1、 第九届全国初中青年数学教第九届全国初中青年数学教 师优秀课观摩与评比活动师优秀课观摩与评比活动 本节内容是整数指数幂的推广和运用本节内容是整数指数幂的推广和运用 学习本节课之前， 学生已学习本节课之前， 学生已经学习了整经学习了整 式和分式的相关运算，以及掌握了正整数指数幂的运算性质式和分式的相关运算，以及掌握了正整数指数幂的运算性质.本本节课从约分和同节课从约分和同 底数幂底数幂除法两个方面说明定义负整数指数幂的背景除法两个方面说明定义负整数指数幂的背景， 并以此作为基础将正整数指， 并以此作为基础将正整数指 数幂的五条运算性质，推广到整数指数幂进而使这些性质得到更广泛的应用，数幂的五条运
2、算性质，推广到整数指数幂进而使这些性质得到更广泛的应用， 从而给式的运算带来更大的便利从而给式的运算带来更大的便利 在性质的推广和运用中在性质的推广和运用中可以培养学生的创新能可以培养学生的创新能 力、归纳能力，使学生会运力、归纳能力，使学生会运用发现、分析、比较、综合、归纳的方法研究问题用发现、分析、比较、综合、归纳的方法研究问题 一、教学目标一、教学目标 1 1知道负整数指数幂知道负整数指数幂 1 n n a a （a a0 0，n n 是正整数）是正整数）. . 2 2掌握整数指数幂的运算性质掌握整数指数幂的运算性质. . 3. 3. 培养学生的观察分培养学生的观察分析析能力及归纳、概括
3、、整理能力能力及归纳、概括、整理能力加深对类比加深对类比等数学等数学 思想的认识思想的认识 二、教学重点二、教学重点 掌握整数指数幂的运算性质掌握整数指数幂的运算性质. . 三、教学难点三、教学难点 整数指数幂整数指数幂运算性质运算性质的合理推广及运用的合理推广及运用. . 22.2.3 整数指数幂整数指数幂 四、重、难点的突破手段四、重、难点的突破手段 在回顾在回顾正正整数整数指数幂运算指数幂运算性质性质的基础上，的基础上， 以同底数幂除法的运算性质作为研以同底数幂除法的运算性质作为研 究的主线，通过类比，规定究的主线，通过类比，规定 1 n n a a （a a0 0，n n 是正整数是正
4、整数），引导学生逐层弱化引导学生逐层弱化 性质中的限定条件 最终将正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂 学生在性质中的限定条件 最终将正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂 学生在 理解和掌握性质的基础上，运用其解决相关运算理解和掌握性质的基础上，运用其解决相关运算 从心理特征来说， 初中阶段的学生逻辑思维从经验从心理特征来说， 初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展， 观型逐步向理论型发展， 观 察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展但同时，这一阶段的学生好动，但同时，这一阶段的学生好动， 注意力易分散，希望得到老注意力易分散，希望得到老师
5、的表扬，所师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运以在教学中应抓住这些特点，一方面运 用直观的回顾和问题情境的创设用直观的回顾和问题情境的创设， 引发学生的兴趣， 使他们的注意力始终集中在， 引发学生的兴趣， 使他们的注意力始终集中在 课堂上；另课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动 性性从认知状况来说，学生在此之前已经学习了正从认知状况来说，学生在此之前已经学习了正整数整数指数幂，对此已经有了初指数幂，对此已经有了初 步的步的认识， 这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础， 但对于将要学习的认识
6、， 这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础， 但对于将要学习的负负整整 数指数的理解还不会十分数指数的理解还不会十分深入， 所以学生深入， 所以学生可能会产生一定的困难， 所以教学中应可能会产生一定的困难， 所以教学中应 予以简单明白，深入浅出的分析予以简单明白，深入浅出的分析 通过以上的分析， 我让通过以上的分析， 我让学生经历 “学生经历 “旧知回顾旧知回顾新知探究新知探究类比推广类比推广新知运新知运 用用总结归纳总结归纳”的一系列教学过程，在这个过程当中，以问题探究法为主，引导”的一系列教学过程，在这个过程当中，以问题探究法为主，引导 学生利用发现、比较、综合、归纳等研究问题的方式来验证
