1、第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 主题一：主题一：归纳推理归纳推理 【自主认知自主认知】 1.1.在以前的数学学习中，我们知道三角形的内角和是在以前的数学学习中，我们知道三角形的内角和是180180，那么凸，那么凸 四边形的内角和是多少呢？凸五边形的内角和呢？四边形的内角和是多少呢？凸五边形的内角和呢？ 提示：提示：凸四边形的内角和是凸四边形的内角和是360360=2=2180180，凸五边形的内角和是，凸五边形的内角和是 540540=3=3180180. . 2.2.你能归纳出凸你能归纳出凸n(n3n(n3，nZ)nZ)边形的内角和是多少吗？边形的内角和
2、是多少吗？ 提示：提示：凸凸n(nn(n3 3，n nZ)Z)边形的内角和是边形的内角和是(n(n- -2)2)180180. . 3.3.阅读下面的材料，考虑这几则材料在预测结果时有什么共同的特点？阅读下面的材料，考虑这几则材料在预测结果时有什么共同的特点？ (1)(1)成语成语“一叶知秋一叶知秋”意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到. . (2)(2)谚语谚语“瑞雪兆丰年瑞雪兆丰年”. . (3)(3)物理学中牛顿发现万有引力物理学中牛顿发现万有引力. . (4)(4)化学中的门捷列夫元素周期表化学中的门捷列夫元素周期表. . 提示：提示：它们都
3、是由细微的迹象看出整体形势的变化，由个别推知一般它们都是由细微的迹象看出整体形势的变化，由个别推知一般. . 根据以上探究过程，试着写出归纳推理的定义：根据以上探究过程，试着写出归纳推理的定义： (1)(1)定义：由某类事物的定义：由某类事物的_对象具有某些特征，推出该类事物的对象具有某些特征，推出该类事物的 _对象都具有这些特征的推理，或者由对象都具有这些特征的推理，或者由_概括出概括出_ _的推理，称为归纳推理的推理，称为归纳推理( (简称归纳简称归纳).). (2)(2)简述：归纳推理是由简述：归纳推理是由_到到_、由、由_到到_的推理的推理. . 部分部分 全部全部 个别事实个别事实
4、一般一般 结论结论 部分部分 整体整体 个别个别 一般一般 【合作探究合作探究】 1.1.归纳推理的前提和结论是什么？归纳推理的前提和结论是什么？ 提示：提示：归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判断，而结论是归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判断，而结论是 关于该类事物或现象的普遍性判断关于该类事物或现象的普遍性判断. . 2.2.你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗？你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗？ 提示：提示：其思维过程为：试验、观察其思维过程为：试验、观察概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论. . 【过关小练过关小练】 1.1.数列数列2 2，5 5，1
5、111，2020，x x，4747，中的中的x x等于等于( ( ) ) A.28A.28 B.32B.32 C.33C.33 D.27D.27 【解析解析】选选B.B.由以上各数可得每两个数之间依次差由以上各数可得每两个数之间依次差3 3，6 6，9 9，1212， 故故x=20+12=32.x=20+12=32. 2.2.已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1=1，a an+1 n+1= (nN = (nN* *) )，则可归纳猜想，则可归纳猜想aan n 的通项公式为的通项公式为 . . 【解析解析】由条件可知：由条件可知： 由此可猜测由此可猜测a an n= = 答案：答
6、案：a an n= = n n 2a 2a 1 2345 1 221 222 2a21222 352 aaaa 212 2a32456 222 325 ， ， 2 . n 1 2 n 1 主题二：主题二：类比推理类比推理 【自主认知自主认知】 已知三角形的如下性质，据此回答下列问题已知三角形的如下性质，据此回答下列问题 三角形的两边之和大于第三边；三角形的两边之和大于第三边； 三角形的面积等于高与底乘积的三角形的面积等于高与底乘积的 1 2 (1)(1)试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质. . 提示：提示：四面体任意三个面的面积之和大于第四个面
