1、现代工程制图现代工程制图第第3章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影3.1 投影的基本知识投影的基本知识投影：某物体（或点）投射到另一物体上的影象。一、中心投影法二、平行投影法斜投影正投影平行投影（平行光源）中心投影（点光源）根据光源不同分为2022-11-26现代工程制图现代工程制图中心投影法 投射线都从投射中心出发。用来绘制透视图。图1-1 中心投影法2022-11-26现代工程制图现代工程制图平行投影法 投射线互相平行图1-2 平行投影法2022-11-26现代工程制图现代工程制图多面正投影图轴测投影图透视投影图标高投影图多面正投影图采用互相垂直的两个或两个以上的投影面，使用正投
2、影法，将空间点、线、面及其相互关系投影到这些投影面上，并由这些投影共同确定这些空间点、线、面及其相互关系。度量性好，直观性差度量性好，直观性差工程中常用的四种投影图图3-4 三面投影图2022-11-26现代工程制图现代工程制图多面正投影图轴测投影图透视投影图标高投影图采用平行投影法将空间的几何体连同其所在的直角坐标系一并投影到一个选定的投影面上，使其投影能同时呈现物体的三维形状或三维尺度。立体感强，沿轴立体感强，沿轴向具有度量性。向具有度量性。工程中常用的四种投影图图3-5 轴测投影及轴测投影图2022-11-26现代工程制图现代工程制图多面正投影图轴测投影图透视投影图标高投影图采用中心投影
3、法将空间的几何体投影到一个选定的投影面上得到的一种简单投影图。符合视觉习惯，符合视觉习惯，直观性好，立体感强。直观性好，立体感强。工程中常用的四种投影图图3-6 用透视投影作的建筑物效果图 2022-11-26现代工程制图现代工程制图多面正投影图轴测投影图透视投影图标高投影图采用正投影法得到空间点、线、面的投影后，再在投影图上用数字标出它们对投影面的距离，以确定它们之间的几何关系。常用于表示不规则曲面。常用于表示不规则曲面。工程中常用的四种投影图图3-7 地形标高投影图2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.2 点的投影点的二面投影及其投影规律点的二面投影及其投影规律投影轴图3-8 二
4、投影面体系一、二投影面体系一、二投影面体系 二投影面体系由直立的投影面和与之相垂直的水平投影面组成。V面、H面 、个分角2022-11-26现代工程制图现代工程制图二、点在二面投影体系第一分角中的投影二、点在二面投影体系第一分角中的投影点在两投影面体系中的投影规律点在两投影面体系中的投影规律(1)点的投影连线垂直于投影轴(2)点的投影与投影轴的距离等于该点与相邻投影面的距离图3-9 点的二面投影及其投影规律2022-11-26现代工程制图现代工程制图不同分角内的点的投影特性分角：正面投影a在OX的上方，水平投影a在OX的下方。分角：正面投影b和水平投影b同在OX的上方。分角：正面投影c在OX的
5、下方，水平投影c在OX的上方。分角：正面投影d和水平投影d同在OX的下方。2022-11-26现代工程制图现代工程制图点在三面投影体系第一卦角中的投影点在三面投影体系第一卦角中的投影一、三投影面体系一、三投影面体系V面、H面、W面、个卦角图3-10 三投影面体系2022-11-26现代工程制图现代工程制图二、点的三面投影及投影规律二、点的三面投影及投影规律点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律(1)点的投影连线垂直于投影轴(2)点的投影到投影轴的距离等于点的相应坐标。投影轴投影连线图3-11 第一卦角内点的投影2022-11-26现代工程制图现代工程制图例：根据点的三面投影图
6、，见图（例：根据点的三面投影图，见图（a a），），作该点的立体图。作该点的立体图。（a）（b）（c）（d）2022-11-26现代工程制图现代工程制图两点间的相对位置两点间的相对位置前后上下左右后前2022-11-26现代工程制图现代工程制图重影点及其可见性重影点及其可见性 属于同一条投影线上的点，在该投影线所垂直的投影面上的投影重合为一点，空间的这些点，称为对该投影面的重影点。可见性判断：前遮后、上遮下、左遮右重影点与可见性2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.3 直线的投影直线的投影3.3.1 直线的投影直线的投影 过直线上各点的投射线形成的平面与投影面的交线为直线在该投影面上
7、的投影。直线上的点在某一投影面上的投影，一定在直线的相应投影上。不垂直于投影面的直线段上的点，分割直线段之比，在投影后仍保持不变。作图方法2022-11-26现代工程制图现代工程制图直线的投影可由属于该直线两点的投影来确定，据此可作出直线的相应投影；或者由属于直线的一点及该直线的方向的投影确定。图3-29 直线投影的画法2022-11-26现代工程制图现代工程制图读直线投影图：根据投影图中直线段两端点的上下、左右、前后相对位置关系，想象出该直线在三投影面体系中的空间位置。2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:如下图所示，作出分线段AB为3:2的点C的两面投影。2022-11-26现代
