1、单自由度系统的振动单自由度系统的振动第一章第一章为什么要研究单自由度系统的振动？为什么要研究单自由度系统的振动？2.在工程上有许多振动系统可以简化为在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统单自由度系统，用单自由度系，用单自由度系统的振动理论就可以得到满意的结果。统的振动理论就可以得到满意的结果。3.单自由度系统的单自由度系统的基本概念具有普遍意义基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自由。多自由度系统和无限自由度系统的振动，度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度系在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态统类似的性态。引言引言1.单自由度系统的振动是进一步学习
2、多自由度系统振动的单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础基础。ekmxkmxmxyx引言引言振动系统的组成振动系统的组成简化简化mkc机床机床弹性衬垫弹性衬垫基础基础 图图 将实际系统抽象为单自由度振动系统将实际系统抽象为单自由度振动系统混凝土混凝土振动系统振动系统惯性元件惯性元件m阻尼元件阻尼元件c弹性元件弹性元件kmkc振动系统的组成振动系统的组成n弹性元件是提供振动的回复力，惯性元件是承载弹性元件是提供振动的回复力，惯性元件是承载运动的实体，阻尼在振动过程中消耗系统的能量运动的实体，阻尼在振动过程中消耗系统的能量和吸收外界的能量。和吸收外界的能量。1.弹性元件弹性元件xFx
3、Fo()f x()Ff xxFk x弹簧的刚度系数，单位：弹簧的刚度系数，单位：N/mn 弹性元件的意义和性质弹性元件的意义和性质振动系统的组成振动系统的组成弹簧的刚度系数的物理意义：弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力使弹簧产生单位位移所需施加的力对弹性元件需要说明几点：对弹性元件需要说明几点：通常假定弹簧是通常假定弹簧是无质量无质量的；的；假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；振动系统的组成振动系统的组成n 弹簧的等效刚度系数弹簧的等效刚度系数121212()()fffkkuu2212()fk uu1112(
4、)fk uu12ekkk1k2kff2u1uABffek2u1uAB12()efk uu振动系统的组成振动系统的组成1121/uuf k121211fkk12111ekkkff1k2k2u1u3uABCffek1u3uAC2232/uuf k1efk振动系统的组成振动系统的组成2.惯性元件惯性元件1.1.惯性元件的意义和性质惯性元件的意义和性质()x tmFm()mFmx t振动系统的组成振动系统的组成3 阻尼元件阻尼元件1.1.阻尼元件的意义和性质阻尼元件的意义和性质()x tdFcdFc x N s/m阻尼系数：使阻尼器产生单位速度所需施加的力，单位：阻尼系数：使阻尼器产生单位速度所需施加
5、的力，单位：振动系统的组成振动系统的组成单自由度系统的振动方程单自由度系统的振动方程s()sk ucu mgm()f t()f toumukcmu tk u tcu tmgf ts()()()()mgksmu tcu tku tf t()()()()（单自由度系统振动方程的一般形式）（单自由度系统振动方程的一般形式）结论：结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程时就可以不考虑系统重力的作用。时就可以不考虑系统重力的作用。kcm无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动第一章：单自由度系统的振动第一章：单自由
6、度系统的振动无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动1.1.固有频率概念的引出固有频率概念的引出()()0mu tku t()stu tue2()0msk u1,2nksiim km图图 无阻尼单自由度系统无阻尼单自由度系统 20msknkm固有频率固有频率单位：单位：rad/srad/s特征方程特征方程对固有频率的正确理解：对固有频率的正确理解：固有频率仅取决于系统的固有频率仅取决于系统的刚度刚度和和质量质量；固有频率与固有频率与初始条件初始条件和和外力外力等外界因素等外界因素无关无关，是系统的，是系统的固有特性固有特性；它与系统它与系统是否振动着是否振动着以及如何进行以及如
7、何进行振动的方式振动的方式都都毫无关系毫无关系nkm固有频率固有频率2 2 初始扰动引起的自由振动初始扰动引起的自由振动00(0),(0)uu uu自由振动：自由振动：00()cossinnnnuu tutt0102,nuaua()()0mu tku t运动方程：运动方程：12()cossinnnu tat at通解：通解：1,2nsi 特征根：特征根：无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动()sin()nu tat初相位初相位 振幅：振幅：2200nuau00arctannuu初相位：初相位：自由振动：自由振动：振幅振幅 简谐运动的三要素简谐运动的三要素 频率频率 初始条件
