1、11/26/2022生产计划部排列组合与二项式分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤个步骤，做第做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，种不同的方法，做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有N N=m m1 1m m2 2m mn n种不同的种不同的方法方法.要点：要点：（1 1）分步；）分步；（2 2）每步缺一不可，依次完成；）每步缺一不可，依次完成；（3 3）N=m1m2mn（各步方法之积）（各步方法之积）
2、总结出两个原理的联系、区别：总结出两个原理的联系、区别：分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理联系联系区别区别1 1区别区别2 2完成一件事，共有完成一件事，共有n n类类办法，关键词办法，关键词“分类分类”完成一件事，共分完成一件事，共分n n个个步骤，关键词步骤，关键词“分步分步”每类办法相互独立，每类办法相互独立，每类方法都能独立地每类方法都能独立地完成这件事情完成这件事情各步骤中的方法相互依各步骤中的方法相互依存，存，只有各个步骤都完只有各个步骤都完成才算完成这件事成才算完成这件事都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题例例1书架的第一
3、层放有书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层本不同的计算机书，第二层放有放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育本不同的体育书从书架上任取书从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？解：从书架上任取一本书，有解：从书架上任取一本书，有3类办法：类办法：第第1类办法是从第类办法是从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；种方法；第第2类办法是从第类办法是从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方法；第第3类办法是从第类办法是从第3层取一本体育书，有层取一本体育书，有2种方法种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是根
4、据分类计数原理，不同取法的种数是N=4+3+2=9答：从书架上任取答：从书架上任取1本书，有本书，有9种不同的取法种不同的取法.例例2书架的第一层放有书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放本不同的计算机书，第二层放有有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书从书本不同的体育书从书架的第架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？层各取一本书，有几种不同的取法？解解:从书架的第从书架的第1，2，3层各取层各取1本书，可以分成本书，可以分成3个步个步骤完成：骤完成：根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 N=432=24答
5、：从书架的第答：从书架的第1，2，3层各取层各取1本书，有本书，有24种不同种不同的取法的取法.第第3个步骤是从第个步骤是从第3层取一本体育书，有层取一本体育书，有2种方法种方法第第2个步骤是从第个步骤是从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方法；第第1个步骤是从第个步骤是从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；种方法；课堂练习 书架的上层放有书架的上层放有 5 5 本不同的数学书，中层放本不同的数学书，中层放有有6 6本不同的语文书，下层放有本不同的语文书，下层放有4 4本不同的英语本不同的英语书，从中任取书，从中任取1 1 本书的不同取法的种数是（本书的不同取法
6、的种数是（）A.5+6A.5+64=15 B.1 C.64=15 B.1 C.65 54=120 D.34=120 D.3A 在上题中在上题中,如果从中任取如果从中任取3 3本本,数学数学,语文语文,英语各英语各一本一本,则不同取法的种数是则不同取法的种数是 ()()A.1+1+1=3 B.5+6+4=15 A.1+1+1=3 B.5+6+4=15 C.5 C.56 64 =120 D.14 =120 D.1C二、排列的概念：二、排列的概念：从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的个元素（这里的被取元素各不相同）被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排
7、成一列，叫做，叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列.说明：说明：（1）排列的定义包括两个方面：）排列的定义包括两个方面：取出元素，取出元素，按一定的顺序排列按一定的顺序排列；（2）两个）两个排列相同排列相同的条件：的条件：元素完全相同，元素完全相同，元素的排列顺序也相同；元素的排列顺序也相同；（3）当）当m=n时，称为时，称为n个元素的个元素的全排列全排列.排列数的定义：排列数的定义：从从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(mn)m(mn)个元素的个元素的所有排列的个数叫做从所有排列的个数叫做从n n个元素中取出个元素中取出m m元素元素的的排