8、工程制图现代工程制图3.3.2 各种位置直线的投影各种位置直线的投影 (对投影面的相对位置对投影面的相对位置)直线对H、V、W的倾角H（）、V（）、W（）。（一）、一般位置直线的投影特点（二）、投影面平行线的投影特点（三）、投影面垂直线的投影特点面侧垂线：面铅垂线：面正垂线：另两投影面）某一投影面，且平行于投影面垂直线（垂直于面侧平线：面水平线：面正平线：于某一投影面）投影面平行线（只平行面均倾斜、一般位置直线：对直线WHVW/H/V/WHV2022-11-26现代工程制图现代工程制图一般位置直线的投影特点一般位置直线的投影特点三个投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的真长；投影与投影轴的夹角
9、，不反映直线对投影面的倾角。2022-11-26现代工程制图现代工程制图投影面平行线的投影特点（表3-1）正平线水平线立体图投影图投影特点1.abOX轴，abOZ轴2.ab=AB3.ab与OX轴和OZ轴的夹角分别反映H和W1abOX轴，abOYW轴2ab=AB3ab与OX轴和OYH轴的夹角分别反映V和W1 ab OZ轴 abOYH轴2 ab=AB3 ab 与OZ轴和OYW轴的夹角分别反映V和H侧平线2022-11-26现代工程制图现代工程制图(1)在平行的投影面上的投影，反映真长；它与投影轴的夹角，分别反映直线对另两投影面的真实倾角。(2)在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短
10、。投影面平行线的投影特点2022-11-26现代工程制图现代工程制图投影面垂直线的投影特点（表3-2）正垂线铅垂线立体图投影图投影特点1abOX轴，abOZ轴2ab积聚为一点3ab=ab=AB1 ab OX轴，ab OYW轴2ab积聚为一点3ab=ab=AB1ab OZ轴，abOYH轴2ab积聚为一点3ab=ab=AB侧垂线2022-11-26现代工程制图现代工程制图投影面垂直线的投影特点(1)与直线垂直的投影面上的投影，积聚成一点。(2)在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，反映真长。2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.3.3 求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾求一般
11、位置直线段的实长及其对投影面的倾角角直角三角形法是通过分析空间线段与其投影的几何关系，用图解的方法求出线段的真长及其对投影面的倾角。空间线段AB与水平投影ab构成一垂直于H面的平面ABba。过点A作AB0/ab，并交投影线Bb于点B0，则A B0B构成一直角三角形。在该直角三角形中，一直角边AB0=ab，另一直角边BB0=ZB-ZA（即两端点的Z坐标差），斜边即为线段AB的真长，AB与AB0的夹角 BAB0=H。设法作出这个三角形，(c)、(d)、(e)均可。同理，可作出V、W。2022-11-26现代工程制图现代工程制图直角三角形法作图的几何条件 在下述几何量配组关系中，只要知道其中的任意两
12、个便可求解其余的几何量。1.线段的实长、水平投影的长度、两端点的Z坐标差、H 2.线段的实长、正面投影的长度、两端点的Y坐标差、V3.线段的实长、侧面投影的长度、两端点的X坐标差、W倾角由反映实长的斜边与反映投影长度的直角边的夹角表示。2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:已知线段AC的投影，试求AC的实长及对V面的倾角V。见下图（a）。（a）例图 求线段实长及V （b）2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:已知线段AB上的点A的投影，点B在点A之右10mm，AB长30mm，且AB的H=45，求作该线段的投影。2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.3.4 直线上的
13、点直线上的点(从属关系从属关系)点属于直线的条件：1.点的各面投影必属于直线的同面投影。2.属于线段的点分线段的长度比等于其投影长度之比。可用这两个条件之一来判断某点是否属于某一直线。2022-11-26现代工程制图现代工程制图点不属于直线图3-22 判断点与直线的从属关系2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置平行、相交、交叉平行、相交、交叉2022-11-26现代工程制图现代工程制图 当两直线之一为投影面平行线时，可由两直线在该投影面上的投影配合另一投影进行判断。下图中，直线AB为侧平线。由侧面投影可以判断AB与CD不相交，见图（a）。AB、
