1、第九届全国初中青年教师优秀课展示第九届全国初中青年教师优秀课展示 1 15.2.3 整数指数幂教学设计 一、 内容和内容解析 本节选自义务教育课程标准实验教科书数学 （人教版）八年级上册，是第 15 章“分式”第 2 节 “分式的运算”第 3 课时的内容. 根据教材内容和学生情况，本节学习的主要内容是让学生经历观察、猜想、归纳、验证等数学活动， 在了解负整数指数幂定义合理性的基础上，探究负整数指数幂的性质，并运用于简化计算. 在此之前，学生已经学过正整数指数幂和零指数幂，特别是正整数指数幂，学生已经学过了它的 5 条运算性质：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、商的乘方，其中对
2、同底数幂的 除法，要求被除式的指数要大于除式的指数.教学中抓住这个条件，引导学生类比 0 指数幂展开探索，从 约分和同底数幂的除法两个角度“殊途同归”说明了定义负整数指数幂的合理性，这样，就在运算需求 之下，实现了指数的扩充，然后引导学生通过验证的方式，针对以前的 5 条性质进行再探讨，不难发现， 在负指数的约定下，其他性质的使用条件也能推广到整数指数幂，这不仅给式的计算带来更大的便利， 也为后续科学记数法的扩充作下铺垫.不仅如此， 教学中对于负整数指数幂性质的探究方法， 对于后续扩 大数域范围后验证运算封闭性的问题具有类比和启示作用（如以后随着认识分数指数和无理数指数，对 指数的认识还要扩大
3、到有理数范围和实数范围） ，是初中代数的重要内容之一. 在负整数指数幂性质的教学中，通过数与数量、运算结果观察等方面进一步培养学生的数感；学生 用符号表示数、数量关系和变化规律，用符号进行运算并得到一般性的结果，进一步提高了符号意识. 在性质验证的教学中渗透了从特殊到一般和整体的思想方法. 本节的重点是扩充范围后整数指数幂运算性质的应用，学生能够灵活选择各类性质进行简化计算. 二、 目标和目标解析 1.目标 (1) 知识与技能：知识与技能： 了解负指数幂的意义. 举例说明扩充范围后整数指数幂性质的合理性. 能够运用整数指数幂运算性质解决幂的运算问题. (2) 过程与方法：过程与方法： 学生经历
4、观察、猜想、归纳、验证等数学活动，探索负整数指数幂的运算性质，进一步体会幂的意 义，发展推理能力和运算能力. (3) 情感态度与价值观：情感态度与价值观： 在数学法则中渗透简洁美、 和谐美.学生围绕着扩大数的范围后性质是否成立的问题进行探究， 感受 数学充满着探索与创造，在师生、生生的交流活动中，学会合作学习，学会倾听、欣赏和感悟. 2. 目标解析 达成知识与技能目标的标志是：学生知道负指数幂的意义，能从具体情境中辨认或举例说明负指 数幂.达成目标的标志是：学生能够举出具体的例子验证扩充范围后整数指数幂的性质仍然成立.达成 目标的标志是：在理解整数指数幂性质的基础上，学生能够应用性质解决整数指
5、数幂的计算问题. 三、教学问题诊断分析 八年级的学生思维活跃，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇.针对学生的心理特征，本课时对于 负整数指数幂的性质的推导适合设计探究活动，让学生感受到探索的乐趣. 在此之前，学生虽然已经学习了正整数指数幂和零指数幂，然而什么是负整数指数幂，为什么 第九届全国初中青年教师优秀课展示第九届全国初中青年教师优秀课展示 2 1 (0,) n n aan a 是正整数，要让学生从心理上接纳有一定的困难，因而说明定义负整数指数幂的合 理性是本节课的难点之一.在认可负整数指数幂的定义之后， 如何验证扩大数的范围后原本正整数指数幂 的性质仍然成立，无论是验证的思路还是验证的方
6、法，对于学生而言都是全新的挑战，因而负整数指数 幂性质的推导也是本节课的难点.教学中应尽可能地让学生明白性质从何而来， 再运用性质， 既关注知识 的生成过程，也体现了循序渐近的教学原则.当然，这两个难点都不是本节课的重点，教学中不应被运算 性质的推导所累，能让学生通过验证的方式认可即可，对于基础薄弱的学生而言，更应将重心放在性质 的简单应用上. 四、教学支持条件分析 教师准备：教师准备：幻灯片课件、实物投影仪. 学生准备：学生准备：小组合作学习.本文的“合作学习”均为“四人小组合作学习” ，笔者对本班“小组合作 学习”制定相应的机制. 五、教学过程设计 问题与情境问题与情境 师生行为师生行为