8、是外界能量注入的一种方式，有初始位移即初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入注入了弹性势能，了弹性势能，有初始速度即有初始速度即注入注入了动能。了动能。无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动为振动 频率的简谐振动，并且永无休止；频率的简谐振动，并且永无休止；n简谐运动三要素简谐运动三要素无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动(1)(1)简谐振动是一种周期振动简谐振动是一种周期振动()()nu tTu t周期振动满足：周期振动满足：振动周期振动周期，单位：秒（，单位：秒（s s）3 3 简谐振动的
9、特征简谐振动的特征()sin()nu tat22nnmTk无阻尼单自由度系统的无阻尼单自由度系统的固有周期固有周期 无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动固有频率固有频率表示单位时间内重复振动的次数表示单位时间内重复振动的次数.nf2nnf无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动(2)(2)简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系()sin()nu tat()cos()sin()2nnnnu tatat求导求导22()sin()sin()nnnnu tatat求导求导u 速度与位移的速度与位移的“相位差是相位差是9090度度
10、”意味着什么？意味着什么？u 加速度与位移的加速度与位移的“相位差是相位差是180180度度”意味着什么？意味着什么？位移最大时，速度为零位移最大时，速度为零；速度最大时，位移为零；速度最大时，位移为零加速度与位移的最大值出现在同一时刻，但符号相反加速度与位移的最大值出现在同一时刻，但符号相反无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动 两个同频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为两个同频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为有理数有理数（可通约）时，（可通约）时，合成振动为合成振动为周期振动周期振动；为；为无理数无理数时，为时，为非周期振动非周期振动；1111222212()s
11、in()()sin()u tatu tat01020()()()u t Tu t Tu t T12mn设频率比为有理数21TmTn12()()u tu t120mTnTT记1122()()u tmTu tnT12()()()u tu tu t合成信号：合成信号：()u t无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动拍拍：合振幅随时间做周期型变化，振动时而加强、时而减弱：合振幅随时间做周期型变化，振动时而加强、时而减弱.1ut2ut一个拍一个拍utA AB BC C无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动0000uuvnkm（振幅）（振幅）2200()nuau例：例：
12、升降机笼的质量为升降机笼的质量为 ，由钢丝绳牵挂以等速度，由钢丝绳牵挂以等速度 向下运动。向下运动。钢丝绳的钢丝绳的刚度系数为刚度系数为 ，质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然，质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。m0vk0v0vmk0vmk0k0v0dTkavmk(钢丝绳最大动张力钢丝绳最大动张力)（钢丝绳总张力的最大值）（钢丝绳总张力的最大值）mkvmgT0解解:0mvk无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动 微分方程法：微分方程法：运动微分方程运动微分方程系统
13、的固有频率系统的固有频率4 4 求单自由度无阻尼系统固有频率的几种方法求单自由度无阻尼系统固有频率的几种方法 能量方法：能量方法：等效质量和等效刚度法：等效质量和等效刚度法：maxmaxTV系统的固有频率系统的固有频率T等效质量等效质量eqmV等效刚度等效刚度eqkeqneqkm 静变形法：静变形法：无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动第一章：单自由度系统的振动第一章：单自由度系统的振动有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动阻尼：阻尼：阻碍物体运动，消耗系统能量的各种因素统称为阻尼。阻碍物体运动，消耗
