1、3.2.2 复数代数形式的乘除运算 【自主预习自主预习】 1.1.复数代数形式的乘法法则复数代数形式的乘法法则 设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di(a,b,c,dR),=c+di(a,b,c,dR),则则z z1 1z z2 2=(a+bi)(c =(a+bi)(c +di)= _.+di)= _. (ac(ac- -bd)+(ad+bc)ibd)+(ad+bc)i 2.2.复数乘法的运算律复数乘法的运算律 对任意复数对任意复数z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有 交换律交换律 z z1 1zz2 2=_=_ 结合律结合律 (z(z1 1z z2 2)
2、 )z z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3) ) 分配律分配律 z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=_)=_ z z2 2z z1 1 z z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3 3.3.共轭复数共轭复数 已知已知z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,a,b,c,dR,=c+di,a,b,c,dR,则则 (1)z(1)z1 1,z,z2 2互为共轭复数的充要条件是互为共轭复数的充要条件是_._. (2)z(2)z1 1,z,z2 2互为共轭虚数的充要条件是互为共轭虚数的充要条件是_._. a=ca=c且且b=b=- -d d a=ca=c且且b
3、=b=- -d0d0 4.4.复数代数形式的除法法则复数代数形式的除法法则 (a+bi)(a+bi)(c+di)= _(c+di)= _ (a,b,c,dR,c+di0).(a,b,c,dR,c+di0). abi cdi 2222 acbdbc ad i cdcd 【即时小测即时小测】 1.1.在复平面内在复平面内, ,复数复数 对应的点的坐标为对应的点的坐标为 ( ( ) ) A.(1,3) B.(3,1)A.(1,3) B.(3,1) C.(C.(- -1,3) D.(3,1,3) D.(3,- -1)1) 【解析解析】选选A. A. 所以其对所以其对 应点的坐标为应点的坐标为(1,3)
4、.(1,3). 10i 3 i 22 10i 3 i10i 3 i 10i 1 3i, 3 i3110 2.2.设设i i是虚数单位是虚数单位, ,若复数若复数a a- - (aR)(aR)是纯虚数是纯虚数, ,则则a a 的值为的值为 ( ( ) ) A.A.- -3 3 B.B.- -1 1 C.1C.1 D.3D.3 【解析解析】选选D.D.因为因为 =(a=(a- -3)3)- -i,i,由纯虚数的定义由纯虚数的定义, ,知知a a- -3=0,3=0,所以所以a=3.a=3. 10 3 i 10 3 i10 3 i10 aaa 3 i3 i 3 i10 3.3.设设z= +i,z=
5、+i,则则|z|=|z|= ( ( ) ) 【解析解析】选选B.B.因为因为 所以所以 1 1 i 123 A. B. C. D.2 222 11 i1i zii 1 i1 i 1 i22 ， 2 z. 2 4.4.若若x x- -2+yi2+yi和和3x3x- -i i互为共轭复数互为共轭复数, ,则实数则实数x=_, x=_, y=_.y=_. 【解析解析】由题意得由题意得: : 答案答案: :- -1 1 1 1 x23x,x1, y1,y1. 所以 【知识探究知识探究】 探究点探究点1 1 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 1.aR,zC,a1.aR,zC,a2 2=|a=
6、|a2 2| |与与z z2 2=|z|=|z|2 2都成立吗都成立吗? ? 提示提示: :a a2 2=|a=|a2 2| |成立成立;z;z2 2=|z|=|z|2 2不一定成立不一定成立. . 例如例如z=i,zz=i,z2 2= =- -1,|z|1,|z|2 2=1,z=1,z2 2|z|z|2 2. . 2.z2.z2 2=|z=|z2 2| |成立的条件是什么成立的条件是什么? ? 提示提示: :当且仅当当且仅当z zR R时时,z,z2 2=|z|=|z|2 2成立成立. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.复数的乘法的三点说明复数的乘法的三点说明 (1)(1)类比多项式运算类比
7、多项式运算: :复数的乘法运算与多项式乘法运复数的乘法运算与多项式乘法运 算很类似算很类似, ,可仿多项式乘法进行可仿多项式乘法进行, ,但结果要将实部、虚但结果要将实部、虚 部分开部分开(i(i2 2换成换成- -1).1). (2)(2)运算律运算律: :多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成 立立, ,乘法公式也适用乘法公式也适用. . (3)(3)常用结论常用结论: : (a(abi)bi)2 2=a=a2 22abi2abi- -b b2 2(a,bR);(a,bR); (a+bi)(a(a+bi)(a- -bi)=abi)=a2 2+b+b2 2(
8、a,bR);(a,bR); (1(1i)i)2 2= =2i.2i. 2.2.对复数除法的两点说明对复数除法的两点说明 (1)(1)实数化实数化: : 分子、分母同乘以分母的共轭复数分子、分母同乘以分母的共轭复数c c- -di,di,化简后即得结化简后即得结 果果, ,这个过程实际上就是把分母实数化这个过程实际上就是把分母实数化, ,这与根式除法这与根式除法 的分母的分母“有理化有理化”很类似很类似. . (2)(2)代数式代数式: :注意最后结果要将实部、虚部分开注意最后结果要将实部、虚部分开. . 特别提醒特别提醒: :复数的除法类似于根式的分母有理化复数的除法类似于根式的分母有理化.
