1、 20142014 年河南省高中数学优质课大赛年河南省高中数学优质课大赛 人教人教 A A 版版 选修选修 1 1- -1 1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 教学设计教学设计 鹤壁高中鹤壁高中 乔肖燕乔肖燕 20142014 年年 1414 月月 课题：双曲线及其标准方程课题：双曲线及其标准方程 授课人：河南省鹤壁市鹤壁高中 乔肖燕 2014 年 4 月 【教材内容分析】 本节课是高中数学选修 1-1 第二章第二节第一课时的内容， 前面有椭圆知识 及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆 锥曲线中，双曲线是最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于
2、学 生理解和掌握. 【学情分析】 知识结构分析： 学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方 程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以 双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区 别和联系. 能力体系分析： 本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学 过程中在培养学生逻辑推理能力、 转化与划归能力的同时需着重关注学生的运算 能力. 【教学目标】 通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义； 通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程； 通过对双曲线概念和标准方
3、程的探索，培养学生的观察和分析能力，激发学 生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣. 【教学重点】 双曲线的定义； 双曲线标准方程的两种形式. 【教学难点】 双曲线标准方程的推导方法及化简过程. 【教具准备】 多媒体投影仪，几何画板动画 【教学方法】 采用启发、探究式教学. 【教学环节】 教 学 环 节 教学内容 师生活动 设计意图 (一) 创 设 情 境 ， 感 知 图 形 回顾初中时学 习过的反比例函 数的图像； 观察电厂的冷 却塔图片， 它的轴 截面的外轮廓就 是双曲线的一部 分. 教师引入， 学生回忆初中所学 内容； 多媒体展示图片，学生观察， 实物感知双曲线的形状. 教师
4、引入课题， 告知学生本节 课的学习目标、学习重点和学习 难点.这一段可由一名学生代表 阅读. 通过学生熟 悉的知识以及 生活中的实例 让学生感知双 曲线的形状， 这样的两个例 子简单、生动， 学 生 易 于 接 受. (二) 动 画 演 示 ， 引 入 定 义 双曲线是如何 形成的？可以如 何给双曲线下定 义？借助经典的 拉链动画， 引导学 生总结动点在运 动过程中的特征， 从而引入双曲线 的定义. 教师手动演示双曲线的形成过 程，先演示靠近 2 F的一支，由学 生总结动点特征: . 21 常数 MFMF 并解释为什么有这样的特征: 随着拉链的闭拢和拉开，两条线 段减小或增加的量相等，所以差
5、值始终是同一个常数. 再演示靠近 1 F的那一支，仍 然由学生总结特征: . 12 常数 MFMF 接着， 强调以上两个常数是相 等的，两支曲线合在一起叫做双 曲线，引导学生把两个式子合二 为一:. 21 常数 MFMF 并把数学式子转化成自然语 言，概述双曲线的定义：平面内 到两个定点的距离的差的绝对值 等于常数的点的轨迹叫做双曲 线.(此处暂时不说常数的范围.) 充分调动学 生的积极性， 突出学生的主 体地位，并且 通过总结特征 提高学生的语 言表达能力， 对图形的认知 能力. 学生概述定 义时往往会漏 掉 常 数 的 范 围，这个问题 暂时保留，下 一个环节来解 决。 保留常数的 范 围