7、学生利用发现、比较、综合、归纳等研究问题的方式来验证，当幂的指数是当幂的指数是全体全体 整数时，整数时，整数指数幂的五条运算整数指数幂的五条运算性质性质仍然仍然是是成立成立的的. .同时让学生体会，运算性质同时让学生体会，运算性质 的推广能够使运算更加的简便和快捷。的推广能够使运算更加的简便和快捷。 倡导学生独立思考、倡导学生独立思考、 主动探究、 自主学习、主动探究、 自主学习、 互助交流互助交流 一、一、 旧知回顾，我知道旧知回顾，我知道 【活动方式活动方式】学生独立思考】学生独立思考，得出结论，完成填空得出结论，完成填空. .师生共同回顾正整数指数幂师生共同回顾正整数指数幂 的运算性质的
8、运算性质教师提教师提出：如果将性质出：如果将性质中限定条件里中限定条件里的的“正正”字去掉，性质还是否字去掉，性质还是否 成立了呢？从而引出课题：整数指数幂成立了呢？从而引出课题：整数指数幂. . 【设计意图设计意图】 建构主义建构主义主张教学应从学生已有的知识体系出发， 是本节课深入研主张教学应从学生已有的知识体系出发， 是本节课深入研 究的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境究的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境 二、二、 新知探究，我思考新知探究，我思考 “同底数幂相除，底数不变“同底数幂相除，底数不变、指数相减，指数相减，0, ,am nmn为正整数,”
9、。” 。那么那么 在在 m 不大于不大于 n 的情况下的情况下这条性质还能否使这条性质还能否使用了呢？然我们共同来探究一下，用了呢？然我们共同来探究一下， 先来看这样两个例子，计算先来看这样两个例子，计算： 33 aa ； 35 aa. . 教学预设如下教学预设如下： 2 3 3 3335 1 3 303 52 33353 5 1 a aaaa aaaa aaaaaa 即：即： 学生根据分式的基本性质学生根据分式的基本性质，由约分不难得出这两个算式的结果，由约分不难得出这两个算式的结果教师在和教师在和 同学们共同回顾同学们共同回顾 0 1a （a a0 0） 的意义的基础上，的意义的基础上，
10、通过类比得出通过类比得出规定：规定： 2 2 1 a a （a a0 0） 。） 。类似地，还可以规定：类似地，还可以规定：5 5 1 a a ，6 6 1 a a ，概括起来，得，概括起来，得出数学规出数学规 定：定：一般地，当一般地，当 n 为正整数时，为正整数时， 1 n n a a （a a0 0） ） 正是因为有了这样的数学规正是因为有了这样的数学规 定，同底数幂除法的运算性质就能够解决定，同底数幂除法的运算性质就能够解决 m mn 的的问题，从而完成了性质的第一问题，从而完成了性质的第一 次推广次推广与此同时，教师还会与此同时，教师还会进一步补充：进一步补充：不仅如此，这样的数学规
11、定还能够实不仅如此，这样的数学规定还能够实 现负整数指数幂和分式之间现负整数指数幂和分式之间的相互转化的相互转化还可以使还可以使分式分式的书写形式变得更简单。的书写形式变得更简单。 从而让学生再次感受这种规定的意义和合从而让学生再次感受这种规定的意义和合理性理性 【活动方式活动方式】请两名同学到黑请两名同学到黑板上进行计算，并向同学们讲解然后，板上进行计算，并向同学们讲解然后，教师教师 进行进一步的引导和挖掘进行进一步的引导和挖掘 【设计意图设计意图】以问题的形式创设情境，以问题的形式创设情境，通过类比通过类比，让学生感受和体会数学规定让学生感受和体会数学规定： 当当 n 为正整数时，为正整数
12、时， 1 n n a a （a a0 0）的意义和合理性的意义和合理性在引出负整数指数幂的在引出负整数指数幂的 同时，也扩大了同底数幂除法运算性质同时，也扩大了同底数幂除法运算性质的使用条件的使用条件提出设问，通过探究得出提出设问，通过探究得出 答案答案，在充分调动学生学习兴趣的同时，也让学生感受到数学的魅力和乐趣，在充分调动学生学习兴趣的同时，也让学生感受到数学的魅力和乐趣 通过前面的学习，我们知道通过前面的学习，我们知道 m a 中指数已经中指数已经由原来的非负整数扩大到全体整由原来的非负整数扩大到全体整 数，那么性质中的“正”字是否可以去掉呢？让我们通过几个算式来做进数，那么性质中的“正
13、”字是否可以去掉呢？让我们通过几个算式来做进 一步的探究：一步的探究： 43 aa 53 aa 25 aa 06 aa 教师示范：教师示范： 3 4344374 1 434 a aaaaaaa aaa （-3） （-3） 即： 【活动方式活动方式】首先由教师带领学生进行一种情况的验证，然后首先由教师带领学生进行一种情况的验证，然后请请同学通过类比，同学通过类比， 验证其它几种情况的正确性，并进行展示交流验证其它几种情况的正确性，并进行展示交流 【设计意图设计意图】验证当】验证当 m m、n n 为全体整数时，为全体整数时， nmnm aaa 仍然成立仍然成立. .，从而完成运，从而完成运 算性