14、系统能量的各种因素统称为阻尼。阻尼的机理十分复杂，只靠物理学上的、力学上的定阻尼的机理十分复杂，只靠物理学上的、力学上的定 理是不能得到实际系统的阻尼的。因此，理是不能得到实际系统的阻尼的。因此，阻尼往往通阻尼往往通 过实验来确定过实验来确定。阻尼既有有用的一面也有有害的一面：阻尼既有有用的一面也有有害的一面：有用的一面：有用的一面：消耗系统振动能量，减小振动幅值，增加系统的稳定性消耗系统振动能量，减小振动幅值，增加系统的稳定性有害的一面：有害的一面：增加运动阻力，降低运动速度增加运动阻力，降低运动速度mkcoukucu mumucuku 牛顿第二定律：牛顿第二定律：0mucuku自由运动方程
15、：自由运动方程：1.1.自由运动微分方程的建立自由运动微分方程的建立有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动0mucuku()stu tue0ckuuummdef阻尼比阻尼比临界阻尼系数临界阻尼系数特征方程2220nnss引 入代 入2 2 特征根特征根ccC2ncm2cmk220nnuuu21,21nns 特 征 根有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动22(1)(1)12()nnttu ta ea e (1)(1)过阻尼情况过阻尼情况 (1)特征方程有一对互异实根，故通解为：特征方程有一对互异实根，故通解为：21,21nns 211ns 221ns 有阻尼
16、单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动0.00.51.01.52.00.0000.0050.0100.0150.020m=10 kg,k=1000 N/mu0=0.02m,du(0)/dt=0m/s u,mt,s=1.05=1.3=1.5图图 质量块对初始位移的过阻尼响应质量块对初始位移的过阻尼响应结论：结论：过阻尼系统的自由运动为过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡衰减非振荡运动。运动。有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动(2)(2)临界阻尼情况临界阻尼情况 (1)12()()ntu taa t e特征方程有一对相等实根，故通解：特征方程有一对相等实根，故通解：2
17、1,21nns11,2ns 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动图图 质量块对初始条件的临界阻尼响应质量块对初始条件的临界阻尼响应结论：结论：临界阻尼系统的自由运动为临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡衰减非振荡运动。运动。0.00.51.01.52.0-0.02-0.010.000.010.02m=10 kg,k=1000 N/m,c=200 Ns/mu,mt,s u0=0.02m,du(0)/dt=0.0 m/s u0=0.02m,du(0)/dt=-0.5 m/s u0=0.02m,du(0)/dt=-1.0 m/s有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振
18、动(3)(3)欠阻尼情况欠阻尼情况 (01)00(0)(0)uuuu应用初始条件12()(cossin)ntddu teat at得 到 通 解21,21nns21,21nnsi0121dn(阻尼振动频率阻尼振动频率)000()cossinntnddduuu teutt()sin()ntdu taet或：或：欠阻尼系统的欠阻尼系统的自由振动响应自由振动响应有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 振幅按指数规律振幅按指数规律 衰减衰减；ntae 自由振动具有自由振动具有等时性等时性，即相邻两个正，即相邻两个正（负）峰值之间的时间间隔均为（负）峰值之间的时间间隔均为:TTddef
19、dnn 221122阻尼振动周期阻尼振动周期 自由振动为自由振动为非周期振动非周期振动；自由振动曲线自由振动曲线(欠阻尼欠阻尼)01234-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20n=10rad/s,=4%u0=0.0m,du(0)/dt=2.0 m/s u,mt,s1u2u3u4u5u1t2t3t4t5tdTntaentae3.3.欠阻尼振动特性：欠阻尼振动特性：()sin()ntdu taet有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 引入引入对数衰减率对数衰减率来描述振动衰减的快慢来描述振动衰减的快慢01234-0.20-0.15-0.
