1、2.1.2 演绎推理演绎推理 由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑 规则得到正确结论的过程叫演绎推理。规则得到正确结论的过程叫演绎推理。 演绎推理特征：演绎推理特征：当前题为真时，结论必然为真；当前题为真时，结论必然为真； 1.演绎推理的定义：演绎推理的定义： 其推理形式是：其推理形式是：从一般到特殊的从一般到特殊的 推理推理 2. “三段论”推理，三段论”推理， 其一般模式其一般模式： 大前提大前提已知的一般原理；已知的一般原理； 小前提小前提所研究的特殊情况；所研究的特殊情况； 结论结论据一般原理，对特殊情况做据一般原理，对特殊情况做 出的判出的
2、判 断断 （2）三段论的基本格式）三段论的基本格式 M是是P （大前提）（大前提） S是是M （小前提）（小前提） 所以，所以，S是是P （结论）（结论） （3）三段论推理的依据，用集合的观点来理解：）三段论推理的依据，用集合的观点来理解： 若集合若集合M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P，S是是M的的 一个子集，那么一个子集，那么S中所有元素也都具有性质中所有元素也都具有性质P。 练习练习1. 1. 分析下列推理是否正确，说明为什么？分析下列推理是否正确，说明为什么？ (1)(1)自然数是整数，自然数是整数， 3 3是自然数，是自然数， 3 3是整数是整数. . 大前提错误大前提错误
3、 推理形式错误推理形式错误 (2)(2)整数是自然数，整数是自然数， - -3 3是整数，是整数， - -3 3是自然数是自然数. . (4)(4)自然数是整数，自然数是整数， 3 3是整数，是整数， 3 3是自然数是自然数. . (3)(3)自然数是整数，自然数是整数， - -3 3是自然数，是自然数， - -3 3是整数是整数. . 小前提错误小前提错误 因为二次函数的图象是一条抛物线因为二次函数的图象是一条抛物线, , 例例1 1完成下面的推理过程完成下面的推理过程 “二次函数二次函数y=x2 + x + 1的图象是的图象是 .” 函数函数y = x2 + x + 1是二次函数是二次函数
4、, , 所以所以函数函数y = x2 + x + 1的图象是的图象是 一条抛物线一条抛物线. . 大前提大前提 小前提小前提 结结 论论 解：解： 一条抛物线一条抛物线 P S 试将其恢复成完整的三段论试将其恢复成完整的三段论 M 例例2 2 利用三段论证明：函数利用三段论证明：函数 f (x)=x22 x在在( (- -,1),1)是是 增函数增函数. . 所以所以函数函数f (x)=x22 x在在( (- -,1),1)是增函数是增函数. . 证明：证明：若若满足对于任意满足对于任意x D, 有有 f/ / (x) 0成成 立立,则函数则函数f(x) 是区间是区间D上的增函数上的增函数.
5、大前提大前提 小前提小前提 结论结论 f /(x)=-2x+2= -2(x-1) 因为因为 x1 所以所以loga(a+1)logaa=1 又因为又因为a+12 所以所以 log(a+1)alog(a+1)a 例例3.求证：当求证：当a1时，有时，有loga(a+1)log(a+1)a 在这个证明过程中，关键的步骤是：在这个证明过程中，关键的步骤是：loga(a+1)1 log(a+1)a1时，时，f(x)=x3(x21)+x(x1)+10， 综上所述，函数综上所述，函数f(x)的值恒为正数。的值恒为正数。 例例4证明函数证明函数f(x)=x6x3+x2x+1的值的值 恒为正数。恒为正数。 在
6、这个证明中，对在这个证明中，对x的所有可能的取值的所有可能的取值 都给出了都给出了f(x)为正数的证明，所以断定为正数的证明，所以断定f(x) 恒为正数。恒为正数。 又如对所有的又如对所有的n (3n10)边形，证明边形，证明n边边 形的内角和为形的内角和为(n2)，就是，就是完全归纳证明完全归纳证明。 这种把这种把所有情况所有情况都都考虑在内考虑在内的演绎推理的演绎推理 规则叫做规则叫做完全归纳推理完全归纳推理。 4.完全归纳推理完全归纳推理 合情推理与演绎推理的区别合情推理与演绎推理的区别 区区 别别 推理推理 形式形式 推理推理 结论结论 联系联系 合情推理合情推理 归纳推理归纳推理 类
7、比推理类比推理 由由部分到整体部分到整体, ,特特 殊到一般殊到一般的推理的推理 由由特殊到特殊特殊到特殊的的 推理推理 结论不一定正确，有待进一结论不一定正确，有待进一 步证明步证明 演绎推理演绎推理 由由一般到特殊一般到特殊的的 推理推理 在前提和推理形在前提和推理形 式都正确时式都正确时, ,得到得到 的结论一定正确的结论一定正确 合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的 练习练习2. 1.下列推理的两个步骤分别遵循哪种推理规则？下列推理的两个步骤分别遵循哪种推理规则
8、？ 因为因为ABCD 所以所以12 又因为又因为23 所以所以13 D B C A 3 2 1 2.已知函数已知函数 证明：函数证明：函数f(x)0恒成立恒成立 1( 4710 xxxxxf） 五、回顾小结：五、回顾小结： 演绎推理概念演绎推理概念; ; 1. 2. 合情推理与演绎推理的区别与联系合情推理与演绎推理的区别与联系. . 演绎推理常用的推理演绎推理常用的推理三段论三段论. . 3.3.演绎推理错误的主要原因是：演绎推理错误的主要原因是： 大前提不成立；大前提不成立； 小前提不符合大前提的条件；小前提不符合大前提的条件； 推理形式错误推理形式错误 演绎推理演绎推理 是证明数学结论、建立数学体系的重要是证明数学结论、建立数学体系的重要 思维过程思维过程但数学结论、证明思路等的发现，但数学结论、证明思路等的发现， 主要靠主要靠合情推理合情推理因此，我们不仅要因此，我们不仅要学会证明学会证明， 也要也要学会猜想学会猜想 4.
