1、 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 太阳影子定位问题太阳影子定位问题 摘要摘要 目前，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是计算机视觉的热点研究问题，是视频 数据分析的重要方面，有重要的研究意义。本文通过建立数学模型，给出了通过分析视 频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的方法。 对于问题一， 建立空间三维直角坐标系和球面坐标系对直杆投影和地球进行数学抽 象，引入地方时、北京时间、太阳赤纬、杆长、太阳高度角等五个参数，建立了太阳光 下物体影子的长度变化综合模型。求解过程中，利用问题所给的数据，得到太阳赤纬等 变量，将太阳赤纬等参量代入模型，求得了北京地区的 9:00 至 15:00 的
2、影子长度变化 曲线，当 12：09 时，影子长度最短；并分析出影长随这些参数的变化规律，利用控制 变量法思想，总结了五个参数与影子长度的关系。最后进行模型检验，将该模型运用于 东京、西藏两地，得到了这两座城市的影长变化规律曲线，发现变化规律符合实际两地 实际情况。 对于问题二，为了消除不同直角坐标系带来的影响，将实际坐标转换为二次曲线的 极坐标，建立了极坐标下基于多层优化搜索算法的空间匹配优化模型。求解时，先将未 知点的直角坐标系的点转换为极坐标，然后设计了多层优化搜索算法，通过多次不同精 度的搜索， 最后得出实际观测点的经纬度为东经 E115北纬 N25。 同时对模型进行验证， 实地测量了现
3、居住地的某个时间段的值，通过模型二来求解出现居住地的经纬度，分析 了误差产生的原因：大气层的折射和拟合误差。 对于问题三，将极坐标转换后的基本模型转换为优化模型，建立了基于遗传算法的 时空匹配优化模型。将目标函数作为个体的适应度函数，将经度纬度及日期作为待求解 变量，用遗传算法进行求解，得到可能的经度纬度及其日期：北纬 20 度，东经 114 度， 5 月 21 日；北纬 20 度，东经 114 度，7 月 24 日；东经 94.5 度，北纬 33.8 度，6 月 19 日。最后，将遗传算法与多层优化搜索算法进行对比分析，得出遗传算法的求解效率和 求解精度均优于多层次搜索算法。 对于问题四，首
4、先将视频材料以 1min 为间隔进行采样得到 41 帧（静态图片） ，将这 些静止图片先利用 matlab 进行处理，后进行阀值归一化处理，得到这些帧的灰度值矩 阵。在图片上建立参考模型，获得影子端点的参考位置。利用投影系统和模型二，建立 了基于图形处理的视频拍摄地点搜索模型。利用模型二中多层搜索算法，求得满足精度 的最优地点。最优的地点是：东经 119,北纬 48.7，在内蒙古的呼伦贝尔市。同时假设 日期是未知量，将模型四与模型三相结合，得到了可能的地点和时间，并分析了可能出 现误差的原因，最后回答了当视频日期未知，也可以确定其位置和日期。 最后，给出了模型的优缺点和改进方案。 关键词关键词
5、：极坐标化，多层优化搜索算法，遗传算法，图像处理，MATLAB 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 1.1. 问题重述问题重述 1.11.1 问题背景问题背景 随着现代科技的发展，日常生活中摄像机的应用越来越普遍。无论是个人家庭还是 组织单位，都通过摄像机来录制各种视频以分享信息，例如实时视频监控、记录自然景 观、观测气象信息等。而通过视频来确定拍摄地点的地理位置信息是目前计算机视觉领 域的热点研究问题之一。一个视频的地理位置能够提供当地气候、平均温度、平均降雨 量、植物索引、地表概况、海拔高度和人口密度等大量背景信息1。因此从视频中确 定地理位置是一项有很大潜力应用空间的技术。 1.21.2
6、问题描述问题描述 视频数据分析是视频处理过程中的重要环节，而如何确定视频的拍摄地点和拍摄日 期是视频数据分析的重要方面。太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子 变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 试建立数学模型讨论下列问题： 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用 所建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 3 米高的直 杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点。将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干
7、个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直 杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若 干个可能的地点与日期。 4附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用此模型给出若干个可能 的拍摄地点。如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 2.2. 问题分析问题分析 2.12.1 问题一分析问题一分析 问题一要求分析投影长度随各参数的变化规律，建立影子长度变化的数学模型。首 先对直杆建立空间三维坐标系，将地球简
