1、基本原理组合排列排列数公式组合数公式组合数性质应用问题 知识结构网络图：知识结构网络图：名称内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定 义义相同点相同点不同点不同点两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类类办法，第办法，第i类办法中有类办法中有mi种不同种不同的方法，那么完成这件事共有的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的种不同的方法方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步个步骤
2、，做第骤，做第i步中有步中有mi种不同的方种不同的方法，那么完成这件事共有法，那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的种不同的方法方法.排列和组合的区别和联系：排列和组合的区别和联系：名名 称称排排 列列组组 合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ，mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn=(1)(1)!mnn nnmCm-鬃+=!()!mnnCmnm=-01nC=mmmnnmACA=mn mnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成
3、一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数11mmnnAnA-=例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数.解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排这两个位置排这两个位置.先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得由分步计数原理得=28813C14C34A 7 7种不同的花种在排成一列的花
4、盆里种不同的花种在排成一列的花盆里,若若两种葵花不种在中间，也不种在两端的两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？花盆里，问有多少不同的种法？练习1解一：分两步完成；解一：分两步完成；第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置35A有种 排 法第二步排其余的位置第二步排其余的位置：3454A A共有种不同的排法44有 A 种 排 法解二：第一步由葵花去占位解二：第一步由葵花去占位：24A有种 排 法第二步由其余元素占位：第二步由其余元素占位：55A有种 排 法2545A A 共有种不同的排法例例2.72.7人站成一排人站成一排 ,
5、其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。.七个家庭一起外出旅游，若其中四七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排
6、照相留念孩站成一排照相留念。若三个女孩要站若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，共有在一起，四个男孩也要站在一起，共有多少种不同的排法？多少种不同的排法？练习2种不同的排法有288443322AAA55A第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的5 5个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 46A由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种55A46A相相相相独独独独独独马路上有编号为马路上有编号为1 1、2 2、3 39 9的九盏路灯，的九盏路灯，为节约用电，现要求把其中为节约用电，现要求把其中3 3盏灯关掉，盏灯关掉，但不
7、能关掉相邻的但不能关掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏，也不能关盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法有多少种。有多少种。练习3不同的关灯方法有：3510C=（种）四四.定序问题缩定序问题缩倍倍(空位空位.插入插入)策略策略例例4.74.7人排队人排队,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 多少种不同的排法多少种不同的排法.解:(缩缩倍倍法法)对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个
8、元素之间的全排列数素之间的全排列数,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是：7733AA（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法47A147A思考思考:能否让甲乙丙先坐能否让甲乙丙先坐?（插入法插入法)先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人,共有共有1 1种排法种排法,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4 4*5 5*6 6*7 7定序问题可以用缩定序问题可以用缩倍倍法，还可转化为插法，还可
9、转化为插空模型处理空模型处理练习题41010人身高各不相等人身高各不相等,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人,要要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少种排法？55105C C例例5.85.8人排成前后两排人排成前后两排,每排每排4 4人人,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_
10、种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排24A14A55A24A55A14A一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.1010名学生分坐两行，要求面对面坐下，名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲乙两位同学不可相邻也不可面但其中甲乙两位同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？对面，有多少种坐法？练习题5118478C C A118668C C A共有118118478668C C AC C A+(1)甲在两端：(2)甲不在两端：例例6.6.有有5 5个个