7、的面积；四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； 四面体的体积等于底面积与高乘积的四面体的体积等于底面积与高乘积的 (2)(2)以上两个推理有什么共同特点？以上两个推理有什么共同特点？ 提示：提示：都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的. . 1 3 根据以上探究过程，试着写出类比推理的定义：根据以上探究过程，试着写出类比推理的定义： 1.1.类比推理类比推理 (1)(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中定义：由两类对象具有某些类似特征和其中_对象的某些已对象的某些已 知特征，推出知特征，推出_对象也具有这些特征的推理称
8、为类比推理对象也具有这些特征的推理称为类比推理( (简简 称类比称类比).). (2)(2)简述：类比推理是由简述：类比推理是由_到到_的推理的推理. . 一类一类 另一类另一类 特殊特殊 特殊特殊 2.2.合情推理合情推理 (1)(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、 _、_、联想，再进行归纳、类比，然后提出、联想，再进行归纳、类比，然后提出_的推理，的推理， 我们把它们统称为合情推理我们把它们统称为合情推理. . (2)(2)推理的过程：推理的过程： 分析分析 比较比较 猜想猜想 分析分析 比较比较 猜想猜想 【合
9、作探究合作探究】 1.1.归纳推理与类比推理有没有共同点？归纳推理与类比推理有没有共同点？ 提示：提示：有有. .二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论. . 2.2.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 提示：提示：不一定不一定. .归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，而是归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，而是 偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，也不一偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，也不一 定可靠，因此也不一定正确定可靠，因此也不一定正确. . 【过关小练过关
10、小练】 1.1.已知扇形的弧长为已知扇形的弧长为l，半径为，半径为r r，类比三角形的面积公式：，类比三角形的面积公式： S= S= ，可推知扇形面积公式，可推知扇形面积公式S S扇 扇等于 等于( ( ) ) 【解析解析】选选C.C.底底 弧长弧长l，高，高 半径半径r r，故选，故选C.C. 2 底 高 22 rr A. B. C. D. 222 不可类比 ll 2.2.正方形的面积为边长的平方，则在空间中，与之类比的结论正方形的面积为边长的平方，则在空间中，与之类比的结论 是是 . . 【解析解析】由平面中正方形的面积为边长的平方，则在空间中可类比得由平面中正方形的面积为边长的平方，则在
11、空间中可类比得 到正方体的体积为棱长的立方到正方体的体积为棱长的立方. . 答案：答案：正方体的体积为棱长的立方正方体的体积为棱长的立方 【归纳总结归纳总结】 1.1.归纳推理的特点归纳推理的特点 (1)(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论 超越了前提所包含的范围超越了前提所包含的范围. . (2)(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检 验，即结论不一定可靠验，即结论不一定可靠. . (3)(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归
12、纳推理得到的猜想可归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可 以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题. . 2.2.类比推理的特点类比推理的特点 (1)(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物 的属性，以旧认识为基础，类比出新结果的属性，以旧认识为基础，类比出新结果. . (2)(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. .如果类如果类 比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之