8、化成规则球体建立球面坐标系。在这两个坐标 系中，通过几何证明，运用向量知识可分析出影响影子长度的各种参数，得出地球上某 日白天某时刻影子顶端在地平面上的具体位置，由此可以给出影子长度的变化规律。 2.22.2 问题二分析问题二分析 问题二要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据及日期数据， 建 立数学模型确定直杆所处的地点。与第一问有相似之处，但分析附件所给数据，发现附 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 件中只给出 x、y 坐标值，而并没有给出 xy 轴的准确方向，所以考虑将直角坐标转换成 极坐标，来消除由于不同坐标系选取所造成的影响。 2.32.3 问题三分析问题三分析 问题三与
9、问题二有相似处，区别是第三问附件没有提供日期，需要根据直杆影子端 点坐标确定直杆所在地点的经纬度和日期。具体的日期可以由太阳直射点纬度来确定， 而根据问题二中的模型， xy 坐标与太阳直射点纬度有关。 如果继续用第二问的模型来求 解，需要不断改变太阳直射点纬度来拟合极坐标方程，这样做算法复杂度会很大。所以 考虑对问题二模型进行修改，不采用拟合，而直接建立与待求点经纬度以及日期有关的 目标函数，通过约束经纬度范围来缩小待求点的可行域，从而简化算法复杂度。 2.42.4 问题四分析问题四分析 问题四中，直接以视频的方式给出了固定杆长的距离变化规律。将图片形式的影长 变化规律以坐标的形式进行转换，转
10、换为现实的坐标形式。这样就可以利用问题二的模 型，整合现有的算法，求出拍摄地点。 3.3. 模型假设与符号系统模型假设与符号系统 3.13.1 模型的假设模型的假设 （1）假设地球为一个规则的球体。 （2）由于日地距离远大于地球半径，所以假设太阳光线为平行光。 （3）假设地球上某地的水平地面是地球球面上过该地的切面。 （4）假设不考虑太阳光线穿过大气层时所发生的折射。 （5）假设一天中太阳直射点的纬度不变。 （6）假设不考虑太阳的视面角、高山阻挡、海拔高度等因素的影响。 （7）假设不考虑阴天没有阳光的情况。 3.23.2 符号系统符号系统 问题一符号系统问题一符号系统 符号 意义 单位 直杆所
11、在地纬度值 度 太阳直射点的纬度 度 A、B 两地经度差 度 太阳光线与直杆的夹角 度 h 直杆长度 米 L 直杆影长 米 t 0 t 地方时 北京时间 时 时 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 E 直杆所在地的经度 度 问题二问题二、三、三符号系统符号系统 符号 意义 单位 直杆所在地纬度值 度 太阳直射点的纬度 度 1 y 附件 1 中第一组坐标的 y 值 米 极径 h 直杆长度 米 极角 度 问题四符号系统问题四符号系统 符号 意义 单位 L 固定杆长度 米 k 实际长度与灰度值坐标下的转换比例 P 投影系统 4.4. 问题一的建模与求解问题一的建模与求解 4.14.1 问题分析问题分析
12、 在问题一中，为了描述直杆影子长度变化的动态过程，首先以直杆为 z 轴，建立空 间三维坐标对直杆影子的变化进行数学抽象。再将地球作为规则球体建立球面坐标系， 利用空间解析几何与平面解析几何的知识，对两个坐标系中的相关向量与角度进行分析， 分析出影响影子长度的参数，得到影子端点在坐标系中的位置表达式。由此可以求出影 子长度随各个参数的变化规律。 建模流程图如下所示： 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 图 4.1 问题一建模流程图 4.24.2 模型准备模型准备 为了建模的方便，先给出一些地理名词的解释和一些数据的预处理方法。 4.2.14.2.1 名词解释名词解释66 地方时：地方时：以一个地方
13、太阳升到最高的地方时间为正午 12 时，将连续两个正午 12 时 之间等分为 24 个小时，所成的时间系统。它是观测者所在的子午线的时间。 北京时间：北京时间：是中国采用北京时区的区时作为标所在的东八准时间。北京时间并不是 北京（东经 116.4）地方的时间，而是东经HF120地方的地方时间。 太阳赤纬：太阳赤纬：是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。 太阳直射点：太阳直射点：地球表面太阳光射入角度(即太阳高度角 )为 90 度的地点，它是地心 与日心连线和地球球面的交点。 太阳高度角：太阳高度角：对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面 之间的夹角；专业上讲是指
14、某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。 4.2.24.2.2 数据预处理数据预处理 （1 1）经纬度转换）经纬度转换 在问题一中，天安门广场的坐标是用经纬度（度分秒）的形式给出的。为了下面建 模求解的方便，将其统一转换成以“度”为单位。 换算方法为：分位数除以 60，秒位数除以 3600。 所以，天安门广场的纬度可以转换为： 39 5426 =39+54 60+26 3600=39.907 经度可以转换为： 116 2329 =116+23 60+29 3600=116.391 （2 2）北京时间与地方时的转换）北京时间与地方时的转换99 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 问题中所