7、设计意图设计意图 【活动一】【活动一】 开门见山，复习引入开门见山，复习引入 目的：学生了解负指数幂定义的 合理性，体会负指数幂的意义. 问题问题 1 1：同学们，关于整数指数 幂的性质，我们已经研究了什么 内容？ 追问追问 1 1：关于整数指数幂，我们 还要继续研究什么？ 追问追问 2 2：在指数幂不变的情况 下，关于整数，我们还要研究什 么？ 追问追问 3 3： 都研究完了吗？这些法 则都在整数范围内适用吗？ 问题问题 2 2：对于这 5 条性质， 我们 今天从最具代表性的两条开始研 究起，在此基础上如何研究负指 数呢？ 追问追问 1 1：指数是负的，怎么产 生？ 追问追问 2 2：对于条
8、件“mn” ，你 们对此有何感想？ 追问追问 3 3：对于最特殊的 m= n， 你能得到什么？ 追问追问 4 4：你能举出“mn”的例 教师板书课题并进行问题 1 设问. 学生回顾正整数指数幂的运算性质. 教师用PPT显示正整数指数幂的5条性质， 并进行追问 1.如果学生还感到困惑，可以先板 书强调： “整数指数幂” ，并通过追问 2 和追问 3 启迪学生本节课要研究的主要内容是负整数 指数幂. 若学生回答负整数、正分数、有理数 等，教师点评并进一步设问： “很好！同学们会 懂得发现问题，提出问题，这是创新的开始， 那么，在大家所提出来的这些条件中，哪一种 最简单？”引导学生从最简单的负整数开
9、始探 究. 教师板书： (1)( ,) mnm n aaam n 是正整数 (2) (0,) mnm n aaa am nmn 是正整数， 预估学生会说令 m，n 为负数，比如 23 aa ，教师给予肯定，并由此引导学生关 注 2 a是什么， 进行追问 1， 进而引导学生观察 m-n，差会产生负数. 如果学生没有想法，则可以通过追问 2 进 行思维启迪，预估学生会说 m= n 或 mn 的情 从 知 识 体 系 的 角 度，明确本节课的 研究方向. 学生发现和提出问 题是创新的基础. 从研究什么到如何 研究，设置开放性 问题激发学生思考. 独立思考，学会思 考是创新的核心. 第九届全国初中青年
10、教师优秀课展示第九届全国初中青年教师优秀课展示 3 子吗？ 问题问题 3 3： （从学生的回答中选 择一个例子）比如 m=2，n=5，如 何算出 35 22？ 追问追问 1 1：你是怎样得到 2 2的？ 问题问题 4 4：但是，当，当 mn 时，我 们不知道刚才同底数幂的除法还 会不会成立. 你能不能作出规定， 使得 353 5 222 成立呢？ 问题问题 5 5： 这个规定合理吗？你还 能举出其它例子进行说明吗？ （小组讨论） 问题问题 6 6：对于这个规定， 你能用 一般的式子表示出来吗？ 追问追问 1 1：为什么公式中规定 0a？ 追问追问 2 2： 同学们已经认识了负整 数指数幂，想一
11、想，对于 m a，当 7,0, 7m 时，你能分别说出它 们的意义吗？ 课堂练习课堂练习 1. 填空： 0 (1)3 ， 0 ( 3) ， 0 b ； 2 (2)3 ； 2 ( 3) ； 况，对于第一种，通过追问 3 回顾零指数幂， 对于 mn，教师再进行追问 4. 预估学生会得到 2 1 2 或 2 2 学生回答： 353 52 2222 . 学生回答 2 2 1 2 2 . 学生先独立思考，再小组讨论. 教师请小组代表上台发言.如果学生举例有困 难，教师可以再举一个例子，如： 231 1 101010 10 学生回答 1 (0) n n aan a ， 是正整数 教师补充“也就是说(0)
12、n aan ， 是正整数 是 n a的倒数， 这样分式就可以更简便地表示出 来”. 对于追问 1，教师引导学生发现处在分母位置 的 a 不能为 0. 对于追问 2，学生思考回答： 7 7 aa aa 个 ， 0 1a ， 7 7 1 a a 教师提问，学生思考并回答. 归纳概括得到猜想 和规律、并加以验 证，是创新的重要 方法. 挖掘容易被学生忽 视的公式条件，体 会负整数指数幂本 质上是分式，并通 过具体的例子进行 小结梳理. 巩固负整数指数幂 的定义.第 2 题为后 续例 9 第(3)题分母 带有负指数的情形 铺垫. 第九届全国初中青年教师优秀课展示第九届全国初中青年教师优秀课展示 4 2
13、 b (0)b 2. 2 1 a (0)a . 【活动二】【活动二】 扩充范围，再探性质扩充范围，再探性质 目的：举例验证当范围扩充到整 数后，幂的性质仍然成立. 问题问题 1：同学们已经认识了负 指幂，现在我们加大难度， 25 aa 你会算吗？ 问题问题 2：这里的同底数幂的乘 法，和原来学过的有什么不同？ 问题问题 3： 请同学们再举类似的例 试看看，小组进行交流. 追问：追问：你发现了什么？ 问题问题 4：那么() m nmn aa， ()n nn aba b， mnm n aaa ， n n n aa bb 对于负整数指数幂和 0 指数幂是否仍然适用呢？同学 们课后可以验证看看. 对于