13、间越相关，那么类比得比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得 出的命题越可靠出的命题越可靠. . (3)(3)类比的结果是猜测性的，不一定正确类比的结果是猜测性的，不一定正确. .但它却具有发现的功能但它却具有发现的功能. . 3.3.类比推理的适用前提类比推理的适用前提 (1)(1)运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性，运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性， 关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的 特性去推断另一类对象也可能具有此类特性特性去推断另一类
14、对象也可能具有此类特性. . (2)(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象. . 类型一：类型一：归纳推理在数、式中的应用归纳推理在数、式中的应用 【典例典例1 1】(1)(1)观察下列各式：观察下列各式：a+b=1a+b=1，a a2 2+b+b2 2=3=3，a a3 3+b+b3 3=4=4，a a4 4+b+b4 4=7=7， a a5 5+b+b5 5=11=11，则，则a a10 10+b +b10 10=( =( ) ) A.28A.28 B.76B.76 C.123C.123 D.199D.199 (2)(2)已知已知f(x)= f(
15、x)= ，设，设f f1 1(x)=f(x)(x)=f(x)，f fn n(x)=f(x)=fn n- -1 1(f(fn n- -1 1(x)(n1(x)(n1，且，且 nNnN* *) )，则，则f f2 2(x)(x)的表达式为的表达式为 ，猜想，猜想f fn n(x)(nN(x)(nN* *) )的表达式的表达式 为为 . . x 1 x 【解题指南解题指南】(1)(1)记记a an n+b+bn n=f(n)=f(n)，观察，观察f(1)f(1)，f(2)f(2)，f(3)f(3)，f(4)f(4)，f(5)f(5) 之间的关系，再归纳得出结论之间的关系，再归纳得出结论. . (2)
16、(2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果写出前几项发现规律，归纳猜想结果. . 【解析解析】(1)(1)选选C.C.记记a an n+b+bn n=f(n)=f(n)，则，则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4； f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7；f(5)=f(3)+f(4)=11.f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现通过观察不难发现 f(n)=f(nf(n)=f(n- -1)+f(n1)+f(n- -2)(nN2)(nN* *，n3)n3)，则，则f(6)=f(4)+f(5)=18f(6
17、)=f(4)+f(5)=18； f(7)=f(5)+f(6)=29f(7)=f(5)+f(6)=29；f(8)=f(6)+f(7)=47f(8)=f(6)+f(7)=47；f(9)=f(7)+f(8)=76f(9)=f(7)+f(8)=76； f(10)=f(8)+f(9)=123.f(10)=f(8)+f(9)=123. 所以所以a a10 10+b +b10 10=123. =123. ( (2 2) )因为因为f(x)=f(x)= ，所以所以f f1 1(x)=(x)= 又因为又因为f fn n(x)=f(x)=fn n- -1 1(f(fn n- -1 1(x)(x)， 所以所以f f
18、2 2(x)=f(x)=f1 1(f(f1 1(x)=(x)= f f3 3(x)=f(x)=f2 2(f(f2 2(x)=(x)= x 1 x x . 1 x x x 1 x x 1 2x 1 1 x ， x x 1 2x x 1 4x 1 2 1 2x ， f f4 4(x)=f(x)=f3 3(f(f3 3(x)=(x)= f f5 5(x)=f(x)=f4 4(f(f4 4(x)(x) = = 所以根据前几项可以猜想所以根据前几项可以猜想f fn n(x)=(x)= 答案：答案： x x 1 4x . x 1 8x 1 4 1 4x x x 1 8x x 1 16x 1 8 1 8x
19、， n 1 x . 1 2x 2n n 1 xx fx fx 1 2x1 2x 【延伸探究延伸探究】本例本例(2)(2)中，若把中，若把“f fn n(x)=f(x)=fn n- -1 1(f(fn n- -1 1(x)(x)”改为改为 “f fn n(x)=f(f(x)=f(fn n- -1 1(x)(x)”，其他条件不变，其结论，其他条件不变，其结论f fn n(x)(x)的表达式如何呢？的表达式如何呢？ 【解析解析】因为因为f(x)= f(x)= 所以所以f f1 1(x)= (x)= 又因为又因为f fn n(x)=f(f(x)=f(fn n- -1 1(x)(x)， 所以所以f f2