15、给出的时刻为北京时间，而北京时间指的是东经 120 地方的地方时，并 不是问题中地点的地方时。所以先要将所给的北京时间转换成相应的地方时。 转换规则为：东经度120 度地区，每增加 1 度，加 4 分钟。 所以有转化公式： 0 0 (E 120)*4,E120 = (120E)*4 E120 t t t , 其中，E 表示直杆所在地点的经度， 0 t 是北京时间，t是直杆所在地方的地方时。 用此公式对问题一中的北京时间进行操作， 得到直杆所在地的地方时， 如下表所示： 表 4.1 天安门的地方时与北京时间的转换 北京时间 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12
16、:00 地方时 8:75 9:25 9:75 10:25 10:75 11:25 11:75 北京时间 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 地方时 12:25 12:75 13:25 13:75 14:25 14:75 4.34.3 模型的建立模型的建立 要研究影子的变化，需要建立空间三维坐标对直杆影子的变化进行数学抽象。通过 对直杆和地球分别建立了两个空间直角坐标系，用空间解析几何和向量知识，可以确定 两个坐标系上各点之间的位置和角度关系。 4.3.14.3.1 建立直杆处建立直杆处空间三维空间三维坐标系坐标系 根据假设，视太阳光线为平行光，以直杆所在地点
17、的正东方向为x轴，以正北方向 为y轴，以直杆直立即垂直于0x y平面的方向为z轴，建立空间直角坐标系，得到直杆 在0x y平面的投影与光线的位置关系，如下图所示： 图 4.2 直杆空间三维坐标系 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 其中，AE是与过 A 处的经线相切的方向向东的单位向量；AK是 A 处地平面内方 向向北的单位向量。AH 是 A 处垂直于xOy平面的直杆，AF 是该直杆在xOy平面内的 投影，HF 是当天太阳光线的照射方向，照射方向与直杆所成角度FHA。 4.3.24.3.2 建立直杆在地球上的宏观空间建立直杆在地球上的宏观空间球面球面坐标系坐标系 根据假设，可视地球为规则球体 1
18、 O，过直杆底端 A 处的经线与赤道交于 D 点，B 点为某日的太阳直射点，过 B 点的经线与赤道交于 C 点。 以 O 为原点， 以 OD 所在直线为 x 轴， 以地轴 ON 所在直线为 z 轴建立空间直角坐 标系Oxyz，如图 4.3 所示： 图 4.3 直杆在地球上的空间三维坐标系 4.3.34.3.3 确定各点之间的位置和角度关系确定各点之间的位置和角度关系 设地球半径为 R， 1 ,AODBOCDOCAOB，则有： （1）为直杆所处位置的纬度数，并且9090 。 若 A 地在北半球，则0，若 A 地在北半球，则0。 （2）为太阳直射点 B 地的纬度， 亦即上面提到的赤纬， 并且23
19、2623 26。 （3）为 A 地与 B 地的经度差，t 是地方时。 对于某日 A 地白昼 t 时刻：(12) 15 (024)tt 。 （4）AOBAHF，证明过程如下： 由假设可知，太阳光线是一簇簇的平行线，所以/HFBO，如图 4.4，圆 O是过 A,B 两地的大圆，于是AOBAHF，证毕。 由以上分析可得： 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 (0,1,0),( sin,0,cos) ( cos ,0,sin), ( coscos ,cossin ,sin) coscos,coscoscossinsin AEAK A RRB RRR OA OB 图 4.4 过 A、B 两地，以地球中心为
20、圆心的圆 4.34.3.4.4 确定日影坐标及其长度确定日影坐标及其长度 （1）确定影子端点的横坐标）确定影子端点的横坐标 如图 4.4，在Rt AHF中， coscos AHh HF ，其中 h 为直杆长度。 设HF与AE所成角为，则coscos,cos,cossinHF AEBO AE 如图 4.2，对 HF 在 AE 上的正投影 AJ，有 cos cos cos AJHFh ，即 F 点在平面 Axy上投影端点的横坐标： c o ss i n c o sc o sc o ss i ns i n xh （4.1） （2）确定影子端点的纵坐标）确定影子端点的纵坐标 设HF与AK成角为，cos
21、cos,cos,sincoscosHF AKBO AK cossin ，如图 1，对 HF 在 AK 上的正投影 AG，有 cos cos cos AGHFh ，即点 F 在Axy上投影端点的纵坐标： sincoscoscossin coscoscossinsin yh （4.2） （3）确定日影坐标的长度）确定日影坐标的长度 已知直杆投影端点的横纵坐标，并且直杆底端即为坐标原点，所以可以得到直杆影 长： 22 Lxy （4.3） 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 4.3.54.3.5 影子长度变化的综合影子长度变化的综合模型模型 根据上面的分析，太阳光下物体影子的长度变化综合模型为： 22