9、. 探究点探究点2 2 共轭复数共轭复数 1.1.若若z0z0且且z+ =0,z+ =0,则则z z是否为纯虚数是否为纯虚数? ? 提示提示: :是纯虚数是纯虚数, ,因为因为z z0,0,又实数的共轭是它本身又实数的共轭是它本身, ,则则 由由z z0 0且且z+ =0z+ =0知知z z不是实数不是实数, ,设设z=a+bi, =az=a+bi, =a- -bi(a,b bi(a,b R, bR, b0)0)和和z+ =2a=0,z+ =2a=0,所以所以a=0,a=0,故故z z为纯虚数为纯虚数. .利用利用 这个性质这个性质, ,可证明一个复数为纯虚数可证明一个复数为纯虚数. . z
10、zz z 2.2.复数共轭的共轭是否为复数本身复数共轭的共轭是否为复数本身? ? 提示提示: :根据复数的概念根据复数的概念, ,复数共轭的共轭是复数本身复数共轭的共轭是复数本身. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.共轭复数的注意点共轭复数的注意点 (1)(1)结构特点结构特点: :实部相等实部相等, ,虚部互为相反数虚部互为相反数. . (2)(2)几何意义几何意义: :在复平面内两个共轭复数的对应点关于在复平面内两个共轭复数的对应点关于 实轴对称实轴对称. . 2.2.共轭复数的性质共轭复数的性质 (1)(1)实数的共轭复数是它本身实数的共轭复数是它本身, ,即即zRzR (2)(2)相关
11、结论相关结论: : 易错警示易错警示: :注意共轭复数在复平面内对应点的对称关系注意共轭复数在复平面内对应点的对称关系. . z z. 2 2 2 2 z zzzzz； ； 1212 z zz z . 类型一类型一 复数代数形式的乘法运算复数代数形式的乘法运算 【典例典例】1.(20151.(2015全国卷全国卷)若若a a为实数且为实数且(2+ai)(a(2+ai)(a- - 2i)=2i)=- -4i,4i,则则a=a= ( ( ) ) A.A.- -1 1 B.0B.0 C.1C.1 D.2D.2 2.2.已知复数已知复数z z1 1= (1+i)(i= (1+i)(i为虚数单位为虚数单
12、位),),复数复数z z2 2的的 虚部为虚部为2,2,且且z z1 1z z2 2是实数是实数, ,求求z z2 2. . 13 i 22 () 【解题探究解题探究】1.1.本例本例1 1中解题的关键点是什么中解题的关键点是什么? ? 提示提示: :根据复数相等求解根据复数相等求解a.a. 2.z2.z1 1z z2 2是实数的含义是什么是实数的含义是什么? ? 提示提示: :虚部为零虚部为零. . 【解析解析】1.1.选选B.B.由题意得由题意得4a+(a4a+(a2 2- -4)i=4)i=- -4i,4i,所以所以 4a=0,a4a=0,a2 2- -4=4=- -4,4,解得解得a=
13、0,a=0,故选故选B.B. 2.z2.z1 1= (1+i)=2= (1+i)=2- -i,i, 设设z z2 2=a+2i,aR,=a+2i,aR,则则z z1 1z z2 2=(2=(2- -i)i)(a+2i)=(2a+2)+(a+2i)=(2a+2)+ (4(4- -a)i,a)i, 因为因为z z1 1z z2 2R,R,所以所以a=4,a=4,所以所以z z2 2=4+2i.=4+2i. 13 i 22 () 【延伸探究延伸探究】将本例将本例2 2中中z z1 1z z2 2是实数改为是实数改为“z z1 1z z2 2是是 纯虚数纯虚数”, ,其他条件不变其他条件不变, ,求求
14、z z2 2. . 【解析解析】由例题知由例题知 解得解得a=a=- -1 1所以所以z z2 2= =- -1+2i.1+2i. 2a20, 4 a0, 【方法技巧方法技巧】复数的乘法运算法则的应用复数的乘法运算法则的应用 (1)(1)复数的乘法运算可以把复数的乘法运算可以把i i看作字母看作字母, ,类比多项式的乘类比多项式的乘 法进行法进行, ,注意要把注意要把i i2 2化为化为- -1,1,进行最后结果的化简进行最后结果的化简. . (2)(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法, ,用用 乘法公式更简便乘法公式更简便. .例如平方差公式