8、列数排列数.用符号表示用符号表示:mnA区别排列和排列数的不同：区别排列和排列数的不同：“一个排列一个排列”是指：从是指：从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数排列数”是指从是指从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数，）个元素的所有排列的个数，是一个数，所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.排列数公式排列数公式 从从n个元素个元素a1,a2,a3,an中任取中任取m个元素填空，一个元素填空，一个空位填一个元素，每一种填法
9、就得到一个排列，个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数由分步因此，所有不同的填法的种数就是排列数由分步计数原理完成上述填空共有计数原理完成上述填空共有 种填法种填法.)1()2)(1(mnnnnAmn说明：说明：（1）公式特征：第一个因数是）公式特征：第一个因数是n，后面每，后面每一个因数比它前面一个少一个因数比它前面一个少1，最后一个因数，最后一个因数是是n-m+1，共有，共有m个因数；个因数；（2）全排列：当）全排列：当m=n时时,即即n个不同元素个不同元素
10、全部取出的一个排列全部取出的一个排列.)1()2)(1(mnnnnAmn全排列数：全排列数：)(!123)2)(1(的阶乘叫做nnnnnAnn)1()2)(1(mnnnnAmn123)1)(123)(1()2)(1(mnmnmnmnnnn排列数公式阶乘表示：排列数公式阶乘表示：)!(!mnn10！规定：1、从、从2，3，5，7，11这五个数字中，这五个数字中，任取任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？2、5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？人站成一排照相，共有多少种不同的站法？3、某年全国足球中超联赛共有、某年全国足球中超联赛共有16队参加，
11、队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，次，共进行多少场比赛？共进行多少场比赛？204525A120!555A2401516216A 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn)个元素并成一组，叫做从个元素并成一组，叫做从n个不个不同元素中取出同元素中取出m个元素的个元素的一个组合一个组合.说明：说明：不同元素；不同元素；“只取不排只取不排”无序性；无序性；相同组合相同组合：元素相同：元素相同 三、组合的概念：三、组合的概念：组合数的概念：组合数的概念：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个个元素的所有组合的个数，叫做从
12、元素的所有组合的个数，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数用符号表示用符号表示:mnC组合数公式组合数公式:一般地，求从一般地，求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数 可以分如下两步：可以分如下两步：mnA12)2)(1()1()2)(1(AAmmmmnnnnCmmmnmn),()!(!nmNmnmnmnCmnmnC 先求从先求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的组合数素的组合数 ；mmmnmnACA 求每一个组合中求每一个组合中m个元素全排列数，个元素全排列数，根据分步计数原理得：根据分步计数原理得：组合数性质组合
13、数性质1：mnnmnCC用此性质可以简化运算时当边上标之和等于下标等式两边下标相同，两）规定：（说明：,2)3()2(1C10nnm 组合数性质组合数性质2：mnmnmnCCC111、利用组合数性质计算：、利用组合数性质计算：31019710098100)(1(ACC6111333101333101310133310131013101310198101AAAAAAAACAC210242322)2(CCCCmnCAmnmn,10,60)3(求：若210242333CCCC2102434CCC2102535CCC311CmmmnmnAAC!6010m3m5603nAn2、5个男生，个男生，3个女生
14、个女生（1）男女生各选）男女生各选2个参加会议，有多少种个参加会议，有多少种不同的选法？不同的选法？（2）选）选4人参加会议，其中必须有女生，人参加会议，其中必须有女生，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？（3）选）选4人参加会议，女生至多人参加会议，女生至多1人，有人，有多少种不同的选法？多少种不同的选法？分组问题：分组问题：“含含”与与“不含不含”“至多至多”与与“至少至少”特殊元素先排特殊元素先排120!555A24!444A48!42244A7833444455AAAA1、a、b、c、d、e五个人排成一排，五个人排成一排，依下列条件有多少种不同的排法？依下列条件有多少种不同的排法？