14、CD两直线是否相交，也可以利用点分线段成定比的性质进行判断。图（b）中，ae ebae eb，即点E不属于直线AB，AB与CD没有共有点，故不相交。（a）判断两直线是否相交 （b）2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:判断下图所示两侧平线的相对位置。判断直线AB、CD的相对位置解法一解法二解法三2022-11-26现代工程制图现代工程制图判断图3-29中两直线的相对位置。（a）（b）（c）图3-29 2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:已知两直线AB、CD及点M的正面投影m，试通过点M作直线MN/CD并与直线AB相交。2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.3.6
15、 一边平行于投影面的直角的投影 相互垂直的两直线中，有一条直线平行于某投影面时，此两直线在该投影面上投影的夹角仍为直角。1.两直线垂直相交 2022-11-26现代工程制图现代工程制图2两直线垂直交叉 2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:已知点A及正平线CD的投影，试求点A至直线CD的距离，见下图(a)。（a）（b）2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:以线段BC（bcX轴）为一边作等边三角形ABC，使此三角形的高AD与V面所成的倾角V为30，见图（a）。本题有两组四解。图中仅作出了一解。2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.4 平面平面3.4.1 平面的表示法
16、3.4.2 各种位置平面的投影3.4.3 点、直线与平面的从属关系3.4.4 属于平面的最大斜度线现代工程制图现代工程制图3.4.1 平面的表示法一、几何元素表示2022-11-26现代工程制图现代工程制图二、迹线表示平面的迹线：平面与投影面的交线。是平面内所有直线的同面迹点的集合。迹线的作图2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.4.2 各种位置平面的投影 (对投影面的相对位置)面侧垂面：面铅垂面：面正垂面：于某一投影面）投影面垂直面（只垂直面侧平面：面水平面：面正平面：另两投影面）某一投影面，且垂直于投影面平行面（平行于面均倾斜、一般位置平面：对平面WHVWHVWHV/2022-1
17、1-26现代工程制图现代工程制图一、一般位置平面投影特性：三个投影都仍是平面图形，而且面积缩小。2022-11-26现代工程制图现代工程制图二、投影面垂直面投影特性：（1）在垂直的投影面上的投影积聚成直线；它与投影轴的夹角，分别反映平面对另两投影面的真实倾角。（2）在另外两个投影面上的投影仍为平面图形，且面积缩小。2022-11-26现代工程制图现代工程制图表3-3 投影面垂直面 正垂面（V，对H、W倾斜）铅垂面（H，对V、W倾斜）侧垂面（W，对V、H倾斜）立体图投影图投影特性1正面投影abcd积聚为一倾斜于投影轴OX、OZ的直线2水平投影abcd和侧面投影abcd具有类似性，仍为平面图形，面
18、积缩小；3正面投影abcd与OX轴、OZ轴的夹角分别反映H和W 1水平投影abcd积聚为一倾斜于投影轴OX、OYH的直线2正面投影abcd和侧面投影abcd具有类似性，仍为平面图形，面积缩小；3水平投影abcd与OX轴、OYH轴的夹角分别反映V和W 1侧面投影abcd积聚为一倾斜于投影轴OZ、OYW的直线2正面投影abcd和水平投影abcd具有类似性，仍为平面图形，面积缩小；3侧面投影abcd与OZ轴、OYW轴的夹角分别反映V和H 2022-11-26现代工程制图现代工程制图处于投影面垂直面位置的迹线平面的投影特性（1）在垂直的投影面上的迹线有积聚性；它与投影轴的夹角分别反映平面对另两投影面的
19、真实倾角。（2）在另外两个投影面上的迹线分别垂直于相应的投影轴。2022-11-26现代工程制图现代工程制图正垂面（V，对H、W倾斜）铅垂面（H，对V、W倾斜）侧垂面（W，对V、H倾斜）立体图投影图投影特性1正面迹线V有积聚性，为一倾斜于投影轴OX、OZ的直线，与OX轴、OZ轴的夹角分别反映H和W 2水平迹线PHOX轴，侧面迹线PWOZ轴1水平迹线H有积聚性，为一倾斜于投影轴OX、OYH的直线，与OX轴、OYH轴的夹角分别反映V和W 2正面迹线PVOX轴，侧面迹线PWOYW轴1侧面迹线W有积聚性，为一倾斜于投影轴OZ、OYW的直线与OZ轴、OYW轴的夹角分别反映V和H 2正面迹线PVOZ轴，水
20、平迹线PHOYH轴处于投影面垂直面位置的迹线平面2022-11-26现代工程制图现代工程制图三、投影面平行面投影特性：（1）在平行的投影面上的投影反映真形；（2）在另外两个投影面上的投影，分别积聚成直线并平行于相应的投影轴。2022-11-26现代工程制图现代工程制图表3-4 投影面平行面正平面（V）水平面（H）侧平面（W）立体图投影图投影特性1水平投影abcd有积聚性，且平行于OX轴2侧面投影abcd有积聚性，且平行于OZ轴3正面投影abcd反映实形，无正面迹线 1正面投影abcd有积聚性，且平行于OX轴2侧面投影abcd有积聚性，且平行于OYW轴3水平投影abcd反映实形，无水平迹线 1正