20、10-0.050.000.050.100.150.20n=10rad/s,=4%u0=0.0m,du(0)/dt=2.0 m/s u,mt,s1u2u3u4u5u1t2t3t4t5tdTntaentae 相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率。对数衰减率。()1lnlnn inidtitTiuaeuae2当系统阻尼比较小时，有：当系统阻尼比较小时，有：ndT221有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 简谐激励下简谐激励下无阻尼无阻尼系统的系统的受迫振动受迫振动 简谐激励下简谐激励下有阻尼有阻尼系统的系统的受迫振动受迫振动第一章：单
21、自由度系统的振动第一章：单自由度系统的振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动受迫振动受迫振动:()()()()mu tcu tku tf t受迫振动方程：受迫振动方程：系统在持续的系统在持续的外界控制外界控制的激励的作用下所发生的振动。的激励的作用下所发生的振动。激励受激励受外界控制，与振动系统本身无关外界控制，与振动系统本身无关自激振动方程（颤振）：自激振动方程（颤振）：()()()(),(),()mu tcu tku tf u tu tu t激励受激励受系统系统控制，受振动系统的运动控制控制，受振动系统的运动控制自激振动自激振动:系统在系统在自身控制自身控制的激励
22、的作用下所发生的振动。的激励的作用下所发生的振动。km0sinft0()()sinmu tku tft受迫振动方程：受迫振动方程：()()sinu tu tfmtn20非齐次通解非齐次通解齐次通解齐次通解非齐次特解非齐次特解=12()cossinnnu tatat齐次方程通解：齐次方程通解：简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动理解共振现象的数学本质理解共振现象的数学本质n1.1.如果如果 *01222()()()cossinsin()nnnfu tu tutatattm非齐次方程通解：非齐次方程通解：由初始条件和外力引起的由初始条件和外力引起的 自由振动部分自由振动部分
23、 与外激励频率相同的受迫与外激励频率相同的受迫 振动部分振动部分 ()()sinu tu tfmtn20特解：特解：*12()sincosutCtCt0122()nfCm待定常数：待定常数：20C 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动n2.2.如果如果 特解：特解：*0()cos2nnfu tttm*12()(cossin)nnu tt CtCt特解的形式：特解的形式：非齐次方程通解：非齐次方程通解：*012()()()cossincos2nnnnfu tu tu tatatttm()()sinu tu tfmtn20012nfCm 待定常数：待定常数：20C简谐激励下
24、无阻尼系统的受迫振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动012345-0.03-0.02-0.010.000.010.020.03n=50 rad/s,f=2sin(50t),m=10kgu,mt,s图图 共振响应共振响应 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动【思考思考】：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？1.1.实际系统都存在实际系统都存在阻尼阻尼，阻尼能够使系统在共振时维持，阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅有限的振幅。2.2.当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经不
25、再是不再是 线性微分方程了线性微分方程了，而，而是非线性运动微分方程是非线性运动微分方程，所以此时根据线性，所以此时根据线性 运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动0()()()sinmu tcu tku tft12()(cossin)ntddu teatat 求齐次方程通解求齐次方程通解 1.1.简谐激励下受迫振动的解简谐激励下受迫振动的解运动方程：运动方程：求非齐次方程特解求非齐次方程特解 *()sin()ddu tBt特解的形式：特解的形式：20sin()cos()sin()dddd