20、 2(x)=f(f(x)=f(f1 1(x)= (x)= x 1 x ， x 1 x ， x x 1 x . x 1 2x 1 1 x 所以根据前几项可以猜想所以根据前几项可以猜想f fn n(x)=(x)= 32 43 54 x x 1 2x fxf fx x 1 3x 1 1 2x x x 1 3x fxf fx x 1 4x 1 1 3x x x 1 4x fxf fx x 1 5x 1 1 4x ， ， ， x . 1 nx 【规律总结规律总结】数、式中归纳推理的一般规律数、式中归纳推理的一般规律 (1)(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别
21、注意所给几个等式要特别注意所给几个等式( (或不等式或不等式) )中项数和次数等方面的变化规中项数和次数等方面的变化规 律；律； 要特别注意所给几个等式要特别注意所给几个等式( (或不等式或不等式) )中结构形式的特征；中结构形式的特征； 提炼出等式提炼出等式( (或不等式或不等式) )的综合特点；的综合特点； 运用归纳推理得出一般结论运用归纳推理得出一般结论. . (2)(2)数列中的归纳推理数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n n项和项和. . 通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；通过已知条件求出数
22、列的前几项或前几项和； 根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解；根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； 运用归纳推理写出数列的通项公式或前运用归纳推理写出数列的通项公式或前n n项和公式项和公式. . 【巩固训练巩固训练】(2015(2015西安高二检测西安高二检测) )已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S S， a a1 1=3=3，满足，满足S Sn n=6=6- -2a2an+1 n+1(nN (nN* *).(1).(1)求求a a2 2，a a3 3，a a4 4的值的值.(2).(2)猜想猜想a an n的的 表达式表达式. . 【
23、解析解析】(1)(1)因为因为a a1 1=3=3，且，且S Sn n=6=6- -2a2an+1 n+1(nN (nN* *) )， 所以所以S S1 1=6=6- -2a2a2 2=a=a1 1=3=3 解得解得a a2 2= = 又又S S2 2=6=6- -2a2a3 3=a=a1 1+a+a2 2=3+ =3+ 解得解得a a3 3= = 又又S S3 3=6=6- -2a2a4 4=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3=3+ =3+ 所以有所以有a a4 4= = (2)(2)由由(1)(1)知知 猜想猜想a an n= (nN= (nN* *).). 3 2 ， 3 2 ，
24、3 4 ， 33 24 ， 3 . 8 1234 0123 3333333 a3aaa 2224282 ， n 1 3 2 【补偿训练补偿训练】观察下列等式观察下列等式 1=11=1， 2+3+4=92+3+4=9， 3+4+5+6+7=253+4+5+6+7=25， 4+5+6+7+8+9+10=494+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式为照此规律，第五个等式为 . . 【解析解析】观察等式左侧：第一行有观察等式左侧：第一行有1 1个数是个数是1 1，第二行是，第二行是3 3个连续自然个连续自然 数的和，第一个数是数的和，第一个数是2 2，第三行是，第三行是5 5个连续自然
25、数的和，第一个数是个连续自然数的和，第一个数是3 3， 第四行是第四行是7 7个连续自然数的和，第一个数是个连续自然数的和，第一个数是4.4.照此规律，第照此规律，第5 5行应该是行应该是 连续连续9 9个自然数的和，第一个数为个自然数的和，第一个数为5 5，所以第，所以第5 5行左侧：行左侧： 5+6+7+8+9+10+11+12+135+6+7+8+9+10+11+12+13；等式右侧：第一行；等式右侧：第一行1=11=12 2，第二行，第二行9=39=32 2，第，第 三行三行25=525=52 2，第四行，第四行49=749=72 2，则第，则第5 5行应为行应为81=981=92 2
