1、高等数学 习题课习题课2一、一、重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 第十章 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法31.选择合适的坐标系被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法3.掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧4分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或质心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号4.利用重积分换元公式55 5、二重
2、积分的计算、二重积分的计算,:bxaD ).()(21xyx .),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf区域的特点：区域的特点：穿过区域且平行于平行于y y 轴轴的直线与区域（）直角坐标系下（）直角坐标系下区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于x x 轴轴的直线与区域.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf,:dycD ).()(21yxy 边界相交不多于两个交点.边界相交不多于两个交点.6.)sin,cos()()(21rdrrrfd1)sin,cos(Drdrdrrf,:1D).()(21 r（）极坐标系下（）极坐标系下.)sin,cos()(0rdrrr
3、fd,:2D).(0 r2)sin,cos(Drdrdrrf3)sin,cos(Drdrdrrf.)sin,cos()(020rdrrrfd,20:3D).(0 r7、重积分的对称定理6两个方面。dyxfID),(1若 关于 轴对称，Dy时，),(),(yxfyxf0I当 时，),(),(yxfyxf1),(2DdyxfI0|),(1xDyxD其中运用对称性时，当则有必须兼顾被积函数与积分区域两个方面的对称性要相匹配，才能利用Dyx),(对87 7、二重积分的应用、二重积分的应用(1)(1)体积体积的体积为之间直柱体与区域在曲面Dyxfz),(DdxdyyxfV.),(设S曲面的方程为：).,
4、(yxfz 曲面曲面S S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz(2)(2)曲面面积曲面面积例例1.1.9计算积分Ddyx,)(其中D 由,22xy 12,4yxyx所围成.提示提示:如图所示22yx4246oyx,12DDD内有定义且在2),(DyxyxfDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyx连续,所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431D2DD例例2.2.10计算,422Ddyx其中9:22 yxD解解:对于含有绝对值的函数,通常分区域积分422yx,422 yx,)(422yx 9422yx422 yx原式=42222)(4yxdy
5、x942222)4(yxdyx利用极坐标20d202)4(rdrr20d322)4(rdrr241例例3 3 设 11,0)(axf在上连续，试证明Dadxxxfdxdyyxf0)()(.00:ayxyxD证明证明xaDadyyxfdxdxdyyxf00)()(.tyx令axadttfdx)(0tadxdttf00)(adttft0)(adxxfx0)(xy0aa.ayxDDotxtxa例例4.4.计算二重积分12,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1)D为圆域;122 yx(2)D由直线1,1,xyxy解解:(1)利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10
6、320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成.(2)(2)积分域如图:13yxeyxDyxdd122o1yx11D2Dxyxy,xy将D 分为,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加辅助线利用对称性,得例例4.计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(2)D由直线1,1,xyxy围成.特别：14轮换对称：轮换对称：若D关于直线对称，则.xy dyxfD),(dxyfD),(dxfD)(dyfD)(例如计算：dxID2dyID2222:ayxDdyxID)(212244a例例5.5.计算二重积分15111 xyo,dd)sgn()1(
7、2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分.解解:(1)2xy 21,DD两部分,则1ddDyxI1102dd(2xyx322D2ddDyx)dd2010 xyx1011:yxD，其中D 为圆域把与D 分成1D作辅助线(2)提示提示:16xy1o1xy 21,DD两部分 1DyxyxDdd)(22yxyxIDdd)2(说明说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.xy 作辅助线2D将D 分成Dyxdd22)12(32,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分.其中D 为圆域17例例6oyxaaDyxad23222/)(ayax
8、D0;0:其中解：解：21DD原式daa402sin2cos12用极坐标计算。cos02/32240)(2arardrd12Dxy 对称。如图D是关于直线a62Dxy 1Dcosar例例7.7.计算积分1810lnxdxxxab解解:原式bayydxbayxdxyd10bayydyx1011baydy11ab11ln10 xd例例8 8.19，上连续在设,)(baxf证明babaxxfabxxfd)()(d)(22证证:左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)()(yxyfxfDdd)()(222121xxfybabad)(d2yyfxbabad)(d22abxdxfba)(2
9、xdxfabba)()(2byabxaD:=右端ydyfba)(220方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)zxyDDyxdd Dyxyxzzyxz),(),(),(:21vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(),(2yxzz),(1yxzz d dxy微元线密度记作9 9、三重积分的计算、三重积分的计算21方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)abbzaDyxz),(:为底,d z 为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd
10、),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zd记作22.,sin,coszzryrx()柱面坐标柱面坐标.),sin,cos(),(dzrdrdzrrfdvzyxf,dzrdrddv.cos,sinsin,cossinrzryrx,sin2ddrdrdv dxdydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf()球面坐标球面坐标轮换对称：轮换对称：23dvxf)(例如计算：dvxI2dvzyxI)(31222设2222:azyxdvyf)(dvzf)(2222:azyx240001sin3addr dr 15yzxa例例1
11、 1：00.xy24.000:2222zyxazyx计算dvzyxI)(解解 由轮换对称有dvxIdvydvz设2222:zDxyazdvzI 3zDyxddzzad30adzzaz022)(434163ayzxa25例例2.1:222zyxdvez，计算 解解2221xyz，上dvedvezz2102zDze dzdxdy102)1(2dzezz.2被积函数仅为z的函数，截面Dz为圆域：故采用“先二后一”的方法。zxoyzD26例例3.222,xyz计算22(),Ixydxdydz其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面oz2,z 8z 面所围的立体。解：解：绕轴旋转得oz由220yzx旋转面方程为
12、所围成的立体如图.与两平27dxdyyxdzIzD)(2282drrddzz2032082336解解.用“先二后一”计算8zxoy2zD例例3.计算,)(22dxdydzyxI其中是曲线,22zy 0 x绕轴旋转一周而成的曲面oz,2z8z面所围的立体。与两平,222zyx旋转面方程为28:2D422 yx:1D1622 yx824020:21zrr所围成立体的投影区域如图，解法解法2.(用柱坐标计算)222020:22zrr212831rDIr drddz222232rDIr drddzo oxyzh,222zyx旋转面方程为29212831rDIr drddz345222232rDIr d
13、rddz62522248300rdr drdz22222300rdr drdz.336623455I12IIIo oxyzh,222zyx旋转面方程为三、重积分的应用三、重积分的应用301.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力 证明某些结论等 2.物理方面3.其它方面例例1 1.计算二重积分31,222ydxdxyxD解解:其中.4:22 yxD利用对称性利用对称性D1D2D分区域 D 为21,DD2oxy(如图),则ydxdxyxID)2(221ydxdyxxD)2(222ydxdxyxD)2(22ydxdyxxD)2(222220d203rdr014用形心公
14、式用形心公式204dcos203rdr84d204cos169例例2 232设积分域 D 是以原点为中心,半径为 r 的圆域,则)()(cos1lim2220Dyxrydxdyxer2)(rA1)(B21)(rC0)(D解解:由积分中值定理可知,Dyxydxdyxe)(cos22使存在D),()(cos22e2r于是,原式=)(coslim220er1B例例3.3.33,)0(,0)0(,)(存在设ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解:在球坐标系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必达法则与导数定义,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中)0(f
