1、 高等数学高等数学 1 第十四讲2例例7.计算计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(2243例例8 计算计算dxyID21011:yxD解解:先画D域由:2xy 将D域分为D1和D2111:21yxxD22011:xyxD2122DDdyxdxyI1511111 xyo2D1D4 设,1,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()
2、(d110yyfxfxIx证法一证法一交换积分顺序后,x,y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A例例9 9 1)(xdyyf 不能直接积出不能直接积出,5 设,1,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx证证oyx1xy 122A例例9 9)(xfx0dttfxF)()(111001()()()()xdxf x f y dyf x F ydxx1010)()()1()
3、(dxxFxfdxFxf10)()(01)()1(xFdxFxFF)1(21)1(22FF2102)(21)1(21dxxfF因为连续，故设，所以 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分6换元积分法是计算定积分的一种常用的方法，在计算重积分中有类似的换元法换元法。一种换元法就是本节所介绍的极坐标极坐标。将二重积分的从直角坐标换为积分变量引例：引例：计算计算724ydxdyxID22144:2222yxxyxDAB解：解：先求曲线的交点442222yxxyx3,13,1BA1D3D2D321DDDD321DDDI:1Dxy0224421xxyxx:2D224442xxyxxx:3D
4、224421xyxxx1D极坐标：极坐标：8若将直角坐标系中的原点取为极点极点，M轴的正半轴取为极轴极轴。0 xx设直角坐标系中点yx,的坐标M极坐标系中点M的坐标,r,rrsincosryrxxyryxtan222r020 oMr称为极坐标的极径极径。称为极坐标的极角极角。sin,cos,rrfyxf二重积分中被积函数把y由极轴出发逆时针逆时针方向为正正。两坐标系中变量间关系：yx求极坐标下的积分元素求极坐标下的积分元素kkrrr9xyo在极坐标系下,用射线 =常数则除包含边界点的小区域外,),2,1(nkkkkkkrrk及同心圆 r=常数,d的表示方法。drrddrd小区域的面积由图可知：
5、rddrkdDyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(分划区域D 为10kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(kkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有kkkkkkrrrr)(21在k),(kkrkkr221内取点kkkrr221)(krkrkkkr严格的推导：严格的推导：极坐标中二重积分化为二次积分的方法类似于直角极坐标中二重积分化为二次积分的方法类似于直角11oD)()(21d)sin,cos(rrrrf12:,()()Dr 则Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别,对20)
6、(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD坐标系中的方法。坐标系中的方法。设：)(1r)(2r12若 f 1 则由上式可求得D 的面积d)(21202Dd思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(例例1：将：将13dyxfID,化成极坐标下的二重积分。0:.1222aayxDa200:arDrdrrrfdIa200sin,cosDx0yar 例例1：将：将1402:.222aaxyxDcos2ar 22cos20:arDrdrrrfdI
7、a22cos20sin,cosa2Dax0y222)(:ayaxDdyxfID,化成极坐标下的二重积分。3.1502:22bybyxDsin2br 0sin20:brDrdrrrfdIb0sin20sin,cosb2bDx0y222)(:bbyxD例例1：将dyxfID,化成极坐标下的二重积分。4.1641:22yxD2021:rDrdrrrfdI2021sin,cosxy021D21r例例1：将dyxfID,化成极坐标下的二重积分。由极坐标计算由极坐标计算17例例1：计算ydxdyxID221xyxyxD44:2222解：解：xyxyx44222233cos42:rDcos42rrrddco
8、s42302302cos42d30|2sin423434drrdrID132,121cosDxy03231例例2.计算计算23164sinr22()d dDxyxy4sin22sindrrr15(3)2224xyy222xyy33yx其中D 为由圆所围成的22()d d,Dxyxy222,xyy224xyy3yx及直线3,3yx解：解：平面闭区域.3yx2sinroxy2436d例例3：计算计算1911:22yxyxDDydxdyxyxI22解解：先画D域（分析D域在第一象限）1122ryx1 yx21cossin1:orDrddI)sin(cos1cossin120201sincosd221
9、 yx122 yx1sincosr例例4.计算二重积分计算二重积分20其中D为.0,0,122yxyxDdxdyyxyx222211解解:利用极坐标.rdrrrdI10222011)212(ln21202(1)21rdrr例例5.34202sin4ad sin3001adr dra21azyx22)(0aayyx220z ayyx22DdxdyyxaV)(12221Drrdrda340sin4ad 33323221432aa求由曲面柱面以及平面解解：该立体向xoy面作投影，投影区域D：所围的立体的体积。例例6.计算二重积分计算二重积分22,dd)cos(22yxyxxID其中 D为圆域222R
10、yx解解:利用对称性.yxxIDdd,dd)cos(22yxyxDrdrrdR0220cos02sin R23例例7.2222322ayxdyxx)(解：解：积分域是圆域，关于x,y轴 对称2220)32(ayxdyx22222222ayxayxdydx而222222adayx 2424aa原式222)(2122ayxdyx44a例例8.计算计算242dyyxID)(22其中D 是由曲线422 yx所围成的平面域.1)1(22yx与解解和被积函数的奇偶性022122dyxIDD利用积分区域的对称性1D2D20220 2rdrdIdyxD122 2222dyxD239162004 考研y D10
11、 x220:1roD2cos22:2rD2cos222rdrd25例例9 9 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为其中积分区域为41|),(22 yxyxD.4 解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分，Ddxdyyxyx2222)sin(210sin42rdrrrd14DD 1D作业作业26习题册第九章第二节第三节第三节27一、三重积分的概念一、三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分的概念和计算方法 第十章 28一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),(),(kk
12、kkv引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为29定义定义.设设,),(,),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素,vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘积和式”极限记作记作由定义可知,引例中物体的质量为:vdzyxM,特别若在1,z
13、yxf上那么三重积分在数值上就等于区域的体积即:VdV性质性质:30三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积,三重积分存在定理:当函数,fx y zfx y z在闭区域上时连续在区域上的三重积分必定存在,此时称函数.,上是可积的在zyxf31二、三重积分的计算二、三重积分的计算1）利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”),0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,
14、推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:32zxyDDyxdd 方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz),(1yxzz yxdd微元线密度记作33例例1:计算计算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.0yzx22解法一解法一:采用先对z积分,将Izd
15、zxx20sinydyx0 xd20 xd20ydxyxcos0241.面上区域投影到xoy200:20:xxyDxzyx34解法二解法二;采用先对采用先对0yzx222020:0:xxzDxyzxIzdzxx20sinydyx0 xd20 xdx2021zdzxx)(sin20241.面上区域投影到xozy积分,将例例1:计算是由平面其中zdydxdzxyIsin200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.352020:2:22yyzDzxyzyIzdy220 xdzxzy22sinydy20241.面上区域投影到zoyx积分,将解法三解法三;采用先对例例1:计算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.0yzx2236一般在解题时,首先应该根据区域的具体情况,考虑它对那个坐标面投影比较方便,从而决定采用先对那个变量积分的积分的次序.此题用解法三麻烦.