15、、完全平方公式等例如平方差公式、完全平方公式等. . 【变式训练变式训练】(2015(2015重庆高考重庆高考) )设复数设复数a+bi(a,bR)a+bi(a,bR) 的模为的模为 , ,则则(a+bi)(a(a+bi)(a- -bi)=_.bi)=_. 【解题指南解题指南】本题直接利用复数的模的概念及乘法运本题直接利用复数的模的概念及乘法运 算求解即可算求解即可. . 3 【解析解析】因为复数因为复数a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的模为的模为 所以所以(a+bi)(a(a+bi)(a- -bi)=abi)=a2 2- -b b2 2i i2 2=a=a2 2+b+b2 2=3.=
16、3. 答案答案: :3 3 22 3ab3,，即 类型二类型二 共轭复数共轭复数 【典例典例】(2016(2016兰州高二检测兰州高二检测) )把复数把复数z z的共轭复数记的共轭复数记 作作 , ,已知已知(1+2i) =4+3i,(1+2i) =4+3i,求求z.z. z z 【解析解析】设设z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),则则 =a=a- -bi,bi, 由已知得由已知得:(1+2i)(a:(1+2i)(a- -bi)=(a+2b)+(2abi)=(a+2b)+(2a- -b)i=4+3i,b)i=4+3i,由复由复 数相等的定义知数相等的定义知, , 得得a=2,b
17、=1,a=2,b=1, 所以所以z=2+i.z=2+i. a2b4, 2ab3. z 【延伸探究延伸探究】 1.1.若把本例条件改为若把本例条件改为 (z+2)=4+3i,(z+2)=4+3i,求求z.z. 【解析解析】设设z=x+yi(x,yR).z=x+yi(x,yR).则则 =x=x- -yi,yi,由题意知由题意知, , (x(x- -yi)(x+yi+2)=4+3i.yi)(x+yi+2)=4+3i. z z 2 x 2xy4, xyy x23. 1111 x1x1 22 33 yy 22 113113 z1iz1i. 2222 得 ， 解得或 ， 所以()或() 2.2.若把本例条
18、件改为若把本例条件改为(1+2i)z=4+3i,(1+2i)z=4+3i,求求z.z. 【解析解析】设设z=x+yi,z=x+yi,则则(1+2i)(x+yi)=4+3i,(1+2i)(x+yi)=4+3i, 得得 所以所以z=2z=2- -i.i. x2y4x2 2xy3y1 ， 解得 ， 【方法技巧方法技巧】处理与共轭复数有关问题的思路处理与共轭复数有关问题的思路 当已知条件为含有一个或多个复数当已知条件为含有一个或多个复数z(z(或其共轭复数或其共轭复数) )的的 等式时等式时, ,常设出复数的代数形式常设出复数的代数形式, ,利用复数相等的充要利用复数相等的充要 条件转化为实数问题求解
19、条件转化为实数问题求解. . 【补偿训练补偿训练】(2015(2015广东高考广东高考) )若复数若复数z=i(3z=i(3- -2i)(i2i)(i是是 虚数单位虚数单位),),则则 = = ( ( ) ) A.3A.3- -2i2i B.3+2iB.3+2i C.2+3iC.2+3i D.2D.2- -3i3i 【解题指南解题指南】可先求出可先求出z,z,再利用共轭复数的概念实部再利用共轭复数的概念实部 相同相同, ,虚部互为相反数求出结果虚部互为相反数求出结果. . 【解析解析】选选D.D.因为因为z=i(3z=i(3- -2i)=2+3i,2i)=2+3i,所以所以 =2=2- -3i
20、.3i. z z 类型三类型三 复数代数形式的除法运算复数代数形式的除法运算 【典例典例】1.1.如图如图, ,在复平面内在复平面内, ,复数复数z z1 1,z,z2 2对应的向量分对应的向量分 别是别是 则复数则复数 对应的点位于对应的点位于 ( ( ) ) A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 OA,OB， 1 2 z z 2.2.计算计算:(1) :(1) (2) (2) 3 2i3 2i . 2 3i2 3i 773 1 i1 i3 4i22i . 1 i1 i4 3i 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中复数
