1、2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 第1课时 综合法 有趣的数学证明引人入胜有趣的数学证明引人入胜 推 理 合情推理 （或然性推理） 演绎推理 （必然性推理） 归纳 (特殊到一般） 类比 （特殊到特殊） 三段论 （一般到特殊） 合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格 证明的工具证明的工具. . 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的. .今今 天，我们就来认识一些基本的证明方法天，我们就来认识一些基本的证明方法 1.1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两结合已经学过的数学实例，了解
2、直接证明的两 种基本方法之一的综合法种基本方法之一的综合法. . （重点）（重点） 2.2.了解综合法的思考过程、特点了解综合法的思考过程、特点. . （难点）（难点） 探究点探究点1 1 综合法的含义综合法的含义 引例引例: :已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc)4abc 因为因为b2+c2 2bc,a0 所以所以a(b2+c2)2abc. 又因为又因为c2+a2 2ac,b0 所以所以b(c2+a2) 2abc. 因此因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc. 证明证明: : 一般地，利用已知条件
3、和某些数学定义、定理、一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、 公理等公理等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推导出所要证明最后推导出所要证明 的结论成立的结论成立, ,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法综合法. . 用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. . 则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为: : 1 1 PQPQ 1212 QQQQ 2323 QQQQ n n QQQQ 以下命题中以下命题中, ,正确的是正确的是( ( ) ) A.A.综合法是执果索因的逆推法
4、综合法是执果索因的逆推法 B.B.综合法是由因导果的顺推法综合法是由因导果的顺推法 C.C.综合法是因果互推的两头凑法综合法是因果互推的两头凑法 D.D.综合法就是举反例综合法就是举反例 B B 【即时训练即时训练】 例例1:如图所示如图所示,ABC在平面在平面外外, 求证求证:P,Q,R三点共线三点共线. .,RA CQB CPA B A A B B C C P P Q Q R R 探究点探究点2 利用综合法进行证明利用综合法进行证明 分析：分析：本例的条件表明，本例的条件表明，P,Q,RP,Q,R三点既在平面三点既在平面 内，又在平面内，又在平面ABCABC内，所以可以利用两个相交平面内，
5、所以可以利用两个相交平面 的公理证明的公理证明. . 因因为为ABAB = P= P，BCBC = Q= Q，ACAC = R= R 所所以以P P，Q Q，R R P PABAB，Q QBCBC，R R 证证明明： AC.AC. （1） （2） 由 由 （ （ 2 2 ） ） 得 得 P P ， ， Q Q ， ， R R 平 平 面 面 A B CA B C 因因 此此 P P ， Q Q ， R R 是是 平平 面面 A B CA B C 与与 平平 面面 的的 公公 共共 点点 . . 因因为为两两平平面面相相交交有有且且只只有有一一条条交交线线，所所以以 P P，Q Q，R R三三点
6、点在在平平面面ABCABC与与平平面面 的的交交线线上上， 即即P P，Q Q，R R三三点点共共线线. . 平面内有四边形平面内有四边形ABCDABCD和点和点O, O, 则四则四 边形边形ABCDABCD为为( ( ) ) A.A.菱形菱形 B.B.梯形梯形 C.C.矩形矩形 D.D.平行四边形平行四边形 OAOCOB OD D D 【即时训练即时训练】 222222 ABCABC 例例2 2在在 ABCABC中中, ,设设CB = a,CA = b,CB = a,CA = b, 1 1 求求证证:S=|a|b| -(a b):S=|a|b| -(a b) 2 2 2 , ,. 1 cos
7、sin. 2 sin1 cos. ABC CBa CAbABC CBa CAbCab a ba bCSa bC CC 由条件可得中 角 为向量 与 的夹角于是可以 想到和利用 经适当转化就可 析： 以获得结论 分 证明：证明： ABC 1b Sb sinC cosC 2 b r r r r r r因为， a a a 22 22 22 2 2 22 2 22 1 4 1 1 4 1 1 4 1 4 sin cos ) () ABC SC C 所所以以 （） （ ab ab a b ab a b aba b 22 2 ABC 1 Sb(b) 2 rrr r 于是aa 求证：求证：a a2 2+b+