22、cossin coscoscossinsin sincoscoscossin coscoscossinsin (12) 15 (024) Lxy xh yh tt （4.4） 4.44.4 模型的求解模型的求解 4.4.14.4.1 赤纬赤纬角角求解求解 太阳赤纬角在每一年的任何时刻的值都是可求的，其计算公式为7： 1111 11 1 0.373223.2567sin0.1149sin20.1712sin30.758cos 0.3656cos20.0201cos3 2 365.22 0 079.67640.2422*(1985)floor(year 1985)/ 4) T TNN Nyear
23、（4.5） 其中式中 1 为日角，即 1=2 /365.2422t；N 为积日，即日期在年内的顺序号，如平 年 12 月 31 日为 365，闰年的 12 月 31 日是 366。year 为计算时刻所在的年份，floor 为向下取整函数。 根据问题一中的 2015 年 10 月 22 日， 可知积日 N=295， year=2015， 所以可以求出： =215.0576T， 1 3.6996(弧度） 根据上述所求结果，得到： -10.8636（度） 4.4.24.4.2 直杆所在地直杆所在地与与太阳太阳直射点之间的纬度差直射点之间的纬度差的求解的求解 纬度差计算公式有： (12)*15()t
24、度 其中 t 为直杆所在地的地方时。 将 4.2.2 中由北京时间转换出的地方时 t 代入以上公式，可以得到不同时刻，直杆 所在地点与太阳直射点的纬度差的变化值，如下所示： 表 4.2 随着时间变化纬度差变化值 北京时间 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 /度 48.6 41.1 33.6 26.1 18.6 11.1 3.6 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 北京时间 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 /度 -3.9 -11.4 -18.9 -26.4 -33.9 -41.4 4.4.34.4.3 影长变化的
25、影长变化的求解结果求解结果 由于在很短时间内，影子不会出现大的变化，所以可以认为 1 分钟内，影子长度是 近似不变的。将这段时间分为 361 个时间段，每一分钟是一个小时刻，将这个时刻的影 长作为这一分钟内的影子长度。 将上面计算出来的和代入影子端点的坐标和影子长度表达式，得到每一分钟， 平面直角坐标系内影子端点的坐标变化值和影子长度变化值。由于数据较多，这里只给 出每隔 30 分钟的数据样点，结果如下表所示： 表 4.3 随着时间变化影子端点的 x 坐标变化 北京时间 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 x 坐标/米 -5.85667 -4.334
26、28 -3.2181 -2.33252 -1.58425 -0.91719 -0.29316 北京时间 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 x 坐标/米 0.317686 0.942828 1.612324 2.364838 3.257505 4.385764 表 4.4 随着时间变化影子端点的 y 坐标变化 北京时间 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 y 坐标/米 4.461538 4.157743 3.963101 3.83469 3.750897 3.70015 3.67634 北京时间 12:30 13:
27、00 13:30 14:00 14:30 15:00 y 坐标/米 3.676817 3.701635 3.753559 3.838868 3.969421 4.1674 表 4.5 随着时间变化影子长度的变化情况 北京时间 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 影长/米 7.362464 6.006064 5.105126 4.488371 4.071741 3.812132 3.679733 北京时间 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 影长/米 3.690516 3.819821 4.085192 4.5088
28、1 5.134943 6.049971 由上表，可以作出天安门广场 3 米高的直杆在太阳下影子长度的变化曲线，如下所 示： 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 图 4.5 直杆影子长度随时间的变化曲线 结论： （1） 直杆的影长从 9 时开始，先减小，减小至北京时间 12:09 时，影长达到最 短，为 3.673731 米，之后开始增大。 （2） 10 月 22 日北京正处于秋末，太阳直射点在赤道和南回归线之间，此时正 午时分直杆的影长比其本身更长。 （3） 北京时间 12:00 的影长为 3.679733 米，比 12:09 时稍长，这也进一步说 明北京时间并不是指示北京的地方时。 4.54.