14、问题 1 预估学生会从两方面回答 5 253 2 a aaa a ， 252 53 aaaa 师生共同总结： 252 5 aaa 学生关注指数出现负数的情况. 学生独立思考，小组交流. 教师请小组代表上台展示例子. 学生回答：( ,) mnm n aaam n 是正整数 教师点评：今后在我们进行同底数幂相乘时， 即使指数是负的，我们也能通过幂的运算法则 更快地进行计算. 教师总结：事实上，随着指数的取值范围由正 整数推广到全体整数，这些运算性质也都能适 用. 运用负指数定义， 从特殊到一般验证 同底数幂乘法法则 运用范围扩充的合 理性. 合作学习，共同突 破难点.小组展示不 同的数据，便于学
15、生归纳. 其它性质的探究留 作课后思考，不冲 淡重点. 【活动三】【活动三】 应用迁移，巩固应用迁移，巩固提高提高 目的：应用推广后的整数指数幂 的运算性质进行运算. 例 9计算： 25 (1);aa 12 3 (2)()a b 2 3 2 (3); b a 教师引导学生选择合适的性质进行计算， 师生共同完成. 先由学生独立计算， 预估第(2)(3)两题学生 会有不同的方法，一是从定义出发，二是从性 质出发，教师应及时肯定，并引导学生寻找最 优方案； 引导学生用数学的整体思想进行分析， 运用性质进行计算.对于问题(3)， 教师引导学生 先明确运算顺序，再选择相应的性质计算. 如果学生运算结果仍
16、然用负指数幂表示， 不属于错误.在此教师可以说明，因为负指数属 灵 活 选 择 性 质 计 算，渗透整体思想. 为后续 5 条性质合 并为 3 条铺垫. 第九届全国初中青年教师优秀课展示第九届全国初中青年教师优秀课展示 5 22223 (4)()a ba b 于分式，与前面知识对应，在此建议将结果化 为正整数指数幂的形式. 【活动四】【活动四】 独抒己见，说我所得独抒己见，说我所得 目的：知识与方法的梳理，进一 步理解本节课研究新知识的角 度，感受数学的简洁美，激发探 索欲望. 问题问题 1：这节课你学习了什么知 识，感悟了什么思想方法？ 问题问题 2：回忆刚才两条性质合并 为一条的研究方法，
17、再仔细思 考，还可不可以更简洁一些？ 问题问题 3：这些性质原来的适用范 围是正整数，当范围放宽为整数 后，我们很惊讶地发现原来性质 依然保存，适用性更大了. 还敢想象吗？“整数”还可以 变成什么？ 从研究问题的角度来看，如果 指数不是整数，性质还会成立 吗？ 学生分享体会， 教师从以下几个方面进行引 导归纳： （1）幂的两个规定： 当 a0 时， 0 1a ； 当 n 是正整数时， 1 (0) n n aa a （2）幂的 5 条性质； （3）从特殊到一般的思想. 教师启发： 我们知道，数学具有简洁美.由于乘除是可 以互相转化的， mnmnm n aaaaa ， 因而两条性质 可以合并为一条
18、乘法的性质即可. 对于问题 2，学生思考并回答，若有困难，教 师可以再进行启发：“剩下的 4 条性质中有除法 吗？” 学生从指数的范围上进一步思考. 教师提出问题，告诉学生这个问题留待高中研 究. 培养学生善于反思 的学习方式. 问题指向明确，具 有针对性. 渗透转化的思想， 感受数学的简洁美. 引导学生从知识体 系上理解研究问题 的角度.激发学生探 索的欲望. 【活动五】【活动五】 分层作业，各有所获分层作业，各有所获 目的：课后自我检测新知识的掌 握情况. 必做：课本 P145 第 2 题. 选做：课本 P148 阅读与思考 “容器中的水能倒完吗” 让不同的学生在数 学上获得不同的发 展.
19、 六目标检测设计： 1. 3 5可以表示为（ ） .( 5) ( 5) ( 5)A .555B 111 . 555 C 111 .() () () 555 D 设计意图：了解负整数指数幂的意义. 第九届全国初中青年教师优秀课展示第九届全国初中青年教师优秀课展示 6 2.计算 34 (1)aa ； 22 (2)32a bab ； 1 3 (3)( 3)ab ； 2 3 3 (4)() b a ； 22233 (5)( 2)3m nmn ； 221 ( 6) 4( 2)xy zxyz . 设计意图：掌握运用整数指数幂的性质进行运算的技能. 3. 3413 (1)()xxx y ； 2 233 (2)()() b ab a . 设计意图：在混合运算的背景下，学生先懂得选择运算顺序，再选择恰当的性质进行计算，进一步提高 运算能力.
