1、第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 【自主预习自主预习】 1.1.归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理 归纳推理归纳推理 类比推理类比推理 定定 义义 由某类事物的由某类事物的_具具 有某些特征有某些特征, ,推出该类事物推出该类事物 的的_都具有这些特都具有这些特 征的推理征的推理, ,或者由或者由_ 概括出一般结论的推理概括出一般结论的推理, ,称称 为归纳推理为归纳推理( (简称简称_)_) 由两类对象具有由两类对象具有_ _和其中一类和其中一类 对象的对象的_,_, 推出另一类对象也具推出另一类对象也具 有有_的推理称的推理称 为类比推理为类比推理(
2、(简称简称_)_) 特特 征征 归纳推理是由归纳推理是由_到到 _、由、由_到到_的的 推理推理 类比推理是由类比推理是由_ 到到_的推理的推理 部分对象部分对象 全部对象全部对象 个别事实个别事实 归纳归纳 某些某些 类似特征类似特征 某些已知特征某些已知特征 这些特征这些特征 类比类比 部分部分 整体整体 个别个别 一般一般 特殊特殊 特殊特殊 2.2.合情推理合情推理 含义含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, ,经过经过 _、_、比较、比较、_,_,再进行再进行_、_,_, 然后提出然后提出_的推理的推理. .我们把它们统称为合情推理我们把它们
3、统称为合情推理. . 通俗地说通俗地说, ,合情推理是指“合乎情理”的推理合情推理是指“合乎情理”的推理 过程过程 观察观察 分析分析 联想联想 归纳归纳 类比类比 猜想猜想 猜想猜想 【即时小测即时小测】 1.1.观察下列各式观察下列各式:7:72 2=49,7=49,73 3=343,7=343,74 4=2401,=2401, ,则则7 72017 2017的 的 末尾两位数字为末尾两位数字为 ( ( ) ) A.01A.01 B.43B.43 C.07C.07 D.49D.49 【解析解析】选选C.C.因为因为7 71 1=7,7=7,72 2=49,7=49,73 3=343,7=3
4、43,74 4=2401,7=2401,75 5= = 16807,716807,76 6=117649,=117649, ,可见这些数的末尾两位数字是周可见这些数的末尾两位数字是周 期性出现期性出现, ,且周期且周期T=4.T=4. 又又2017=42017=4504+1,504+1, 所以所以7 72017 2017的末尾两位数字与 的末尾两位数字与7 71 1的末尾两位数字相同的末尾两位数字相同, ,是是 07.07. 2.2.数列数列2,5,11,20,x,47,2,5,11,20,x,47,中的中的x x的值为的值为 ( ( ) ) A.28A.28 B.32B.32 C.33C.3
5、3 D.27D.27 【解析解析】选选B.B.由已知得由已知得5 5- -2=3,112=3,11- -5=6=25=6=23,203,20- -11=9=11=9= 3 33,x3,x- -20=420=43,3,所以所以x=32.x=32. 3.3.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为 类比对象较为合适类比对象较为合适 ( ( ) ) A.A.三角形三角形 B.B.梯形梯形 C.C.平行四边形平行四边形 D.D.矩形矩形 【解析解析】选选C.C.平行四边形平行四边形, ,对边平行且相等对边平行且相等, ,平行六面平行六面 体体, ,对面平
6、行且全等对面平行且全等. . 【知识探究知识探究】 探究点探究点1 1 归纳推理归纳推理 1.1.归纳推理是从特殊到一般的推理吗归纳推理是从特殊到一般的推理吗? ? 提示提示: :是从特殊到一般的推理是从特殊到一般的推理. . 2.2.归纳推理所得的结论一定正确吗归纳推理所得的结论一定正确吗? ? 提示提示: :归纳推理所得结论不一定正确归纳推理所得结论不一定正确, ,需验证或证明需验证或证明. . 【归纳总结归纳总结】 归纳推理的四个特点归纳推理的四个特点 (1)(1)前提前提: :几个已知的特殊现象几个已知的特殊现象, ,归纳所得的结论是尚属归纳所得的结论是尚属 未知的一般现象未知的一般现