29、5 分析影子长度和各参数之间的变化规律分析影子长度和各参数之间的变化规律 问题中要求分析影子随各参数的变化情况，首先，根据 4.3.5 中的模型，可以看出 影长 L 和、有关。而赤纬是关于日期的函数，是关于地方时t的函数，t又 是关于经度的函数。 所以综上可知，影响影子长度的参数有：直杆所在地的经纬度、地方时、当前的日 期。 以影子长度与纬度的变化关系为例，研究直杆同一时刻同一经线上不同纬度地点的 影长变化，将，均视为定值，设： 1 cossink， 2 coscosk， 3 sink 则影子端点的坐标为： 1 23 23 23 cossin sincos cossin k xh kk kk
30、yh kk （4.6） 为了简明地表达二者之间的关系，取时刻为当地时间 12 点，即0，取日期为问 题所给 10 月 22 日时的太阳直射点赤纬，即10.86 ，则： 1 0k ， 2 0.982k ， 3 0.188k 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 所以影子端点的坐标为： 0 15.95 0.9820.188tan x y 此时影子的长度为： 15.95 0.9820.188tan L 由此可以作出影子长度随纬度变化的变化趋势，如下所示： 图 4.6 东经 120 度上影子随纬度的变化规律图 结论： （1） 在东经 120 度上，直杆影子长度随着纬度的增加而逐渐增加，在纬度近似 为N76
31、时， 影长开始陡增， 在北纬79达到一个远大于正常情况的极大值， 越过此极大值之后，影长又开始陡减，在纬度近似为 N82时减少速率逐渐 平缓。 （2） 如下图所示：当太阳直射点纬度不是 0 度时即不直射赤道时，影子最长点 会出现在小于北纬90的某个纬度处，并且此时的影长接近无穷长，这就是 图中在北纬79出现一个极高峰值的原因。 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 图 4.7 日照光线示意图 其他因素以此为例，进行同样的分析，就可得到各因素与影长的变化关系，正午影 长随日期的变化如下图所示： 图 4.8 天安门广场午时影长随日期变化规律图 结论： （1） 午时天安门广场的影长随日期的变化规律为：一
32、年中从第一天开始随着日期 的变化，影子长度先减小，达到一个最小值，再增大。 （2） 2015 年天安门广场午时影长最短的一天是一年中的第 173 天。 4.54.5 模型检验模型检验 将问题一模型运用到2015年的10月22日的其他城市。 在这里， 取西藏 （东经91.11， 北纬 29.97）和东京（东经 138.6，北纬 35.5）为检验的对象。 由上面的模型，计算出在西藏和东京，一根 3m 长的直杆在太阳下得到的影子长度 随北京时间的变化曲线分别是： 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 图 4.9 西藏在北京时间 9:00 至 15:00 的影子长度变化曲线 图 4.10 东京在北京时间
33、9:00 至 15:00 的影子长度变化曲线 结论： （1） 西藏的地方时比东八区（东经 120 度）区时晚 2 小时左右，所以西藏的正 午时间为北京时间14:00左右， 模型规律与实际的影长曲线规律是相符的。 （2） 东京的地方时比东八区（东经 120 度）时间早 1 小时左右，所以东京的正 午时间为北京时间11:00左右， 模型规律与实际的影长曲线规律是相符的。 5.5. 问题二的建模与求解问题二的建模与求解 5.15.1 问题分析问题分析 问题二中， 附件给出的仅仅是直杆所处地平面上未知 x轴方向和y轴方向的坐标值。 为了消除观测者在观测时任意选定坐标轴造成的影响，对题目所给的坐标数据进
34、行平移 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 处理，再将直角坐标转换成极坐标，给出影子端点轨迹的极坐标方程。再根据附件中的 数据，对含有参数的极坐标方程进行拟合，得出相关参数值。对于每一个确定经纬度和 日期的观测点，代入极坐标方程可以得到相应函数值。以该函数值最接近 0 为目标，建 立基于多层优化搜索算法的空间匹配优化模型。 建模流程图如下所示： 图 5.1 问题二建模流程图 5.25.2 模型的准备模型的准备 由于附件中并没有给出直杆的原长，所以需要先对直杆的长度进行估算，下面直杆 长度的计算需要用到正午太阳高度角的概念。正午太阳高度角 H 指的是一天中最大的太 阳高度角。计算公式如下所示： =
