要亏损次以上故障要亏损 1 万元万元.这台机器一周内可能获利的均值是多少这台机器一周内可能获利的均值是多少?解解:设这台机器在设这台机器在 5 天内发生故障的次数为天内发生故障的次数为 X,则则 XB(5,0.1),那么那么 X 的分布列为的分布列为X012345P0.5905 0.3281 0.0729 0.0081 0.0004 0.000
33、01设所获利润为设所获利润为 Y,则则 Y 的分布列为的分布列为Y52.50-1P0.5905 0.3281 0.0729 0.0085 2.一台机器在一天内发生故障的概率为一台机器在一天内发生故障的概率为 0.1.若若对台机器一周对台机器一周 5 个工作日不发生故障个工作日不发生故障,可获利可获利 5 万元万元;发生发生 1 次故障仍可获利次故障仍可获利 2.5 万元万元;发生发生 2 次故障的利次故障的利润为润为 0 元元;发生发生 3 次或次或 3 次以上故障要亏损次以上故障要亏损 1 万元万元.这台机器一周内可能获利的均值是多少这台机器一周内可能获利的均值是多少?解解:设这台机器在设这
34、台机器在 5 天内发生故障的次数为天内发生故障的次数为 X,则则 XB(5,0.1),那么那么 X 的分布列为的分布列为342P510X0.5905 0.3281 0.0729 0.0081 0.0004 0.00001设所获利润为设所获利润为 Y,则则 Y 的分布列为的分布列为-10P2.55Y0.5905 0.3281 0.0729 0.0085于是于是 E(Y)=5 0.5905 2.5 0.3281 0 0.0729-1 0.0085=3.76425.答答:这台机器一周内可能获利的均值是这台机器一周内可能获利的均值是3.76425万元万元.返回目录返回目录 1.随机变量的方差是怎样计算
35、来的一个随机变量的方差是怎样计算来的一个数值数值?它反映随机变量的什么特征它反映随机变量的什么特征?2.随机变量的方差有什么实际意义随机变量的方差有什么实际意义?学习要点 3.服从两点分布、二项分布的方差怎样服从两点分布、二项分布的方差怎样计算计算?问题问题1.根据两名同学以往参加射击比赛的成绩记录根据两名同学以往参加射击比赛的成绩记录,下面是他们各自中靶环数下面是他们各自中靶环数 X 的分布列的分布列第一位同学中靶环数第一位同学中靶环数X X1 1的分布列的分布列:0.3180.2790.2070.100.090.03P1065X1第二位同学中靶环数第二位同学中靶环数X X2 2的分布列的分
36、布列:0.4180.3390.2070.050.01P65X2他们的成绩一样吗他们的成绩一样吗?如果要选派其中一人去参加比赛如果要选派其中一人去参加比赛,应应该派谁较恰当该派谁较恰当?E(X1)=5 0.03 6 0.09 7 0.2 8 0.31 9 0.27 10 0.1=8;E(X2)=5 0.01 6 0.05 7 0.2 8 0.41 9 0.33=8.平均成绩相同平均成绩相同.再观察分布列的图形再观察分布列的图形:0.10.20.30.45678910X1POX1 分布列分布列0.10.20.30.456789X2POX2 分布列分布列环数较分散环数较分散.环数集中在环数集中在 8
37、,9 环环.问题问题:用什么数来表示分散与集中这一特点用什么数来表示分散与集中这一特点?分析两随机变量与平均数的偏移程度分析两随机变量与平均数的偏移程度:X15678910P0.030.090.200.310.270.10X256789P0.010.050.200.410.330.03个个|5-8|0.09个个|6-8|0.2个个|7-8|0.31个个|8-8|0.27个个|9-8|0.03个个|10-8|0.01个个|5-8|0.05个个|6-8|0.2个个|7-8|0.41个个|8-8|0.33个个|9-8|0.090.180.200.270.060.030.10.200.33与平均值的与
38、平均值的偏移程度偏移程度与平均值的与平均值的偏移程度偏移程度 =0.8.=0.66.X2 与均值的偏移程度要小些与均值的偏移程度要小些,较集中于均值附近较集中于均值附近.为了去掉绝对值符号为了去掉绝对值符号,改用平方改用平方:.)(12=-niiiXExp设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则则(xi-E(X)2 描述了描述了xi(i=1,2,n)相对于均值相对于均值 E(X)=-=niiipXExXD12)()(为这些偏离程度的加权平均为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量刻画了随机变量 X 与其与其均值均值 E(X)的平均偏离程度