21、面投影abcd有积聚性，且平行于OZ轴2水平投影abcd有积聚性，且平行于OYH轴3侧面投影abcd反映实形，无侧面迹线 2022-11-26现代工程制图现代工程制图正平面（V）水平面（H）侧平面（W）立体图投影图投影特性1无正面迹线2水平迹线H和侧面迹线PW有积聚性，且H平行于OX轴，PW平行于OZ轴1无水平迹线2正面迹线V和侧面迹线PW有积聚性，且V平行于OX轴，PW平行于OYW 轴1无侧面迹线2正面迹线V和水平迹线PH有积聚性，且V平行于OZ 轴，PH平行于OYH轴处于投影面平行面位置的迹线平面2022-11-26现代工程制图现代工程制图处于投影面平行面位置的迹线平面的投影特性（1）在平
22、行的投影面上的无迹线。（2）在另外两个投影面上的迹线有积聚性，且平行于相应的投影轴。2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.4.3 点、直线与平面的从属关系一、属于平面的点和直线点和直线在平面上的几何条件：（1）点在平面上，则该点必定在属于这个平面的一条直线上；（2）直线在平面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者通过这个平面上的一个点，且平行于这个平面上的另一条直线。abcdXOadbcabcdXOadbcabcdXOadbceeee2022-11-26现代工程制图现代工程制图如果平面为投影面垂直面，属于该平面的任何直线和点，必有一个投影与该平面的有积聚性的同面投影或同面迹线重
23、合。2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:判断点和直线是否属于已知的平面。图3-38 点、直线属于特殊位置平面的判断 图3-39 点、直线属于一般位置平面的判断 2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:判断A、B、C、D是否属于同一平面？2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:点K属于平面ABC，已知点K的水平投影k，求其正面投影k，见图3-41（a）。（a）图3-41 （b）2022-11-26现代工程制图现代工程制图二、包含点或直线作平面二、包含点或直线作平面1.包含直线作特殊位置的平面迹线表示abbaXPHPXPVabbaXccabbaXcc几何元素表示2.包含
24、直线作一般位置的平面abaXbPH2022-11-26现代工程制图现代工程制图三、属于平面的特殊直线三、属于平面的特殊直线 属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线 属于平面的投影面平行线有很多条，它们互相平行。abbaXccabbaXccdelldeldeedl正平线水平线2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:判断点D是否在ABC上?2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:已知ABCD的两面投影，在其上取一点K，使点K在H面之上10mm，在V面之前15mm。2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.5 直线与平面、平面与平面间的相对位置直线与平面、平面与平面间的相
25、对位置3.5.1 平行 一、直线与平面平行一、直线与平面平行 1.几何条件几何条件 若直线平行于平面内一直线，则直线与该平若直线平行于平面内一直线，则直线与该平面平行。面平行。如图3-43所示，直线AB平行于平面P内一直线CD，则直线AB平行于平面P；反之，若平面内一直线平行于平面外的直线，则平面与该直线平行。直线与平面、平面与平面的相对位置是指它们之间平行、相交和垂直三种情况。2022-11-26现代工程制图现代工程制图2.投影作图投影作图 1）作直线平行于平面过点K作KLAD，则直线KL（kl，kl）平行于平面ABC，见下图（a）。2022-11-26现代工程制图现代工程制图2）作平面平行
26、于定直线 过点K作平面KLM平行于直线AB，见下图（a）。2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.直线与平面平行的判断直线与平面平行的判断 判断直线与平面或平面与直线是否平行的依据，是在投影图中能否找到直线与平面相互平行的几何条件，能则平行；否则不平行。由图中，虽然有acde，abde，但是不具备ACDE（acde，acde），或ABDE（abde，abde）的几何条件，故直线DE与平面ABC不平行。2022-11-26现代工程制图现代工程制图二、两平面相互平行二、两平面相互平行 1几何条件几何条件 若属于一平面的相交二直线对应平行属于另一平面的相交二直线，则此二平面相互平行。如下图（