11、不同不同的小球的小球,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内,每盒至少装一个球每盒至少装一个球,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法.解解:第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法.再把再把5 5个元素个元素(包含一个复合包含一个复合 元素元素)装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_25C44A练习题6某种产品有某种产品有4只次品和只次品和6只正品，每只均不只正品，每只均不同且可区分，今每次取出一只测试，直到同且可区分，今每次取出一只测试，直到
12、4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试中被发现的不同情况有多少好在第五次测试中被发现的不同情况有多少种？种？314464576C C A=七.相同元素分配问题隔板策略例例7.有有1010个三好学生名额，分给个三好学生名额，分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因为解：因为10个名额个名额没有差别没有差别，把它们排成，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个
13、班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC-练习题7 有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有多少种?2615C=八八.正难则反间接法正难则反间接法例8.四面体的顶点和各棱中点共四面体的顶点和各棱中点共10个点，个点，从中取从中取4个不共面的点，不同的取法有个不共面的点，不同的取法有多少种？多少种？44106(463)141CC-+=取出的取出的4点不共面情形复杂，故采用间接点不共面情形复杂，故采用间接法。取
14、出的法。取出的4点共面有三类：点共面有三类：464C（1）过四面体的一个面有）过四面体的一个面有 种；种；（2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱）过四面体的一条棱上的三个点和对棱 的中点的平面有的中点的平面有6种；种；（3）过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平 行的平面有行的平面有3种；种；故取故取4个不共面的点有个不共面的点有以一个正方体的顶点为顶点，能以一个正方体的顶点为顶点，能组成多少个不同的四面体？组成多少个不同的四面体？481258C-=练习8解排列组合题的常用方法6.排列组合混合题排列组合混合题先选后排法先选后排法1.特殊元素优先考虑特殊元素优先
15、考虑2.不相邻问题不相邻问题插空插空法法3.相邻问题相邻问题捆绑法捆绑法4.定序问题定序问题缩倍法缩倍法5.多排问题多排问题直排法直排法7.相同元素分配问题相同元素分配问题隔板法隔板法8 8.正难则反正难则反间接法间接法练习1.（1）6本不同的书分给5名同学每 人一本，有多少种不同分法？（2）5本相同的书分给6名同学每人至 多一本，有多少种不同的分法？（3）6本不同的书全部分给5名 同学每人至少一本，有多 少种不同的分法？1.分配问题56A56C5526AC捆绑法 第2课时 排列组合综合应用练习1（5）6本不同的书分给甲、乙、丙3名同学 每人两本，有多少种不同分法？（4）6本不同的书分给3名同
16、学，甲1本、乙2 本、丙3本，有多少种不同的分法？3333222426).(2AACCC：解2224261CCC：解332516CCC解：分配问题均分有序注：222426CCC捆绑法练习1（6）8本不同的书分给3名同学，其中1名同 学2本、另两人3本，有多少种不同分法？3322333628).(AACCC解：分配问题练习1（7）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社会公益活动，若每天安排3人，者有多少种不同的安排方法？34371CC：解分配问题22223437).(2AACC：解练习1：（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每个班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有多少？分配问
17、题90).(33222325AACC解：练习2：（1）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的方法？分配问题解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份隔板法3101037C共有不同方法数隔板数小球数解：练习2：（2）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？分配问题解：将7个小球用3块隔板分成4份但盒子又不能空隔板法3667C有不同方法数个空隙个小球有解：练习3：四面体的一个顶点是A，从其它顶点和各棱中点中取3个点，使他们和点A在同一个平面上，则共有多少种不同的取法？2.组图形问题3335C解：练习4：用正方体的8个顶点共可以组成多少个不
18、同的四面体？2.组图形问题)246(4448CC解：练习5：10双不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任取4只，试求符合下列各种情形的方法数？先成双后成单3360.112121212410CCCCC：解210C解：3360.244114116118120 ACCCC：解（1）4只鞋子恰成两双；(2)4只鞋子没有成双；1140.121229110CCCC解：(3)4只鞋子恰有2只成双；练习6：8名外交工作者，其中3人只会英语，2人只会日语，3人既会英语又会日语，现从则8人中选3个会英语，3个会日语的人去完成一项任务，有多少种不同的选法？3333342312351322.).().(CCCCCCCC
19、解：3.选人问题例10：给下面的5个行政区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种颜色可供选择，问共有多少种不同的涂色方案？4.涂色问题23154种）共有种颜色涂色有：）用种颜色涂色有：）用解：分两类完成(7242314412333444123334ACACACAC练习7：用4种颜色给下面的5个行政区域涂色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的涂色方案？练习8：6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？540).().().(3333222426332211124633112336AACCCAACCCACCC解：5.综合问题练习9：从5男3女中选5人担任5门不同学科的课代表，求符合下列条件的不同选法？5535234513).(ACCCC解：5综合问题（1）有女生担人数必须少于男生；（2）男生只能担任数学化学物理课代表；233335332325.AACAAC解：练习10：3张卡片正反面分别写着数字0与1、3与4、5与6，将三张卡片并排组成三位数，共可以组成多少个不同的三位数？5综合问题22121233121212.ACCACCC解：