7、象, ,该结论超越了前提所包括的范围该结论超越了前提所包括的范围. . (2)(2)结论结论: :具有猜测的性质具有猜测的性质, ,结论是否真实结论是否真实, ,还需经过逻还需经过逻 辑证明和实践检验辑证明和实践检验, ,因此因此, ,归纳推理不能作为数学证明归纳推理不能作为数学证明 的工具的工具. . (3)(3)步骤步骤: :先搜集一定的事实资料先搜集一定的事实资料, ,有了个别性的、特殊有了个别性的、特殊 性的事实作为前提性的事实作为前提, ,然后才能进行归纳推理然后才能进行归纳推理, ,因此归纳因此归纳 推理要在观察和试验的基础上进行推理要在观察和试验的基础上进行. . (4)(4)作
8、用作用: :具有创造性的推理具有创造性的推理, ,通过归纳推理能够发现新通过归纳推理能够发现新 事实事实, ,获得新结论获得新结论, ,是科学发现的重要手段是科学发现的重要手段. . 探究点探究点2 2 类比推理类比推理 1.1.类比推理是从特殊到一般的推理吗类比推理是从特殊到一般的推理吗? ? 提示提示: :不是不是, ,类比推理是从特殊到特殊的推理类比推理是从特殊到特殊的推理. . 2.2.类比推理得出的结论正确吗类比推理得出的结论正确吗? ? 提示提示: :类比推理得出的结论不一定正确类比推理得出的结论不一定正确. . 3.3.什么样的两类对象才可以类比什么样的两类对象才可以类比? ?
9、提示提示: :两类对象必须具有可比性两类对象必须具有可比性, ,即必须具有类似特征即必须具有类似特征. . 【归纳总结归纳总结】 类比推理的三个特点类比推理的三个特点 (1)(1)类比推理结论的猜测性类比推理结论的猜测性. .类比推理是从人们已经掌类比推理是从人们已经掌 握了的事物的特征握了的事物的特征, ,推测正在被研究的事物的特征推测正在被研究的事物的特征, ,所所 以类比推理的结果具有猜测性以类比推理的结果具有猜测性, ,不一定可靠不一定可靠. . (2)(2)类比在数学发现中具有重要作用类比在数学发现中具有重要作用. .例如例如, ,通过空间与通过空间与 平面、向量与数、无限与有限、不
10、等与相等的类比平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比, ,发发 现可以研究的问题及其研究方法现可以研究的问题及其研究方法. . (3)(3)类比推理的关键点类比推理的关键点. .由于类比推理的前提是两类对由于类比推理的前提是两类对 象之间具有某些可以清楚定义的类似特征象之间具有某些可以清楚定义的类似特征, ,所以进行类所以进行类 比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似 特征特征. . 易错警示易错警示: :归纳推理是对同类对象归纳推理是对同类对象, ,而类比推理是针对而类比推理是针对 两类对象之间的推理两类对象之间的推理. . 类型一
11、类型一 归纳推理归纳推理 【典例典例】1.(20141.(2014陕西高考陕西高考) )观察分析下表中的数据观察分析下表中的数据: : 猜想一般凸多面体中猜想一般凸多面体中,F,V,E,F,V,E所满足的等式是所满足的等式是_._. 多面体多面体 面数面数(F)(F) 顶点数顶点数(V)(V) 棱数棱数(E)(E) 三棱柱三棱柱 5 5 6 6 9 9 五棱锥五棱锥 6 6 6 6 1010 立方体立方体 6 6 8 8 1212 2.(20162.(2016聊城高二检测聊城高二检测) )由下列各式由下列各式: : 1 13 3=1=12 2 1 13 3+2+23 3=3=32 2 1 13
12、 3+2+23 3+3+33 3=6=62 2 1 13 3+2+23 3+3+33 3+4+43 3=10=102 2 请你归纳出一般结论请你归纳出一般结论. . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1求解的关键是什么求解的关键是什么? ? 提示提示: :观察表中数据分析出顶点数、面数观察表中数据分析出顶点数、面数, ,棱数的关系棱数的关系 是解题的关键是解题的关键. . 2.2.典例典例2 2中各等式的结构特征是什么中各等式的结构特征是什么? ? 提示提示: :等式左边是几个连续自然数的立方和等式左边是几个连续自然数的立方和, ,右边是这右边是这 几个连续自然数和的平方几个连续自然数和
13、的平方. . 【解析解析】1.1.因为因为5+65+6- -9=2,6+69=2,6+6- -10=2,6+810=2,6+8- -12=2,12=2,所以所以 V+FV+F- -E=2.E=2. 答案答案: :V+FV+F- -E=2E=2 2.2.观察已知各式的构成规律可以发现观察已知各式的构成规律可以发现, ,各等式左边是几各等式左边是几 个连续自然数的立方和个连续自然数的立方和, ,右边是这几个连续自然数和的右边是这几个连续自然数和的 平方平方. . 即一般结论为即一般结论为1 13 3+2+23 3+3+33 3+ +n+n3 3=(1+2+3+=(1+2+3+n)+n)2 2. .