21、中复数z z1 1,z,z2 2的代数形式为什么的代数形式为什么? ? 提示提示: :由复数的几何意义知由复数的几何意义知,z,z1 1= =- -2 2- -i,zi,z2 2=i.=i. 2.2.观察典例观察典例2 2式子的特征式子的特征, ,应如何计算应如何计算? ? 提示提示: :先化简先化简, ,再运算再运算. . 【解析解析】1.1.选选B.B.由复数的几何意义知由复数的几何意义知,z,z1 1= =- -2 2- -i,zi,z2 2=i,=i, 所以所以 对应的点在第二象限对应的点在第二象限. . 2.(1)2.(1)方法一方法一: : 1 2 z2 i 1 2i zi ， 3
22、 2i3 2i 2 3i2 3i 3 2i2 3i3 2i2 3i 2 3i2 3i 6 13i6 6 13i626i 2i. 4 913 方法二方法二： (2)(2)原式原式= = =(2i)=(2i)3 3i+(i+(- -2i)2i)3 3( (- -i)i)- - =8+8=8+8- -1616- -16i=16i=- -16i.16i. i 2 3ii 2 3i3 2i3 2i i i2i. 2 3i2 3i2 3i2 3i 22 33 1 i1 i 1 i1 i 1 i1 i 2 8 3 4i 1 i1 i 3 4i i 8 2i 1 i i 【方法技巧方法技巧】复数除法运算法则的
23、应用复数除法运算法则的应用 (1)(1)复数的除法先写成分式的形式复数的除法先写成分式的形式, ,再把分母实数化再把分母实数化( (方方 法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数, ,若分母是纯若分母是纯 虚数虚数, ,则只需同时乘以则只需同时乘以i).i). (2)(2)对于复数的运算对于复数的运算, ,除了应用四则运算法则之外除了应用四则运算法则之外, ,对于对于 一些简单的算式要知道其结果一些简单的算式要知道其结果, ,这样起点就高这样起点就高, ,计算过计算过 程就可以简化程就可以简化, ,达到快速、简捷、出错少的效果达到快速、简捷、出错少的效果. .比
24、如比如 下列结果下列结果, ,要记住要记住: : a+bi=i(ba+bi=i(b- -ai).ai). 11 i1 i iii i1 i1 i ； ； 易错警示易错警示: :除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同 乘以分母的共轭复数乘以分母的共轭复数, ,再按复数的乘法进行运算再按复数的乘法进行运算, ,最后最后 化简化简. . 【变式训练变式训练】 【解析解析】 5 47 111 i 22i. i1 i1 i ()() 5 2 227 2 1 i21 i1 ii 1 i 1 16 21 ii 4 1 16 216 2 1 i. 4 () 5 47 11
25、1 i 22i. i1 i1 i ()() 【补偿训练补偿训练】(2015(2015全国卷全国卷)设复数设复数z z满足满足 =i,=i,则则|z|=|z|= ( ( ) ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 1 z 1 z 【解题指南解题指南】将将 =i=i化为化为z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)的形式的形式, , 利用利用|z|= |z|= 求解求解. . 【解析解析】选选A.A.因为因为 =i,=i,所以所以 故故|z|=1.|z|=1. 1 z 1 z 22 ab 1 z 1 z 1 i 1 i 1 i zi 1 i1 i 1 i ， 自我纠错自我纠错 复数代数形式的
26、除法复数代数形式的除法 【典例典例】(2016(2016西安高二检测西安高二检测) )复数复数 等于等于 ( )( ) 3 2i 12i A.i B. i C.2 2i D. 2 2i 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错解中有两处错的地方错解中有两处错的地方: :因为因为i i3 3= =- -i,i,所以所以 - -i i3 3= = +i,(1+i,(1- - i)(1+ i)=1i)(1+ i)=1- -( i)( i)2 2=1=1- -2 2i i2 2=1+2=3.=1+2=3. 正确解答过程如下正确解答过程如下: : 2 22 2 2 【解析解析】选选A. A. 3 2i 12i 2i2i 12i12i 12i 12i 2 2 22ii2i3i i. 1 2 12i