6、 这 一 问 题，由学生自 己发现，方能 印 象 更 加 深 刻. 教 学 环 节 教学内容 师生活动 设计意图 (三) 剖 析 定 义 ， 夯 实 基 础 剖析定义中的要点： “平面内”三个 字容易漏掉，去掉后 不严谨； 由 学 生 发 现 “绝对值”三个字的 重要性； 常数是不是像 椭圆中一样有范围限 制？如果有的话，是 什么？为什么？ 刚才给出定义时 没有加上常数的范 围， 定义叙述不完整， 所以现在要对定义进 行补充，确保定义的 严谨性.最终双曲线 的定义为： 平面内到两个定 点 21 FF、的距离的差 的绝对值等于常数 （小于 21F F）的点的 轨迹叫做双曲线.两 个定点叫做双曲线
7、的 焦点，两焦点间的距 离叫做双曲线的焦 距.通常情况下， 焦距 用c2表示，常数用 a2表示， 显然这里有 . 022 ac 第一点教师做提醒； 第二点要点拨学生去掉 “绝 对值” 三个字后点的轨迹会是 什么， 学生慎重考虑后应该能 够找到正确答案:去掉绝对值 后轨迹变成了双曲线的一支. 之后教师提醒学生做题时需 注意这一点； 第三点由学生分组去讨论， 然后派代表说明本组的讨论 结果，直至解决问题,得到结 论： 常数等于 21F F时，点的 轨迹是直线 21F F上以 21 FF、 为端点向外的两条射线； 常数大于 21F F时，点的 轨迹不存在； 常数等于 0 时， 点的轨迹 是线段 21
8、F F的垂直平分线. 以双曲线和椭圆作比较， 两 类曲线中a和c的大小关系不 同， 在椭圆中，, 0 ca而在 双曲线中，. 0ac要提醒学 生注意. 学生的表达 往往不严谨， “平面内”这 三个字是很容 易被忽略的， 所以教师要强 调.第二点学 生略作思考， 就能够意识到 这三个字的重 要性；第三点 对学生而言最 为困难，如果 强 硬 给 出 的 话，学生被动 接受，不利于 学生的理解和 掌握，所以我 采取小组讨论 的做法，由学 生自己得出范 围，加深学生 对 范 围 的 理 解. (四) 类 比 椭 圆 ， 推 导 方 程 回顾椭圆的标准方 程的推导步骤，推导 双曲线的标准方程. 标准方程
9、为 其中.,00ba 椭圆的标准方程有 两种，双曲线的方程 在推导时也可以换一 种建系方式，得到另 一种形式的方程： . 1 2 2 2 2 b x a y 其 中.,00ba 两种形式的标准方 程，应该如何判断焦 点所在轴？ 学生思考并做答： 在等式右边是 1 或其 它正常数时，焦点在 系数为正数的轴上. 这与椭圆判断焦点所 在轴的方法也不一 样，同样要给学生强 调. 学生刚刚学习过椭圆， 对椭 圆的标准方程的推导过程印 象比较深刻， 用同样的步骤推 导双曲线的标准方程： 建系 以直线 21F F为x轴，线段 21F F的垂直平分线为y轴建 立平面直角坐标系. 设点 设双曲线上任意一点M坐
10、标为),(yx，焦距为, c2则 ).,(),(00 21 cFcF 常 数 记 为 a2. 写出限制条件 .2 21 aMFMF 列出等式 .)()(ayaxyax2 2222 化简这一步由学生自己 动手完成， 并且找一个学生演 板，最终化简为 像椭圆一样，为了使双曲 线方程的形式更加简洁， 结合 , 0 ac可设, 222 bac其 中0b(意义讲性质时再涉 及).于是双曲线的方程可化 为. 1 2 2 2 2 b y a x 这就是焦点在 x轴上的双曲线的标准方程， 焦点坐标为).,(),(00 21 cFcF 双曲线与椭圆标准方程中 cba、的关系不同，要给学 生强调， 这也是今后在做
11、题过 程中学生易混淆的地方. 培养学生的 运算能力. 通 过 双 曲 线与椭圆的对 比，学生可以 加深对两种曲 线的理解. 1 22 2 2 2 ac y a x .1 2 2 2 2 b y a x (五) 例 题 讲 解 ， 学 以 致 用 例 1、已知双曲线 的焦点),(05 1 F 2 F ),( 05双曲线上一点 到两焦点的距离之差 的绝对值等于 8，求 双曲线的标准方程. 对例题的条件进行 修改，得到如下三个 变式训练： 1、已知),(50 1 F 2 F ),( 50动点P满足 . 8 21 PFPF求点 P的轨迹方程. 2、已知),(05 1 F 2 F ),( 05动 点P满
12、 足 . 8 21 PFPF求点 P的轨迹方程. 3、已知),(05 1 F 2 F ),( 05动点P满足 .10 21 PFPF求 点P的轨迹方程. 例 2、 已知双曲线 的焦点),(60 1 F 2 F ),( 60且经过点M ).,(52 求双曲线的标 准方程. 例 1 难度系数不大，给学 生适当的时间，自己去做， 一般情况下学生会在练习本 上直接写出本题的正确答 案，所以教师要通过投影给 出规范的解题步骤. 三个变式均是对定义的考 查，如果学生对定义中的要 点理解到位，就可以顺利地 把三个变式求解出来. 教师要强调双曲线的一支 方程和变式训练 3 中两条射 线的方程应如何表示，这是