26、ctttmk BBf0000sinsin()sin(scos)cos()inddddddftfttfft图图 阻尼受迫振动系统阻尼受迫振动系统 kmc0sinft简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动200()cossinddddmk Bfc Bf 02 222()()arctanddfBkmcckm12()(cossin)sin()ntddddu teatatBt完整的受迫振动解：完整的受迫振动解：瞬态振动瞬态振动 稳态振动稳态振动受迫振动响应的特征：受迫振动响应的特征：总的振动响应瞬态振动和稳态振动的叠加；总的振动响应瞬态振动和稳态振动的叠加；随着时间的增加，瞬态振动
27、消失，响应主要由随着时间的增加，瞬态振动消失，响应主要由稳态振动稳态振动构成；构成；稳态振动与激励稳态振动与激励同频同频，但与激励之间有，但与激励之间有相位差相位差;稳态振动的振幅和相位差与初始条件稳态振动的振幅和相位差与初始条件无关无关，初始条件只影响系统的，初始条件只影响系统的瞬态瞬态振动振动。简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动图图 受迫振动的构成受迫振动的构成 0246810-2-1012B0瞬态振动瞬态振动完整受迫振动完整受迫振动稳态振动稳态振动ut简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动引入两个无量纲参数：引入两个无量纲参数：*()sin
28、()ddu tBt稳态振动：稳态振动：defn频率比：频率比：0/defddBfk位移振幅放大因子：位移振幅放大因子：02 222()()arctanddfBkmcckm 位移幅频特性位移幅频特性222121(1)(2)2tan1dd简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动0123012345=0.707=0.2=0.01 d =0.1图图 位移幅频特性位移幅频特性 频率比对位移响应幅值的影响：频率比对位移响应幅值的影响：11，d 低频段：低频段：简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动mc0sinFftkn10，d 高频段：高频段：解释：激振力的方向改
29、变过快，振动物体由于惯性来不及发生相应的变解释：激振力的方向改变过快，振动物体由于惯性来不及发生相应的变化，结果是近似地停着不动。化，结果是近似地停着不动。简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动mc0sinFftkn0123012345=0.707=0.2=0.01 d =0.1图图 位移幅频特性位移幅频特性 图图 位移幅频特性位移幅频特性 1 1/(2)，d 位移共振：位移共振：简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动0123012345=0.707=0.2=0.01 d =0.1mc0sinFftkn阻尼比对位移响应幅值的影响：阻尼比对位移响应幅值
30、的影响：阻尼在阻尼在共振区共振区,对减小振幅有显著作用；在远离共振区，对减小振幅有显著作用；在远离共振区，阻尼对减小振幅的作用不大阻尼对减小振幅的作用不大简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动图图 位移幅频特性位移幅频特性 0123012345=0.707=0.2=0.01 d =0.1图图 位移相频特性位移相频特性 0123-/20=0.2=0.1=0.707=0.01 d(1)0，d 低频段：低频段：说明响应与激励之间几乎是同相的。说明响应与激励之间几乎是同相的。相位差随频率比的变化：相位差随频率比的变化：简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动(
31、1)，d 高频段：高频段：说明响应与激励之间是反相的。说明响应与激励之间是反相的。简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动图图 位移相频特性位移相频特性 0123-/20=0.2=0.1=0.707=0.01 d(1),/2d 位移共振：位移共振：说明响应与激励之间相差说明响应与激励之间相差9090度。度。简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动图图 位移相频特性位移相频特性 0123-/20=0.2=0.1=0.707=0.01 d 共振：共振：0123012345=0.707=0.2=0.01 d =0.1212ddv1va2112a统一规定，频率比
32、统一规定，频率比 时发生时发生共振共振。1共振时：共振时：12,0,22dvadva 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动隔振隔振:在在设备设备和和基础基础之间加入之间加入弹性支撑弹性支撑来减小相互之间所传递的振动量。来减小相互之间所传递的振动量。图图 锻锤的弹性支撑锻锤的弹性支撑振动的隔离振动的隔离为什么以较快的速度通过凹凸不平的路面时，我们会自然而为什么以较快的速度通过凹凸不平的路面时，我们会自然而然地将臀部抬起然地将臀部抬起【生活中不自觉地运用隔振原理的例子生活中不自觉地运用隔振原理的例子2】：振动的隔离振动的隔离第一类隔振（隔力）：第一类隔振（隔力）：通过弹性支