26、. . 所以第五个等式为所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. 答案：答案：5+6+7+8+9+10+11+12+13=815+6+7+8+9+10+11+12+13=81 类型二：类型二：归纳推理在几何中的应用归纳推理在几何中的应用 【典例典例2 2】(1)(2015(1)(2015广元高二检测广元高二检测) )下图为一串白黑相间排列的珠下图为一串白黑相间排列的珠 子，按这种规律往下排起来，那么第子，按这种规律往下排起来，那么第3636颗珠子应是什么颜色颗珠子应是什么颜色( ( ) ) A.A.白色白色 B.B.黑
27、色黑色 C.C.白色可能性大白色可能性大 D.D.黑色可能性大黑色可能性大 (2)(2014(2)(2014陕西高考陕西高考) )观察分析下表中的数据：观察分析下表中的数据： 猜想一般凸多面体中，猜想一般凸多面体中，F F，V V，E E所满足的等式是所满足的等式是 . . 多面体多面体 面数面数(F)(F) 顶点数顶点数(V)(V) 棱数棱数(E)(E) 三棱柱三棱柱 5 5 6 6 9 9 五棱锥五棱锥 6 6 6 6 1010 立方体立方体 6 6 8 8 1212 (3)(3)如图，连接如图，连接ABCABC的各边中点得到一个新的的各边中点得到一个新的A A1 1B B1 1C C1
28、1，又连接，又连接 A A1 1B B1 1C C1 1的各边中点得到的各边中点得到A A2 2B B2 2C C2 2，如此无限继续下去，得到一系列三，如此无限继续下去，得到一系列三 角形：角形：ABCABC，A A1 1B B1 1C C1 1，A A2 2B B2 2C C2 2，这一系列三角形趋向于一个，这一系列三角形趋向于一个 点点M M，已知，已知A(0A(0，0)0)，B(3B(3，0)0)，C(2C(2，2)2)，则点，则点M M的坐标是的坐标是 . . 【解题指南解题指南】(1)(1)由珠子的排列分析可知其具有周期性由珠子的排列分析可知其具有周期性. . (2)(2)本题是对
29、欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、 面数、棱数是解题的关键面数、棱数是解题的关键. . (3)(3)根据题意，由根据题意，由ABCABC确定确定A A1 1B B1 1C C1 1，依次确定，依次确定A A2 2B B2 2C C2 2，最终，最终 逼近逼近ABCABC三条中线的交点，从而可得结论三条中线的交点，从而可得结论. . 【解析解析】(1)(1)选选A.A.由图知：三白二黑周而复始相继排列，由图知：三白二黑周而复始相继排列，36365=75=7余余1 1， 所以第所以第3636颗珠子的颜色为白色颗珠子的颜色为白色.
30、 . (2)(2)因为因为5+65+6- -9=29=2， 6+66+6- -10=210=2， 6+86+8- -12=212=2， 所以所以F+VF+V- -E=2.E=2. 答案：答案：F+VF+V- -E=2E=2 (3)(3)由由A A1 1B B1 1C C1 1的三个顶点分别在的三个顶点分别在ABCABC的三条中线上，的三条中线上，A A2 2B B2 2C C2 2的三的三 个顶点分别在个顶点分别在A A1 1B B1 1C C1 1的三条中线上，的三条中线上，A A3 3B B3 3C C3 3的三个顶点分别在的三个顶点分别在 A A2 2B B2 2C C2 2的三条中线上
31、，的三条中线上，由此类推，这一系列的三角形的顶点，由此类推，这一系列的三角形的顶点 无限逼近无限逼近ABCABC的重心的重心. . 故由已知可得，点故由已知可得，点M M的坐标为的坐标为 答案：答案： 5 2 () 3 3 ， 5 2 () 3 3 ， 【规律总结规律总结】 1.1.几何问题中推理的特点几何问题中推理的特点 由一组平面或空间图形，归纳猜想其几何元素数量的变化规律，这类由一组平面或空间图形，归纳猜想其几何元素数量的变化规律，这类 题颇有智力趣题的味道，需要仔细观察，从不同的角度探索规律题颇有智力趣题的味道，需要仔细观察，从不同的角度探索规律. . 2.2.利用归纳推理解决几何问题
32、的两个策略利用归纳推理解决几何问题的两个策略 (1)(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察 所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式. . (2)(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之 间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再 求通项公式求通项公式. . 【巩固训练巩固训练】(1)(2015(1)(