35、90|H 其中，为太阳直射点的纬度，为直杆所在地的纬度。 5.35.3 模型的建立模型的建立 通过第一问求得的影子端点坐标，得到影子端点的直角坐标系下的轨迹方程，再建 立极坐标系，将处理过后的 xy 坐标转换成极坐标，给出极坐标下的轨迹方程。 5.35.3.1.1 确定影子端点的轨迹方程确定影子端点的轨迹方程 由模型一可知影子端点的横纵坐标表达式为： cossin coscoscossinsin sincoscoscossin coscoscossinsin xh yh 移项代入化简得： 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 s i ns i nc o ss i n c o sc o s s i
36、nc o s sin cossin sincos yh hy x hy （5.1） 两边平方消去，可以得日影端点 F 在直杆底端所在平面Axy上的轨迹方程为： 2222 s i nc o s () c o s ()s i n 2s i n () s i n ()0xyh yh （5.2） 5.35.3.2.2 将直角坐标转换为极坐标将直角坐标转换为极坐标 为了消除不同地点观测者选取坐标轴方向的随机性对坐标产生的影响，将直角坐标 转换成具有统一极点和极轴的极坐标系。 （1） 对对原先原先直角坐标进行直角坐标进行预处理预处理 对于附件 1 中 21 组 xy 坐标的数据，保持他们横坐标不变，纵坐标
37、都减去附件 1 中 第一组坐标的纵坐标值，即： 1 xx yyy （5.3） 这样的处理相当于对投影端点轨迹曲线作了平移，将第一组数据平移到了 x 轴上， 如下图所示： 图 5.2 对附件 1 中坐标进行预处理 （2）对影子端点对影子端点建立极坐标系建立极坐标系 以直杆所处位置底端为极点，以极点到第一组影子端点连线方向为极轴，建立极坐 标系，如下图所示： 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 图 5.3 对影子端点建立的极坐标系 （3）将模型一中求得的轨迹方程转换成极坐标方程将模型一中求得的轨迹方程转换成极坐标方程 应用上述规则，预处理之后的坐标为： 1 ,xx yyy，其中, x y代表原先的
38、21 组数据值。 为了将轨迹方程转换成极坐标方程，令sin ,ycosx，所以有： 1 c o s,s i nxyy， （5.4） 代入式（4.8） ，求得影子端点轨迹的极坐标方程( , )0f ： 22222 1 cossinsincos()cos()sin (sin22cos()cos()hy 22 11 sin2sin()sin()cos()cos()0hyhy 为了便于观察，将极坐标中变量的系数用常数符号表示，得到了确定日期确定经纬 度以及确定杆长的固定直杆的影子端点随时间变化轨迹的极坐标方程，如下： 2222 1234 cossinsin0kkkk （5.5） 其中： 2 1 2 3
39、1 22 411 sin cos()cos() sin22cos()cos() sin2sin()sin()cos()cos() k k khy khyhy （5.6） 5.3.35.3.3 对已给数据进行极坐标二次曲线拟合对已给数据进行极坐标二次曲线拟合 由以上推导，待求位置固定直杆在所在地平面上的投影的极坐标方程形式已知。所 以可以用极坐标系下的二次曲线模型对已知 xy 坐标的 21 组数据进行拟合： 2222 cossinsin0ABCD 其中, ,A B C D为回归系数，为随机误差，服从均值为 0 的正态分布，, 为 21 组平 面直角坐标经过坐标转换之后得到的极坐标值，拟合精度为
40、-7 10 拟合出的极坐标方程为： 2222 0000 ( , )cossinsin0WABCD ( 5.7 ) 5.3.45.3.4 建立建立直杆地点直杆地点的空间匹配的空间匹配优化模型优化模型 （1）确定目标函数： 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 1 (,) min(1,2,., ) n ii i i W Fin n (5.8) 其中, ii 为每一搜索点处的极坐标值。 （2）建立直杆地点的空间匹配优化模型： 1 2222 0000 1 (,) min(1,2,., ) ( , )cossinsin0 cos ,sin cossin coscoscossinsin sincoscosco