27、a）所示。平面P的相交二直线AB、AC对应平行于平面Q的相交二直线DE、DF，则平面PQ。2022-11-26现代工程制图现代工程制图垂直于同一投影面的两平面平行的投影特点 两平面有积聚性的同面投影相互平行。2022-11-26现代工程制图现代工程制图2投影作图投影作图过点D作平面DEF平行于平面ABC，如下图（b）所示。（a）（b）（c）图4-52022-11-26现代工程制图现代工程制图例例:过点K（k，k）作平面平行于已知平面（ABCD），见下图（a）。（a）（b）（c）图4-62022-11-26现代工程制图现代工程制图3两平面平行的判断两平面平行的判断 根据平面与平面平行的几何条件，
28、即可判断两平面是否平行。凡在两平面内能作出一对对应平行的相交二直线，则此二平面平行，否则不平行。如下图（a）所示，ABC面内相交的正平线和水平线对应平行于DEF面内相交的正平线和水平线，故ABCDEF。2022-11-26现代工程制图现代工程制图3.5.2 相交 直线与平面不平行必相交，平面与平面不平行也必相交。直线与平面相交会产生交点，交点既属于直线又属于平面，即为相交的直线与平面的共有点；相交两平面的交线为直线，该直线既属于甲平面又属于乙平面，即是相交平面的共有线。当视相交的直线、平面为有限范围，需要对相交要素投影重叠区域进行可见性判断的时候，交点是直线投影可见与不可见的分界点；交线是平面
29、投影可见与不可见的分界线。2022-11-26现代工程制图现代工程制图一、一般位置直线与特殊位置平面相交一、一般位置直线与特殊位置平面相交 特殊位置平面的一个投影有积聚性，交点的一个投影也随之重合在该平面有积聚性的投影上，而交点的其余投影可通过作属于直线的点的方法求取。2022-11-26现代工程制图现代工程制图二、特殊位置直线与一般位置平面相交二、特殊位置直线与一般位置平面相交 特殊位置直线（投影面垂直线）的一个投影有积聚性，交点的投影也随之积聚。交点的其余投影可通过作属于平面的点的方法求取。2022-11-26现代工程制图现代工程制图三、两特殊位置平面相交三、两特殊位置平面相交 1两平面同
30、时垂直于某投影面两平面同时垂直于某投影面两平面同时垂直于某投影面时，交线为该投影面的垂直线。2022-11-26现代工程制图现代工程制图2两平面分别垂直不同的投影面两平面分别垂直不同的投影面 2022-11-26现代工程制图现代工程制图四、特殊位置平面与一般位置平面相交四、特殊位置平面与一般位置平面相交 当相交的两平面之一是特殊位置平面时，交线的一个投影重合在该平面有积聚性的投影上；交线的其余投影利用交线的共有性在面内取线的方法求出。1特殊位置平面用迹线表示特殊位置平面用迹线表示2022-11-26现代工程制图现代工程制图2特殊位置平面用几何要素表示特殊位置平面用几何要素表示 2022-11-
31、26现代工程制图现代工程制图3.5.3 垂直一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 1几何条件几何条件 一直线垂直于相交二直线，则此直线垂直于该相交二直线所确定的平面；反之，相交二直线垂直于一直线，则相交二直线所确定的平面垂直于该直线。2022-11-26现代工程制图现代工程制图3作直线垂直于定平面作直线垂直于定平面如下图（a）所示，过定点L作直线LK垂直于定平面ABC。2022-11-26现代工程制图现代工程制图4.作平面垂直于定直线作平面垂直于定直线如下图（a）所示，过点作平面垂直于定直线AB。2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:已知点A和BCDE。过点A作BCDE的垂线AF，并
32、作出垂足F，求出A与BCDE的真实距离。解：由垂直于投影面垂直面的直线的投影特点知，垂线AF是正平线。据此可作出AF，并得到A与BCDE的真实距离。2022-11-26现代工程制图现代工程制图二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直 1几何条件几何条件 若一直线垂直于定平面，则包含该直线的所有平面（或平行该直线的所有平面）均垂直于该定平面。若两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任一点向另一平面所作的垂线，必属于第一个平面，反之亦然。2022-11-26现代工程制图现代工程制图2作平面垂直于定平面作平面垂直于定平面如下图（a）所示，过点E作平面垂直于ABC。2022-11-26现代工程制图现代工程制图3两平面垂直的判断两平面垂直的判断 2022-11-26现代工程制图现代工程制图垂直于同一投影面的两平面互相垂直的投影特点 平面的有积聚性的同面投影互相垂直。2022-11-26现代工程制图现代工程制图例:判断ABCD与EFG是否互相垂直？解：检验在ABCD上能否作出一条直线垂直于EFG。作图步骤：2022-11-26