13、易错点. 例 2 较之例 1 难度略大， 计算量也稍大，所以要给学 生充分的思考时间.这道题 由两个学生演板，一般情况 下学生会利用6c和双曲线 过点),(52 M列方程求解， 这 一方法思路自然，运算较繁； 有些数学程度较好并且善于 思考的同学会想到利用定义 求出, 21 MFMF即a2， 再利用6c即可求出, b从而 双曲线的方程得以求出，这 一方法相对来讲计算量较 小，而且紧扣本节课的学习 重点.要给学生强调定义的 重要性. 本节课的重点 就是双曲线的定 义及标准方程，而 定义中的要点一 是绝对值，二是常 数的范围，设计例 1 就是要使学生正 确把握定义，正确 理解定义. 例 2 让学生
14、演 板，体现了学生在 课堂上的主体作 用，两种方法的对 比会让学生明白 解题时技巧的重 要性，从而引导学 生在日常学习中 一定要多动脑思 考，不止为做题而 做题，一道题目有 多种解法时，可权 衡一下哪一种解 法更有利于节省 时间，提高效率. (六) 课 堂 练 习 ， 沙 场 练 兵 1、 已知双曲线的焦 点 在 坐 标 轴 上 ， .,37ba则双曲线 的标准方程为 . 2 、 过 双 曲 线 1 34 22 yx 左 焦 点 1 F的直线交双曲线 的左支于NM、两 点， 2 F为其右焦点， MNNFMF 22 的值等于 . 3、 在ABC中，B ),(),(0404C动 点 A满足CB s
15、insin .sin A 2 1 则动点A 的轨迹方程为 . 教师通过投影打出三道题 目，学生自己审题，动手计 算.然后教师提问学生回答 自己计算得到的答案: 1、1 949 22 yx 或 . 1 949 22 xy 2、8. 3、).(21 124 22 x yx 学生动手去做， 通过学生的做题 状况教师能够看 出学生对本节课 知识点的掌握情 况，三道练习题由 浅入深，层层深 入，使学生体会到 学习的快乐和收 获. 第 3 题稍有难 度，用到了正弦定 理，有些学生可能 会不明白为什么 要有, 2x这一点 涉及到双曲线的 性质，正好为学习 双曲线的性质做 铺垫. (七) 课 堂 小 结 ，
16、整 理 收 获 请同学们回顾本节 课我们所学习的主要 内容. 由学生自己总结本节课的 收获： 双曲线的定义； 双曲线的标准方程的两 种形式； 双曲线标准方程的求解 方法. 学生叙述不完整或不准确 的地方，教师予以补充或纠 正，同时提醒学生要牢记定 义. 学生总结，加深 理解，印象深刻， 形成学生自己的 认知结构.突出重 点，抓住关键，培 养学生的概括能 力. (八) 课 后 作 业 ， 及 时 反 馈 课本第 48 页练习 1、2； 课本第 54 页习题 2.2A 组 1、2； 自己动手制作表 格，列出椭圆与双曲 线的区别和联系. 课下独立完成，同学之间交流 检验学生课内 的掌握情况，并让 学
17、生明白，学习不 仅仅是课堂上的 事，课下的时间自 己要合理支配，科 学安排. 附： 板 书 设 计 投 影 仪 大 屏 幕 双曲线及其标准方程 一、双曲线的定义 学生演板： . 21 常数 MFMF 双曲线标准方程的推导 . 12 常数 MFMF 即. 21 常数 MFMF 学生演板 （两名学生） ： 二、双曲线的标准方程 例 2 的求解过程 . 1 2 2 2 2 b x a y 其中，.,00ba 【教后心得】 本章教材中的设计与老教材基本上没有太大变化，可以说，任何一个有几年 教龄的高中教师，对本节课都是比较熟悉的，可是，要想讲好这堂课，还是需要 花费很大功夫.本节课我自认为有可取之处，
18、简述如下： 课堂效果不错，学生热情高涨，能积极主动地思考并回答问题，和老师配 合得很好； 在讲解定义的过程中，我采用了暂时保留常数取值范围的做法，由学生自 己讨论得出， 而并非教师生硬的给出， 学生被动接受， 这样学生的学习效果更好； 问题的设计环环相扣， 吸引学生动脑思考； 例题基本上全靠学生动手去做， 学生在自己解决问题的过程中能够发现问题，及时解决，充分体现了学生在课堂 上的主体作用. 当然，这节课肯定有不足之处，希望能得到各位前辈的指点，我会在探索中 逐渐成长，在成长中不断进步，完善自己，为河南省乃至全国的教育事业贡献绵 薄之力！最后，感谢各位评委耐心地读完我的教学设计，谢谢！你们辛苦了！ .1 2 2 2 2 b y a x