15、（1）共有多少种排法？）共有多少种排法？（2）a必须在中间必须在中间（3）a必须在两端必须在两端（4）a不在首，不在首，b不在尾不在尾四、排列、组合的简单应用四、排列、组合的简单应用（1010）a a在在b b的前面的前面集团式集团式排除法排除法插空法插空法按序按序1、a、b、c、d、e五个人排成一排，五个人排成一排，依下列条件有多少种不同的排法？依下列条件有多少种不同的排法？（5）a、b、c必须相连必须相连（7）a、b、c恰有两个相连恰有两个相连（8）a、b、c中至多有两个相连中至多有两个相连（9）a、b、c中至少有两个相连中至少有两个相连（6）a、b、c不相连不相连363333 AA123
16、322 AA723322333355AAAAA84333355AAA108332255AAA108332255AAA（1010）a a在在b b的前面的前面按序按序1、a、b、c、d、e五个人排成一排，五个人排成一排，依下列条件有多少种不同的排法？依下列条件有多少种不同的排法？a a在第在第1 1位位a a在第在第2 2位位a a在第在第3 3位位a a在第在第4 4位位2444A18333A122333312AAC633A分类讨论分类讨论所以共有所以共有24+18+12+6=60种不同的排法种不同的排法2、3名男生和名男生和2名女生站成一排，名女生站成一排，其中其中2名女生恰好站在两端的概率
17、是名女生恰好站在两端的概率是()1013、书架上陈列了、书架上陈列了4本科技杂志和本科技杂志和4本文艺杂志。本文艺杂志。一位学生从中任取一本阅读，一位学生从中任取一本阅读，那么他阅读文艺杂志的概率等于（那么他阅读文艺杂志的概率等于（）（A）1 （B）0.25 （C）0.5 （D）0.1254、某学生从、某学生从5门课程中任选门课程中任选3门，门，其中甲、乙两门课程至少选一门，其中甲、乙两门课程至少选一门，则不同的选课方案共有（则不同的选课方案共有（）种。）种。（A）11 （B）10 （C）9 （D）8Cc415、8名选手在名选手在8条跑道的运动场进行百米赛跑，条跑道的运动场进行百米赛跑，其中有
18、其中有2名中国选手，按随机抽签方式决定选手的跑名中国选手，按随机抽签方式决定选手的跑 道，道，2名中国选手在相邻的跑道的概率为（名中国选手在相邻的跑道的概率为（）。）。6、4个人排成一行，其中甲、乙二人总排在一起，个人排成一行，其中甲、乙二人总排在一起，则不同的排法共有（则不同的排法共有（）。）。(A)3种种 (B)6种种 (C)12种种 (D)24种种927、两个盒子内各有、两个盒子内各有3个同样的小球，个同样的小球，每个盒子中的小球上分别标有每个盒子中的小球上分别标有1，2，3三个数字，三个数字，从两个盒子中分别任意取出一个球，从两个盒子中分别任意取出一个球，则取出的两个球上所标数字的和为
19、则取出的两个球上所标数字的和为3的概率是（的概率是（）。）。C518、某学生从、某学生从6门课程中选修门课程中选修3门，其中甲课程一定要选修，门，其中甲课程一定要选修，则不同的选课方案共有（则不同的选课方案共有（）。）。(A)4种种 (B)8种种 (C)10种种 (D)20种种9、5个人排成一行，则甲排在正中间的概率是（个人排成一行，则甲排在正中间的概率是（）。）。10、某学生从、某学生从6门课程中选修门课程中选修3门，其中甲、乙两门课程门，其中甲、乙两门课程 至至 少选一门，则不同的选课方案共有（少选一门，则不同的选课方案共有（）。）。(A)4种种 (B)12种种 (C)16种种 (D)20
20、种种11、正六边形中，由任意三个顶点连线构成的、正六边形中，由任意三个顶点连线构成的 三角形的个数为（）。三角形的个数为（）。（A）6 （B）20（C）120 （D）720C例例3、6本不同的书，按下列要求处理，各有几种分本不同的书，按下列要求处理，各有几种分 法？法？（1）一堆）一堆1本，一堆本，一堆2本，一堆本，一堆3本本（2）甲得）甲得1本，乙得本，乙得2本，丙得本，丙得3本本（3）一人得）一人得1本，一人得本，一人得2本，一人得本，一人得3本本（4）平均分给甲、乙、丙三人）平均分给甲、乙、丙三人（5）平均分成三堆）平均分成三堆非均匀不定向分配（有序）非均匀不定向分配（有序）非均匀定向分
21、配（有序）非均匀定向分配（有序）均匀分组问题（无序）均匀分组问题（无序）均匀定向分配（有序）均匀定向分配（有序）非均匀分组（无序）非均匀分组（无序）例例4（1）将）将6个相同的小球放入个相同的小球放入4个抽屉，每个抽个抽屉，每个抽屉至少有屉至少有1个球的方法有多少种？个球的方法有多少种？（2）将）将9本相同的练习本分给本相同的练习本分给5个人，每人至少个人，每人至少1本，有多少种不同的分法？本，有多少种不同的分法？（3）某城市一条道路上有某城市一条道路上有12盏路灯，为了节约用盏路灯，为了节约用电又不影响正常照明，可以熄灭其中的电又不影响正常照明，可以熄灭其中的3盏灯，但盏灯，但路的两端灯不能
22、熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，路的两端灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，共有多少种熄灭的方法？共有多少种熄灭的方法？相同元素分组问题：插空法（隔板法）相同元素分组问题：插空法（隔板法）例例5、从、从5双不同的鞋子中取出双不同的鞋子中取出4只，按下列条只，按下列条件有多少种不同的取法？件有多少种不同的取法？（1）取出）取出4只鞋恰好配成只鞋恰好配成2双双（2）取出）取出4只鞋至少配成只鞋至少配成1双双（3）任何）任何2只都不能配成只都不能配成1双双分组问题：配对分组问题：配对五、二项式定理五、二项式定理(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b40