33、撑隔离振源传到基础的力；通过弹性支撑隔离振源传到基础的力；设备设备(振源振源)弹性支承弹性支承基础基础图图 隔隔力示意图力示意图振动的隔离振动的隔离第二类隔振（隔幅）：第二类隔振（隔幅）：通过弹性支撑减小基础传到设备的振动幅值；通过弹性支撑减小基础传到设备的振动幅值；图图 隔幅隔幅示意图示意图设备设备弹性支承弹性支承基础基础(振源振源)振动的隔离振动的隔离*()sin()()cos()ddddku tkBtcu tc Bt经隔振器传到基础的弹性力和阻尼力分别为：经隔振器传到基础的弹性力和阻尼力分别为：图图 隔力问题的力学模型隔力问题的力学模型kcmu0sinft设备设备(振源振源)基础基础 第
34、一类隔振（隔力）第一类隔振（隔力）设备设备(振源振源)弹性支承弹性支承基础基础振动的隔离振动的隔离【隔振的评价隔振的评价】022 221(2)(1)(2)ffdeffT力传递率：力传递率：dtdkBdc B图图 隔力问题的力学模型隔力问题的力学模型ukcm0sinft222202 2202 222()()(1(2)(1)()2)dBkckfkmffcc 2隔力的条件：隔力的条件：传到基础上的合力的幅值：传到基础上的合力的幅值：振动的隔离振动的隔离22221(2)(1)(2)dBTv01230123452=0.707=0.2=0.01Td=0.1:2,1dT隔 幅 条 件图图 绝对运动传递率幅频
35、特性绝对运动传递率幅频特性绝对运动传递率：绝对运动传递率：2.2.第二类隔振第二类隔振(隔幅隔幅)设备设备弹性支承弹性支承基础基础(振源振源)设备设备基础基础(振源振源)sinvvt图图 隔幅问题的力学模型隔幅问题的力学模型ukcm振动的隔离振动的隔离周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析任意激励下的振动分析任意激励下的振动分析第一章：单自由度系统的振动第一章：单自由度系统的振动t()f tt()f t当外激励不是简谐激励，而是一般的周期激励，受迫振动如何求？当外激励不是简谐激励，而是一般的周期激励，受迫振动如何求？周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析【思路思路】：1()f t线性系统线
36、性系统1()u t2()ft线性系统线性系统2()ut()nft线性系统线性系统()nut12()()()nu tu tu t12()()()nf tf tf t线性系统线性系统叠加原理叠加原理周期激励周期激励1()f t2()f t()nf t线线性性系系统统1()u t12()()()nu tu tu t2()u t()nu t周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析如果周期函数满足如果周期函数满足狄利赫莱狄利赫莱条件：条件：1.1.在一个周期内，极大值和极小值数目是有限个；在一个周期内，极大值和极小值数目是有限个；2.2.在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点数目为有限个；在一个周期内
37、，如果有间断点存在，则间断点数目为有限个；3.3.在一个周期内，函数绝对值的积分为有限值，即：在一个周期内，函数绝对值的积分为有限值，即：0|()|Tf tdt 周期为周期为 T0 的函数的函数 f(t)可展开成如下形式的傅立叶级数：可展开成如下形式的傅立叶级数：0001()(cossin)2nnnaf tantbnt000000002()cosd,0,1,2,2()sind,1,2,TnTnaf tnt t nTbf tnt t nT其中：其中：002T基频基频傅立叶级数展开：傅立叶级数展开：周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析001()sin()nnnf tAAnt另一种形式另一种形式
38、：000001()d 2defTaAf ttT一个周期内的平均值一个周期内的平均值(直流分量直流分量)1tandefnnnab22defnnnAab各阶谐波分量在各阶谐波分量在 f(t)中所占的份量中所占的份量0A1A2A3A000203频率周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析()f tt0T0020n0n020()u tt0T系系统统mu tcu tku tf t()()()()0()=()f tTf t001()sin()nnnf tffnt周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析001()()()sin()nnnmu tcu tku tffnt001()sin()nnnnu tBBn