41、ssin coscoscossinsin n ii i i W Fin n WABCD xyy xh yh (5.9) 5.45.4 模型的求解模型的求解 为了求解上述模型，设计如下多层优化搜索算法： Step1，先对搜索点杆长的近似估计，得到合理的杆长； Step2，再确定搜索点处影子端点极坐标，作为判断所搜点是否可行的依据； Step3，由陆地经纬度范围确定搜索点的论域； Step4，以 5 度为步长进行顶层搜索，搜索出下层搜索的搜索点论域； Step5，以更小步长进行下层步长进行搜索，再次更新搜索点论域； Step6，是否满足精度要求，不满足精度要求，再次进行 step5，否则，当前值是
42、最优值。 5 5.4.1.4.1 搜索点杆长的近似估计搜索点杆长的近似估计 由于附件中没有给出具体杆长，所以在每一个搜索点，可以根据 5.2 中所提到的正 午太阳高度角给出杆长的近似估计。 以东经以东经 90 度北纬度北纬 30 的搜索点的搜索点 17,25 P为例，为例，杆长杆长计算步骤如下计算步骤如下： （1） 根据搜索点经度将所给数据北京时间信息转换成当地时间， 0 14.7t 是附录所给北 京时间，可以算出当地的地方时为： 0 (120( )/15=14.7-(120-90)/15=12.7 k ttLo i （2）对所给横纵坐标 ( )( ) (,)(1,2,.,21) kk xyk
43、 用最小二乘法进行拟合，求得横纵坐标随 时间推移的线性关系： yaxb 拟合结果如下： 0.1470.3475yx 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 （3）确定当地时间为正午 12 点时的影子长度 可将影子横纵坐标均视为随着时间的推移线性变换，所以得到当地时间正午时刻影 子端点的横纵坐标： ( 1 )( 2 1 )( 1 )( 1 ) 0 00 ()(12) k xxxxt yaxb (5.10) 其中 (1) k t 为附录数据的第一组的当地时间。 直杆正午时刻的影长l： 22 00 lxy 以 17,25 P点为例，正午时刻的影长为： 0 0 1.0365(1.8277 1.0365)(1
44、2.7 12)0.4827 0.147 0.48270.34750.4185 x y 22 0.48270.41850.6389l （4）根据正午时刻太阳高度角近似估计杆长 , tan(90( ) i j hLa j 以 17,25 P点为例，估算出的杆长为： 17,25 tan(90 10.368630)1.1763h 5.4.25.4.2 确定搜索点处影子端点极坐标确定搜索点处影子端点极坐标 首先根据式8得到影子端点的横纵坐标值： , , cossin ( ) coscoscossinsin sin( )coscoscos( )sin ( ) cos( )coscossin( )sin k
45、 i ji j k k i ji j k xkh La jLa j ykh La jLa j (5.11) 其中( )La j为搜索点纬度，为该日赤纬角在本题中为定值， k 为观测点与当地时 刻 k t太阳直射点的经度差：(12) 15 (024;1,2,.,21) kkk ttk 再依据坐标转换规则得到影子端点的极坐标值： 22 , , , , ( )( )( )(1) ( )(1) ( )arctan (1) i ji ji ji j i ji j i j i j kxkyky yky k x (5.12) 以 17,25 P点为例，第五组的极坐标值计算公式如下： 22 , , , , (
46、5)(5)(5)(1)1.173 (5)(1) (5)arctan0.024 (5) i ji ji ji j i ji j i j i j xyy yy x 以此类推得到了 17,25 P点的 21 组极坐标值，如下表所示： 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文 表 5.1 17,25 P点的 21 组不同时刻极坐标值 北京时间 14:42 14:45 14:48 14:51 14:54 14:57 15:00 15:03 15:06 15:09 15:12 0.912 0.955 1.001 1.049 1.099 1.151 1.206 1.264 1.324 1.388 1.455 0.000 -0.009 -0.017 -0