23、11222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b (a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的系数为前的系数为C21恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20,则则a2前的系数为前的系数为C20(a+b)2 =a2+2ab+b2 C20 a2+C21 ab+C22
24、b2=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b32)ba（222baba3)(ba322333aa babb单三步单三步二项展开式定理二项展开式定理:一般地，对于一般地，对于n Nn N*，有：，有：011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ，叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，
25、展开式共有_个项个项.rnC展开式展开式二项式系数二项式系数rrnrnbaCr+1n+11(0,1,2,)rnrrrnTCnabr 单三步单三步2.二项式系数规律：二项式系数规律：nnnnnCCCC、2103.指数规律：指数规律：（1）各项的次数）各项的次数和均为和均为n；（2）二项和的）二项和的第一项第一项a的次数的次数由由n逐次降到逐次降到0，第二项第二项b的次数的次数由由0逐次逐次升到升到n.1.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1个项个项)(Nn011()nnnrn r rn nnnnna bC aCa bC a bC b二项展开式定理二项展开式定理:单三步单三步特别地特别地
26、:2、令、令a=1，b=x1、把、把b用用-b代替代替 (a-b)n=Cnan-Cnan-1b+(-1)rCnan-rbr +(-1)nCnbn01rnn)11(n2nnnrrnnnnxCxCxCxCx 22111）（01CCCnnnn3、)(Nn011()nnnrn r rn nnnnna bC aCa bC a bC b二项展开式定理二项展开式定理:单三步单三步411)1x：展展开开（例例注：注：1）注意对二项式定理的灵活应用）注意对二项式定理的灵活应用2）注意区别）注意区别二项式系数二项式系数与与项的系数项的系数的概念的概念二项式系数二项式系数为为 ；项的系数项的系数为：为：二项式系数与
27、数字系数的积二项式系数与数字系数的积rnC解解:41223344411111)1()()()CCCxxxx （44423414641()1.Cxxxxx 单三步单三步61()6223xx：展开，并求第 项的二项式系数和第例项的系数.解解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2)(2)(2)xCxCxCxx1=(24256666(2)(2)CxCxC32236012164192240160 xxxxxx=第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为 2615C 第六项的系数为第六项的系数为 5562(1)12C 单三步单三步7)3x:(1 1)求求（1 1+2 2的的展展开开
28、式式的的第第例例4 4项项的的系系数数931)xxx(2 2)求求（的的展展开开式式中中 的的系系数数和和中中间间项项解解:37 3333 17(1)1(2)280TCxx第四项系数为第四项系数为28099 21991(2)()(1)rrrrrrrTC xC xx 339923,84rxC 3由得r=3.故 的系数为(-1)49 444 1959 555 1915,6,()70170()TC xxxTC xxx中间一项是第项单三步单三步解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则：8824 43188311122rrrrrrrrxTCCxx 由题意可知，由题意可知，
29、244063rr故存在常数项且为第故存在常数项且为第7项，项，常数项常数项8 6660781172TCx 常数项即常数项即 项项.0 x例例4(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.8312xx单三步单三步100,.236,0100.0,6,12,96,17.r rTrr均为整数时为有理数为 的倍数 且即r为展开式中共有项有理项解：解：的展开式的通项公式为：的展开式的通项公式为：1003)23(x10010010033211001003232rrrrrrrrTCxCx012100r
30、，点评：点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高维的严密性要求也高.有理项即有理项即整数次幂整数次幂项项 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23(x单三步单三步练习：练习：1、求、求 的展开式常数项的展开式常数项 93()3xx1999219931()()()333rrrrrrrrrxTCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791()322683TC解解:单三步单三步2、求、求 的展开式的中间项的展开式的中间项 93()3xx解解:展开式共有展开式共有10项项,中间两项是第中间两项是第5、6项项49 44354 193()()423xTTCxx359 55265 193()()423xTTCxx单三步单三步单三步单三步 的展开式中的常数项为（）。A、6 B、12 C、15 D、30621xx生产计划部谢谢大家