33、2015太原高二检测太原高二检测) )用火柴棒摆用火柴棒摆“金鱼金鱼”，如图，如图 所示：所示： 根据上面的规律，第根据上面的规律，第n n个个“金鱼金鱼”图需要火柴棒的根数为图需要火柴棒的根数为( ( ) ) A.6nA.6n- -2 2 B.8nB.8n- -2 2 C.6n+2C.6n+2 D.8n+2D.8n+2 (2)(2015(2)(2015青岛高二检测青岛高二检测) )某种平面分形图如图所示，一级分形图是某种平面分形图如图所示，一级分形图是 由一点出发的三条线段，长度均为由一点出发的三条线段，长度均为1 1，两两夹角为，两两夹角为120120；二级分形图；二级分形图 是在一级分形
34、图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线的线 段，且这两条线段与原线段两两夹角为段，且这两条线段与原线段两两夹角为120120，依此规律得到，依此规律得到n n级级 分形图分形图. . 1 3 n n级分形图中共有级分形图中共有 条线段；条线段； n n级分形图中所有线段长度之和为级分形图中所有线段长度之和为 . . 【解析解析】(1)(1)选选C.C.由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个 图形多图形多6 6根火柴棒，第一个图形为根火柴棒，第一个图形为8 8根，可以写成根，可以写成
35、a a1 1=8=6+2=8=6+2，又，又 a a2 2=14=6=14=62+22+2，a a3 3=20=6=20=63+23+2，所以可以猜测，第，所以可以猜测，第n n个个“金鱼金鱼” 图需要火柴棒的根数为图需要火柴棒的根数为6n+2.6n+2. (2)(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一 级分形图有级分形图有3=(33=(32 2- -3)3)条线段，二级分形图有条线段，二级分形图有9=(39=(32 22 2- -3)3)条线段，条线段， 三级分形图中有三级分形图中有21=(321=(32 23 3-
36、-3)3)条线段，按此规律条线段，按此规律n n级分形图中的线段级分形图中的线段 条数为条数为3 32 2n n- -3(nN3(nN* *).). 分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段，的线段， 所以所以n n级分形图中第级分形图中第n n级的所有线段的长度为级的所有线段的长度为b bn n=3=3 (nN(nN* *) )， 所以所以n n级分形图中所有线段长度之和为级分形图中所有线段长度之和为S Sn n= = 答案：答案：3 32 2n n- -3 3 9 9- -9 9 1 3 n 1 2 ( ) 3 n n 2 1 (
37、 ) 2 3 39 9 ( ) 2 3 1 3 01n 1 222 3 ( )3 ( )3 ( ) 333 n 2 ( ) 3 【补偿训练补偿训练】设平面内有设平面内有n n条直线条直线(n3)(n3)，其中有且仅有两条直线互，其中有且仅有两条直线互 相平行，任意三条直线不过同一点，若用相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)f(n)表示这表示这n n条直线交点的条直线交点的 个数，则个数，则f(4)=f(4)= ；当；当n3n3时，时，f(n)=f(n)= ( (用用n n表示表示).). 【解析解析】如图，可得如图，可得f(4)=5f(4)=5，因为，因为f(3)=2f(3)=2，f(
38、4)=5=f(3)+3f(4)=5=f(3)+3， f(5)=9=f(4)+4f(5)=9=f(4)+4，f(6)=14=f(5)+5f(6)=14=f(5)+5， ， f(n)=f(nf(n)=f(n- -1)+n1)+n- -1 1， 所以每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数所以每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数. . 累加得累加得f(n)=2+3+4+f(n)=2+3+4+ +(n+(n- -1)=1)= 答案：答案：5 5 n 1 n2 . 2 n 1 n2 2 类型三：类型三：类比推理的应用类比推理的应用 【典例典例3 3】如图所示，在平面上，设如图所示，在
39、平面上，设h ha a，h hb b，h hc c分别是分别是ABCABC三条边上三条边上 的高，的高，P P为为ABCABC内任意一点，内任意一点，P P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为p pa a，p pb b， p pc c，可以得到结论，可以得到结论 =1.=1.证明此结论，通过类比写出在证明此结论，通过类比写出在 空间中的类似结论空间中的类似结论. . abc abc ppp hhh 【解题指南解题指南】三角形类比四面体三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面三角形的边类比四面体的面， 三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高