14、 【方法技巧方法技巧】 1.1.由已知数式进行归纳推理的步骤由已知数式进行归纳推理的步骤 (1)(1)分析所给几个等式分析所给几个等式( (或不等式或不等式) )中项数和次数等方面中项数和次数等方面 的变化规律或结构形式的特征的变化规律或结构形式的特征. . (2)(2)提炼出等式提炼出等式( (或不等式或不等式) )的综合特点的综合特点. . (3)(3)运用归纳推理得出一般结论运用归纳推理得出一般结论. . 2.2.归纳推理在图形中的应用策略归纳推理在图形中的应用策略 【拓展延伸拓展延伸】归纳推理的基本逻辑形式归纳推理的基本逻辑形式 S S1 1具有具有( (或不具有或不具有)P,)P,
15、S S2 2具有具有( (或不具有或不具有)P,)P, S Sn n具有具有( (或不具有或不具有)P(S)P(S1 1,S,S2 2, ,S,Sn n是是A A类事物的对象类事物的对象),),由由 此猜想此猜想:A:A类事物具有类事物具有( (或不具有或不具有)P.)P. 【变式训练变式训练】(2016(2016菏泽高二检测菏泽高二检测) )有两种花色的正有两种花色的正 六边形地面砖六边形地面砖, ,按如图的规律拼成若干个图案按如图的规律拼成若干个图案, ,则第六则第六 个图案中有菱形花纹的正六边形的个数是个图案中有菱形花纹的正六边形的个数是 ( ( ) ) A.26A.26 B.31B.3
16、1 C.32C.32 D.36D.36 【解题指南解题指南】数出前三个图案中有菱形花纹的正六边数出前三个图案中有菱形花纹的正六边 形个数形个数, ,注意分析规律注意分析规律, ,由此规律作出推断由此规律作出推断. . 【解析解析】选选B.B.有菱形花纹的正六边形个数如下表有菱形花纹的正六边形个数如下表: : 图案图案 第一个第一个 第二个第二个 第三个第三个 个数个数 6 6 1111 1616 由表可以看出有菱形花纹的正六边形的个数依次组成由表可以看出有菱形花纹的正六边形的个数依次组成 一个以一个以6 6为首项为首项, ,以以5 5为公差的等差数列为公差的等差数列, ,所以第六个图所以第六个
17、图 案中有菱形花纹的正六边形的个数是案中有菱形花纹的正六边形的个数是6+56+5(6(6- -1)=31.1)=31. 类型二类型二 类比推理类比推理 【典例典例】如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90. .设设a,b,ca,b,c分别表分别表 示三条边的长度示三条边的长度, ,由勾股定理由勾股定理, ,得得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. . 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理, , 试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想. . 【解题探究解题探究】典例中直角三角形满足两边垂直典例中直角三角形满足两边垂直, ,在空
18、间在空间 中的四面体应满足什么特征中的四面体应满足什么特征? ? 提示提示: :考虑到直角三角形的两条边互相垂直考虑到直角三角形的两条边互相垂直, ,我们可以我们可以 选取有选取有3 3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体, ,作为直角三角形的类作为直角三角形的类 比对象比对象. . 【解析解析】如题图如题图, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90. .设设a,b,ca,b,c分别分别 表示表示3 3条边的长度条边的长度, ,由勾股定理由勾股定理, ,得得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. .类似地类似地, ,如如 图所示图所示, ,在四面体在四面体P P- -DEF
19、DEF中中,PDF=PDE=EDF=90,PDF=PDE=EDF=90. . 设设S S1 1,S,S2 2,S,S3 3和和S S分别表示分别表示PDF,PDF,PDE,PDE,EDFEDF和和PEFPEF的的 面积面积, ,相应于直角三角形的两条直角边相应于直角三角形的两条直角边a,ba,b和和1 1条斜边条斜边c,c, 图中的四面体有图中的四面体有3 3个个“直角面直角面”S S1 1,S,S2 2,S,S3 3和和1 1个个“斜斜 面面”S.S.于是于是, ,类比勾股定理的结构类比勾股定理的结构, ,我们猜想我们猜想 2222 123 SSSS . 【延伸探究延伸探究】1.1.把题设条