14、质的进一步推广算性质的进一步推广 通过教师所给出的几个指数具有多样性的算式， 给学生一通过教师所给出的几个指数具有多样性的算式， 给学生一 种研究方法上的指引，同时也为后续几个运算性质的推广奠定基础种研究方法上的指引，同时也为后续几个运算性质的推广奠定基础 三三、类比推广，我、类比推广，我能行能行 我们再来看一我们再来看一下其它的几条性质，它们的限定条件中的“正”字也可以去掉吗？下其它的几条性质，它们的限定条件中的“正”字也可以去掉吗？ 我们我们来选择性质来选择性质 1 性质进行一下验证性质进行一下验证 活动要求：活动要求：1、类比同底数幂除法的研究过程，写出几个同底数幂乘法的算式，、类比同底
15、数幂除法的研究过程，写出几个同底数幂乘法的算式， 要注意指数的多样性。要注意指数的多样性。2、先独立思考，再小组合作，先独立思考，再小组合作，同一小组同一小组合作，合作，结合算式结合算式 验证验证 【活动方式活动方式】学生先独立思考】学生先独立思考，再再小组合作小组合作完成完成，最后进行汇报展示，最后进行汇报展示 【设计意图设计意图】学生在同底数幂除法运算性质推广的基础学生在同底数幂除法运算性质推广的基础上，通过类比，验证同底上，通过类比，验证同底 数幂乘法的运算性质，在整数范围内同样适用数幂乘法的运算性质，在整数范围内同样适用通过教学中所设置的活动，培养通过教学中所设置的活动，培养 学生自主
16、探索的能力及观察分析、发现归纳的能力学生自主探索的能力及观察分析、发现归纳的能力 四四、新知运用，我解决、新知运用，我解决 例题：计算例题：计算 3 2 252312 32 (1) (2) 23 (3) () (4) () b a aax yxya b 练习：计算练习：计算 23132222323223 (1) () (2) () (3) (2)()x yx ya ba bab ca b 【活动方式活动方式】学生独立进行问题思考和解决，并由学生进行讲解，教师点拨学生独立进行问题思考和解决，并由学生进行讲解，教师点拨 【设计意图设计意图】几道例题及练习题由浅入深、由易到难、各有侧几道例题及练习题
17、由浅入深、由易到难、各有侧重，重，体现新课标提体现新课标提 出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念 这一环节总的设计意图是这一环节总的设计意图是 反馈教学，内化知识反馈教学，内化知识 五、五、总结归纳，我提升总结归纳，我提升 问题解决到这里， 本节课也即将进入尾声问题解决到这里， 本节课也即将进入尾声， 请同学们说说这节课的收获和体会， 请同学们说说这节课的收获和体会 本节课， 我们以同底数幂除法的运算性质作为研究的主线， 类比本节课， 我们以同底数幂除法的运算性质作为研究的主线， 类比 0 1(0)aa 规定了：一般地，当为正整数时，规定
18、了：一般地，当为正整数时， 1 n n a a （a a0 0） ） 并以此作为基础，逐层弱并以此作为基础，逐层弱 化了性质中的限定条件， 进而将正整数化了性质中的限定条件， 进而将正整数指数幂的运算性质，指数幂的运算性质， 推广到整数指数幂推广到整数指数幂 从从 而使运算更简便随着而使运算更简便随着学习的深入，幂的指数还可以扩大到有理数的范围学习的深入，幂的指数还可以扩大到有理数的范围 【活动方式活动方式】学生学生从知识上、方法上从知识上、方法上归纳本节课的收获和体会归纳本节课的收获和体会教师进行总结和教师进行总结和 提升提升 【设计意图设计意图】本环节本环节目的旨在，目的旨在，通过学习的知
19、识、方法、体验等方面的归纳和通过学习的知识、方法、体验等方面的归纳和提提 升， 优化认知结构， 完善知识体系升， 优化认知结构， 完善知识体系 充分发挥学生的主体充分发挥学生的主体作用作用和教师的主导作用和教师的主导作用 mnmn aaa 0,am n为 1 (0) n n a a a 0 1 (0) a a 0,am n为 0,am n为 类比类比 正整数正整数 整数整数 正整数，正整数，mn 六六、巩固、巩固作业作业，我加深，我加深 【活动方式活动方式】学生课后完成】学生课后完成 【设计意图设计意图】巩固本节课所学成果，尽量在课后还有所提升】巩固本节课所学成果，尽量在课后还有所提升 【板书设计板书设计】 必必必必做做做做题题题题: :8 89 9页页页页1 1题题题题，2 2题题题题. . 选选选选做做做做题题题题: :9 91 1页页页页7 7题题题题. . 22.2.3 整数指数幂整数指数幂 (0,) mnm n aaaamn 、 为整数 () mnm n a aamn 、 为整数 1 (0) n n a aa 一般地，当n是正整数时 例题：例题： 3 2 2523 12 32 (1) (2) 23 (3) () (4) () b a aax yxy a b