39、的平均偏离程度.我们称我们称 D(X)为随机变量为随机变量 X 的的方差方差,并称其算术平方根并称其算术平方根 为随机变量为随机变量 X 的的标准差标准差.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量偏离随机变量的方差和标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度于均值的平均程度.方差或标准差越小方差或标准差越小,则随机变量则随机变量偏离偏离于均值的平均程度于均值的平均程度越小越小.)(XD的偏离程度的偏离程度,而而(练习练习):请计算两名同学射击环数的方差请计算两名同学射击环数的方差 D(X).X15678910P0.030.090.200.310.270.10X256789P0.010.050.2
40、00.410.33 E(X1)=E(X2)=8,D(X1)=(5-8)2 0.03(6-8)2 0.09 (10-8)2 0.1=0.27 0.36 0.2 0 0.27 0.4=1.5.D(X2)=(5-8)2 0.01(6-8)2 0.05 (9-8)2 0.33=0.09 0.2 0.2 0 0.33=0.82.D(X2)D(X1),第二名较稳定第二名较稳定.如果如果 X 服从两点分布时服从两点分布时,D(X)=p(1-p).(同学们可以证明这一结论同学们可以证明这一结论)如果如果 X 服从二项分布时服从二项分布时,即即 XB(n,p),D(X)=np(1-p).(此证明较繁此证明较繁,
41、不要作求不要作求)当当 Y=aX b(a,b 为常数为常数)时时,D(Y)=D(aX b)=a2D(X).例例4.随机抛掷一枚质地均匀的骰子随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面求向上一面的点数的点数 X 的均值、方差和标准差的均值、方差和标准差.解解:抛掷骰子点数抛掷骰子点数 X 的分布列如下的分布列如下:X123456P616161616161(请同学们完成请同学们完成 E(X),D(X),)(XD 例例4.随机抛掷一枚质地均匀的骰子随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面求向上一面的点数的点数 X 的均值、方差和标准差的均值、方差和标准差.解解:抛掷骰子点数抛掷骰子点数 X 的分布列如下的
42、分布列如下:X123456P61616161616161)654321()(=XE=3.5.2222)5.34()5.33()5.32()5.31()(-=XD61)5.36()5.35(22-2.92.92.2)(=XD1.71.例例5.有甲乙两个单位都愿意聘用你有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下而你能获得如下信息信息:甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X1/元元 1200 1400 1600 1800获得相应职位的概率获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X2/元元 1000 1400 1800 2200获得相应职位的概率获得相
43、应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的冲差异情况根据工资待遇的冲差异情况,你愿意选择哪家单位你愿意选择哪家单位?解解:求各单位的均值与方差求各单位的均值与方差.E(X1)=1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1=1400.D(X1)=(1200-1400)2 0.4(1400-1400)2 0.3(1600-1400)2 0.2(1800-1400)2 0.1=40000.例例5.有甲乙两个单位都愿意聘用你有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下而你能获得如下信息信息:0.10.20.30.4获得相应职位的概率获得相应职位的概率P1180016
44、0014001200甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X1/元元0.10.20.30.4获得相应职位的概率获得相应职位的概率P22200180014001000乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X2/元元根据工次待遇的冲差异情况根据工次待遇的冲差异情况,你愿意选择哪家单位你愿意选择哪家单位?解解:求各单位的均值与方差求各单位的均值与方差.E(X1)=1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1=1400.D(X1)=(1200-1400)2 0.4(1400-1400)2 0.3(1600-1400)2 0.2(1800-1400)2 0.1=40000.