40、. . 【解析解析】 同理同理， 因为因为S S PBCPBC+S +S PACPAC+S +S PABPAB=S =S ABCABC， ， 所以所以 a aPBC aABC a 1 BC p pS 2 1 hS BC h 2 ， bPACcPAB bABCcABC pSpS hShS ， abcPBCPACPAB abcABC pppSSS 1 hhhS 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCDABCD中，设中，设h ha a， h hb b，h hc c，h hd d分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，分别是该四面体的四个顶点到对面
41、的距离，P P为该四面体为该四面体 内任意一点，内任意一点，P P到相应四个面的距离分别为到相应四个面的距离分别为p pa a，p pb b，p pc c，p pd d，可以得，可以得 到结论到结论 abcd abcd pppp 1 hhhh 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(改变问法改变问法) )对上述类比得出的结论加以证明对上述类比得出的结论加以证明. . 【证明证明】 同理，同理， 因为因为V VP P- -BCD BCD+V +VP P- -ACD ACD+V +VP P- -ABD ABD+V +VP P- -ABC ABC=V =VA A- -BCD BCD， ， 所以所以 BCD
42、a aP BCD aA BCD BCDa 1 Sp pV 3 1 hV Sh 3 ， bP ACDcdP ABCP ABD bA BCDcA BCDdA BCD pVppVV hVhVhV ， abcdP BCDP ACDP ABDP ABC abcdA BCD ppppVVVV 1 hhhhV 2.(2.(变换条件变换条件) )在本例中，若在本例中，若ABCABC的边长分别为的边长分别为a a，b b，c c，其对角分，其对角分 别为别为A A，B B，C C，那么由，那么由a=ba=bcos C+ccos C+ccos Bcos B可类比四面体的什么性可类比四面体的什么性 质？质？ 【解析
43、解析】在在如图所示的四面体中，如图所示的四面体中，S S1 1，S S2 2，S S3 3，S S分别表示分别表示PABPAB， PBCPBC，PCAPCA，ABCABC的面积，的面积，依次表示面依次表示面PABPAB，面，面PBCPBC， 面面PCAPCA与底面与底面ABCABC所成二面角的大小所成二面角的大小. . 猜想猜想S=SS=S1 1cos+Scos+S2 2cos+Scos+S3 3cos.cos. 【规律总结规律总结】 1.1.类比推理的基本思路类比推理的基本思路 根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的
44、数 目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到 空间中的相关结论空间中的相关结论. . 2.2.平面图形与空间图形类比如下：平面图形与空间图形类比如下： 平面图形平面图形 点点 线线 边长边长 面积面积 线线角线线角 三角形三角形 空间图形空间图形 线线 面面 面积面积 体积体积 二面角二面角 四面体四面体 【拓展延伸拓展延伸】类比推理的基本逻辑形式及适用前提类比推理的基本逻辑形式及适用前提 ( (1 1) )类比推理的基本逻辑形式类比推理的基本逻辑形式 A A类事物具有性质类事物具有性质a a，b b，c c，d d
45、B B类事物具有性质类事物具有性质a a，b b，c c， 所以所以B B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d d. .(a(a，b b，c c，d d与与a a，b b，c c，d d 相似或相同相似或相同) ) ( (2 2) )类比推理的适用前提类比推理的适用前提 两类对象在某些性质上有相似性或一致性两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性关键是把这些相似性 或一致性确切地表述出来或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类再由一类对象具有的特性去推断另一类 对象也可能具有的特性对象也可能具有的特性. . 运用类比推理常常先寻找合适的类比对象运用类比推理常常先寻找合适的类比对象. . 【巩固训练巩固训练】1.1.在公比为在公比为4 4的等比数列的等比数列bbn n 中，若中，若T Tn n是数列是数列bbn n 的前的前n