8、b2 2+3ab+ (a+b).+3ab+ (a+b). 【证明证明】因为因为a a2 2+b+b2 22ab,a2ab,a2 2+32 a,+32 a, b b2 2+32 b,+32 b, 将此三式相加得将此三式相加得2(a2(a2 2+b+b2 2+3)2ab+2 a+2 b,+3)2ab+2 a+2 b, 所以所以a a2 2+b+b2 2+3ab+ (a+b).+3ab+ (a+b). 3 3 3 33 3 【变式练习变式练习】 例例3 在中，三个内角，对应的边在中，三个内角，对应的边 分别为分别为a ，b ，c，且，成等差数列，且，成等差数列，a ， b ， c成等比数列，求证为等
9、边三角形成等比数列，求证为等边三角形 分析：分析：将将A,B,CA,B,C成等差数列，转化为符号语言就是成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C2B=A+C；a,b,ca,b,c成等比数列，转化为符号语言就是成等比数列，转化为符号语言就是b b2 2 =ac.A,B,C=ac.A,B,C为为ABCABC的内角，这是一个隐含条件，明的内角，这是一个隐含条件，明 确表示出来是确表示出来是A+B+C=A+B+C=. .此时，如果能把角和边统一此时，如果能把角和边统一 起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系， 进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要
10、求进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求. .于于 是，可以用余弦定理为工具进行证明是，可以用余弦定理为工具进行证明. . 证明：证明： 由由A A，B B，C C成等差数列，有成等差数列，有 2B=A+C 2B=A+C CBA ABCCBA 的内角，所以为，因为 由，得由，得 3 B 由由a a，b b，c c成等比数列，有成等比数列，有 acb 2 由余弦定理及，可得由余弦定理及，可得 a ccaBa ccab 22222 c o s2 再由，得再由，得 因此因此 a=ca=c 从而有从而有 A=C A=C 由，得由，得 3 CBA 所所 以以为为 等等 边边 三三 角角 形形 .AB
11、C 即即 0)( 2 ca 0 222 ）即 （caacacca 【提升总结提升总结】 解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如 把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成 图形语言等图形语言等. .还要通过细致的分析，把其中的隐含还要通过细致的分析，把其中的隐含 条件明确表示出来条件明确表示出来. . (2015(2015烟台高二检测烟台高二检测) )已知已知a,b,ca,b,c均为正实数均为正实数, ,且且 a+b+c=1.a+b+c=1. 求证：求证：( ( - -1)( 1)( - -1)( 1)(
12、- -1)8.1)8. 1 a 1 b 1 c 【变式练习变式练习】 【证明证明】因为因为a,b,ca,b,c均为正实数均为正实数, ,且且a+b+c=1,a+b+c=1, 所以所以 故故 111 (1)(1)(1) abc abc a abcb abc c abc bc ac abbcacab 2228. abcabc 111 (1)(1)(1)8. abc 1.1.设设mn,x=mmn,x=m4 4- -m m3 3n,y=nn,y=n3 3m m- -n n4 4, ,则则x x与与y y的大小关系的大小关系 为为( ( ) ) A.xy B.x=yA.xy B.x=y C.x0,S9
13、90. S S9 9= =9a= =9a5 50.0. 所以所以S S5 5最小最小. . 19 9(aa ) 2 S S5 5 6. 如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P- -ABCD 中，中，PA底面底面 ABCD，ABAD， ACCD，ABC60 ， PAABBC，E 是是 PC 的中点的中点 (1)证明：证明：CDAE. (2)证明：证明：PD平面平面 ABE. 证明证明 (1)在四棱锥在四棱锥P- -ABCD中中， 因为因为PA底面底面ABCD，CD 平面平面ABCD，故故PACD. 因为因为ACCD，PAACA，所以所以CD平面平面PAC， 而而AE 平面平面PAC，所以所以CDAE.
14、 (2)由由PAABBC，ABC60，可得可得ACPA， 因为因为E是是PC的中点的中点，所以所以AEPC. 由由(1)知知，AECD， 且且PCCDC，所以所以AE平面平面PCD. 而而PD 平面平面PCD，所以所以AEPD， 因为因为PA底面底面ABCD， 所以所以PAAB 又因为又因为ABAD， 所以所以AB平面平面PAD 所以所以ABPD， 又因为又因为ABAEA， 综上得综上得PD平面平面ABE. PAADA 综合法用框图表示为综合法用框图表示为: : n n QQQQ 1 1 PQPQ 1212 QQQQ 2323 QQQQ 拥有了太多反而是负担。只拥有一块手表的 人知道现在几点，一个拥有两块手表的人却很难 确定现在的准确时间.