45、E(X2)=1000 0.4 1400 0.3 1800 0.2 2200 0.1=1400.D(X2)=(1000-1400)2 0.4(1400-1400)2 0.3(1800-1400)2 0.2(2200-1400)2 0.1=160000.E(X1)=E(X2),平均工资相等平均工资相等.D(X1)D(X2),第一家工资级差小于第二家第一家工资级差小于第二家.如果希望工资差距小一些如果希望工资差距小一些,就选择第一家就选择第一家.如果能力出众如果能力出众,很快会获得高职位很快会获得高职位,就选择第二家就选择第二家.练习练习:(课本课本68页页)第第 1、2、3 题题.练习练习:(课本
46、课本68页页)1.已知随机变量已知随机变量 X 的分布列为的分布列为0.10.20.40.20.1P43210X求求 D(X)和和.)(XD解解:E(X)=0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1=2.D(X)=(0-2)2 0.1(1-2)2 0.2(2-2)2 0.4(3-2)2 0.2(4-2)2 0.1=1.2.2.1)(=XD1.1.2.若随机变量若随机变量 X 满足满足 P(X=c)=1,其中其中 c 为常数为常数,求求 D(X).解解:E(X)=c.D(X)=(c-c)2 1=0.3.方差在实际中有什么作用方差在实际中有什么作用?请用具体实例说明请用具体实例说明
47、.解解:方差刻画的是与平均值的偏离程度方差刻画的是与平均值的偏离程度,是反映是反映随机变量的稳定性随机变量的稳定性.在实际应用中在实际应用中,如果几个方案均值相同如果几个方案均值相同,而关心而关心的问题希望较为稳定的问题希望较为稳定,就应该选择方差较小的方案就应该选择方差较小的方案.如果关心的问题有特殊性如果关心的问题有特殊性,如方差大的运动员最如方差大的运动员最近状态非常好近状态非常好,可能会取得他的最好成绩可能会取得他的最好成绩;招录专业招录专业技术人员时技术人员时,各科招考成绩方差大各科招考成绩方差大,是否所需专业最是否所需专业最高高;投资时投资时,喜欢冒险以获得最大收益喜欢冒险以获得最
48、大收益.如如:选择运动员参赛选择运动员参赛;按多科招考成绩选择综合管理按多科招考成绩选择综合管理人员人员;希望有较稳定收益的投资等希望有较稳定收益的投资等.【课时小结课时小结】1.随机变量的方差与标准差随机变量的方差与标准差 方差方差是随机变量是随机变量 X=xi 与均值与均值 E(X)的偏的偏离程度离程度(xi-E(X)2 的加权平均的加权平均,用用 D(X)表示表示.=-=niiipXExXD12)()(标准差标准差是方差的算术平方根是方差的算术平方根.)(XD 方差和标准差都反映了随机变量偏离于均方差和标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度值的平均程度.则则值越小值越小,随机变量随机
49、变量偏离偏离于均于均值的平均程度值的平均程度越小越小.【课时小结课时小结】2.特殊分布的方差特殊分布的方差如果如果 X 服从两点分布服从两点分布,则则D(X)=p(1-p).如果如果 X 服从二项分布服从二项分布,XB(n,p),则则D(X)=np(1-p).当当 Y=aX b(a,b 为常数为常数)时时,D(Y)=D(aX b)=a2D(X).习题习题 2.3A 组组第第 1、5 题题.习题习题 2.3A 组组1.已知随机变量已知随机变量 X 的分布列为的分布列为0.400.440.16P31-2X求求 E(X),E(2X 5),D(X),.)(XD解解:E(X)=(-2)0.16 1 0.
50、44 3 0.40=1.32.E(2X 5)=2E(X)5=2 1.32 5=7.64.D(X)=(-2-1.32)2 0.16(1-1.32)2 0.44(3-1.32)2 0.40=2.9376.9376.2)(=XD1.7139.5.甲、乙两名射手在同一条件下射击甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环所得环数数 X1,X2 的分布列为的分布列为X1678910P0.160.140.420.10.18X2678910P0.190.240.120.280.17根据环数的均值和方差比较这两名射手的射击水平根据环数的均值和方差比较这两名射手的射击水平.解解:E(X1)=6 0.16 7 0.14