39、t22 22110220,0,1,2,(1)(2)2arctan,1,2,1nnnfBnknnnnn 002nnkmcmk,稳态解：稳态解：周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析函数：函数：()0 ttt()1tdt且且t()t01面积为面积为1 1()0tt 其他1 函数的单位函数的单位:为自变量的倒数，如自变量是时间，则单位是为自变量的倒数，如自变量是时间，则单位是1 1s s。在数学推导中，用在数学推导中，用 函数，理解时用函数，理解时用 函数理解。函数理解。在数学推导中，用在数学推导中，用 函数，理解时用函数，理解时用 函数理解。函数理解。0 任意激励下的振动分析任意激励下的振动分析
40、0 I脉冲力的表示：脉冲力的表示：作用在作用在 时刻冲量为时刻冲量为I 的脉冲力的脉冲力t脉冲力开始作用时刻脉冲力开始作用时刻tI脉冲力的冲量为脉冲力的冲量为t脉冲力停止作用时刻脉冲力停止作用时刻f1I()ft作用在作用在 时刻单位脉冲力时刻单位脉冲力0t 任意激励下的振动分析任意激励下的振动分析脉冲力的平均值脉冲力的平均值/I()Itt()t01面积为面积为1 1()tf MabF()fF x ax()M M x b任意激励下的振动分析任意激励下的振动分析 如果系统在零初始条件下受到一个单位脉冲力作用，响应怎么求？如果系统在零初始条件下受到一个单位脉冲力作用，响应怎么求？kmc1()t(0)
41、(0)0uu()()()1()mu tcu tku tt 系统的运动方程：系统的运动方程：初始条件：初始条件：1(0)0,(0)uum初始条件变为：初始条件变为：1(0)(0)mumu1(0)um设脉冲力的作用时间区间是设脉冲力的作用时间区间是 ,根据冲量定理：根据冲量定理：0,0 任意激励下的振动分析任意激励下的振动分析1sin,0()0,0ntddet tmh tt()()()01(0)0,(0)mu tcu tku tuumt()h t()t0()1sin(),()0,ntddettmh tt()t()h tt单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数:任意激励下的振动分析任意激励下的振动分析任意
42、激励下的振动分析任意激励下的振动分析在在 时刻作用的时刻作用的单位脉冲单位脉冲(冲量为冲量为1)1)引起的引起的t 时刻的响应为时刻的响应为()h t 已知单位脉冲响应，如何求解系统在任意激励下的响应？已知单位脉冲响应，如何求解系统在任意激励下的响应？()()()()(0)(0)0mu tcu tku tf tuu()?u t()f t0ttd()Ifd则在则在 时刻作用的冲量为时刻作用的冲量为 引起的引起的t 时刻的响应为时刻的响应为()fd()()()()fd htfhtd 0()()()d tuthtf(杜哈梅尔积分杜哈梅尔积分)时刻以前的所有脉冲都对时刻以前的所有脉冲都对 时刻的响应有
43、贡献，根据叠加原理，有时刻的响应有贡献，根据叠加原理，有tt任意激励下的振动分析任意激励下的振动分析非零初始条件下，系统的响应：非零初始条件下，系统的响应：120()(cossin)()()dnttddu teatath tf0000()(cossin)()()dnttnddduuu teutth tf00(0),(0)uu uu应用初始条件：应用初始条件：，得得12,aa 单自由度系统的振动分析单自由度系统的振动分析1.1.频响函数、传递函数频响函数、传递函数2.2.频响函数与脉冲响应函数之间的关频响函数与脉冲响应函数之间的关系系频响函数与传递函数频响函数与传递函数（一）频响函数（一）频响函
44、数i()()dtFf t eti1()()d2tf tFeFourier正变换正变换Fourier逆变逆变换换()mucukuf tFourier变换变换2(i)()()kmcUF2()1()()iUHFkmc频响函数频响函数2()1()()iUHFkmc频响函数频响函数频响函数与传递函数频响函数与传递函数22222211|()|()()(1)(2)Hkmck|()|Hn频响函数与传递函数频响函数与传递函数（二）传递函数（二）传递函数0()()dstF sf t etisi1()()d2itf tF s esLaplace正变换正变换Laplace逆变换逆变换()mucukuf tLaplace变换变换2()()()mscsk U sF s2()1()()U sH sF smscsk传递函数传递函数is（二）频响函数与脉冲响应函数之间的关系（二）频响函数与脉冲响应函数之间的关系频响函数与脉冲响应函数之间的关系频响函数与脉冲响应函数之间的关系()()f tt()()u th t()()f tt()()u th t激励：激励：响应：响应：()()()UHFi()()dtHf t eti()()dtHt et()Hii11()()()d()d22tth tu tUeHeii()()()d()dttHUu t eth t et()h t()H谢谢谢谢