20、件把题设条件“由勾股定理由勾股定理, ,得得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2” 换成换成“coscos2 2A+cosA+cos2 2B=1B=1”, ,则在空间中则在空间中, ,给出四面体性质给出四面体性质 的猜想的猜想. . 【解析解析】如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,cos,cos2 2A+cosA+cos2 2B=B= . . 22 22 2 baab ( )( )1 ccc 于是把结论类比到四面体于是把结论类比到四面体P P- -ABCABC中中, ,我们猜想我们猜想, ,三三 棱锥棱锥P P- -ABCABC中中, ,若三个侧面若三个侧面PAB,PBC, PAB
21、,PBC, PCAPCA两两互相垂直两两互相垂直, ,且分别与底面所成的角为且分别与底面所成的角为 ,则则coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2=1.=1. 2.2.如图如图, ,作作CDABCDAB于于D,D,则有则有 . .类比该性质类比该性质, , 试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想, ,并证明并证明. . 222 111 CDab 【解析解析】类比猜想类比猜想: : 在四面体在四面体ABCDABCD中中,AB,AC,AD,AB,AC,AD两两垂直两两垂直,AE,AE平面平面BCD,BCD, 则则 如图如图, ,连接连接BEBE交交CDCD于
22、于F,F,连接连接AF,AF,因为因为 ABAC,ABAD,ACAD=A,ABAC,ABAD,ACAD=A, 所以所以ABAB平面平面ACD,ACD, 2222 1111 . AEABACAD 而而AFAF 平面平面ACD,ACD,所以所以ABAF,ABAF, 在在RtRtAEFAEF中中,AEBF,AEBF, 所以所以 易知在易知在RtRtACDACD中中,AFCD,AFCD, 222 111 . AEABAF 所以所以 所以所以 2222 1111 . AEABACAD 222 111 , AFACAD 【方法技巧方法技巧】类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤 【补偿训练补偿训练】(201
23、6(2016安庆高二检测安庆高二检测) )如图所示如图所示, ,在在 ABCABC中中, ,射影定理可表示为射影定理可表示为a=bcosC+ccosB.a=bcosC+ccosB.其中其中 a,b,ca,b,c分别为角分别为角A,B,CA,B,C的对边的对边, ,类比上述定理类比上述定理, ,写出对空写出对空 间四面体性质的猜想间四面体性质的猜想. . 【解析解析】如图如图, ,在四面体在四面体P P- -ABCABC中中,S,S1 1,S,S2 2,S,S3 3,S,S分别表示分别表示 PAB,PAB,PBC,PBC,PCA,PCA,ABCABC的面积的面积; ; , , , , 分别表示分
24、别表示 平面平面PABPAB、平面、平面PBC,PBC,平面平面PCAPCA与底面与底面ABCABC所成的二面角所成的二面角. . 我们猜想射影定理类比到空间得我们猜想射影定理类比到空间得 S=SS=S1 1coscos +S+S2 2coscos +S+S3 3coscos . . 自我纠错自我纠错 类比推理类比推理 【典例典例】若数列若数列aan n(nN(nN* *) )是等差数列是等差数列, ,则有数列则有数列 (nN(nN* *) )也是等差数列也是等差数列. . 类比上述性质类比上述性质, ,相应地相应地: : 若数列若数列ccn n(nN(nN* *) )是等比数列是等比数列,
25、,且且c cn n0,0,则数列则数列 d dn n=_(nN=_(nN* *) )也是等比数列也是等比数列. . 123n n aaaa b n 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因是忽视了对等差数列中“除法运错误的根本原因是忽视了对等差数列中“除法运 算的类比算的类比. .正确解答过程如下正确解答过程如下: : 【解析解析】由等差、等比数列之间的运算的相似特征知由等差、等比数列之间的运算的相似特征知 , ,容易得出容易得出d dn n= = 也是等比数列也是等比数列. . 答案答案: : n 1 2 3n c c cc n 123n c c cc, 类比类比 “和积 商开方”
