1、随机变量及其概率分布优选随机变量及其概率分布1.1.定义定义一、随机变量的概念一、随机变量的概念()().EXXX设 为随机试验，样本空间为，如果对于每一个样本点，有一个实数与之对应，这样就得到一个定义在 上的实函数，称为随机变量123,X Y ZXXXLL随机变量通常用或者表示2.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:实例实例11,2,3,4,5,6.XX随机变量 只取有限多个或者可列无穷多个值，则称 为离散型随机变量（1）离散型）离散型实例实例2 若随机变量若随机变
2、量 X 记为记为“连续射击连续射击,直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”,则则 X 的可能值是的可能值是:1,2,3,.L(2)连续型连续型实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.).,0 实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测误测量某零件尺寸时的测误差差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a,b)内的任一值内的任一值.随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫叫做连续型随机变量做连续型随机变量.则X的取值范围为性质性质 (1)0,1,2,;kpk非负性 1(2)1.kkp规 范 性二、离散
3、型随机变量的分布律定义定义12,kXx xxLL设随机变量 所有可能取值为,1,2kkP Xxp kL且kpX则称为 的分布律（或分布列，概率分布）分布律也可表示为1212kkXxxxPpppLLLL例1X设离散型随机变量 的分布律为0120.20.5XPcC求解:由分布律的性质知:0.20.51c0.3c 例2512 3 4 5.XX袋子当中有 个同样大小的球，编号为，从中同时取出3个球，记 为取出的球的最大编号，求 的分布律.解:3 4 5X的取值为，3511310P XC23353410CP XC24356510CP XC3450.10.30.6XPX所以 的分布律为例3p某人有3发子弹
4、，对一目标连续进行射击，每次射击的命中率为，(1)如果击中目标就停止，否则一直到子弹用完，用X表示耗用子弹数，求X的分布律.(2)若3发子弹都打完，用Y表示击中目标的子弹数，求Y的分布律.解:X（1）的可能取值为1，2，3123XPp(1)p p2(1)pp（2）Y的可能取值为0，1，2，30123YP0033(1)C pp1123(1)C pp2213(1)C pp3303(1)C pp33(1).0,1,2,3kkkP YkC ppk或者例4 已知一批零件共10个,其中有3个不合格,现任取一件使用，若取到不合格零件就丢弃,再重新抽取一个，如此下去,试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X
5、的分布律.解:012 3X的可能取值，7010P X 3 77110 930P X g3 2 77210 9 8120P X g g3 2 1 71310 9 8 7120P X g g gX所以 的分布律为012377711 03 01 2 01 2 0YP对于任意的实数a0）3.正态分布正态分布22()21()2x f xe标准化标准化XY 第第 二二 章章 第四节第四节 随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布主讲人：赵洪欣一一.离散型随机变量函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布例1X设离散型随即变量 的分布律为10120.20.10.30.4XP32(1)(2)YXYX求：的
6、分布律解：(1)1018.Y的可能取值，1P Y 31P X 1P X 0.20P Y 30P X0P X0.11P Y 31P X1P X0.38P Y 38P X2P X0.410180.20.10.30.4YP3YX所以的分布律为10120.20.10.30.4XP(2)014.Y的可能取值，0P Y 20P X0P X0.11P Y 21P X11P XX 11P XP X 0.54P Y 24P X2P X0.43YX所以的分布律为0140.10.50.4YP例2(3)(3,0.4),12XXXBYP Y令，求解：112XXP YP（3-）12P XP X11222133(0.4)(
7、0.6)(0.4)(0.6)CC0.72二二.连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布()()()0.()()()()XYXfxyg xg xxh yyg xYg Xfx 设 为连续型随机变量，其概率密度函数为，是一严格单调且可导函数，其值域为,且记为的反函数，则概率密度函数为：定理,0,XYYXfhyhyyfyfyfhyhyy 其 它若证明：()()g xxh y若为单调增函数，则其反函数也是增函数，y则当时，()Yyg Xy()Xh yY所以 的分布函数为()()()YFyP YyP g XyP Xh y()()h yXfx dx()()YYfyFy故()()Xfh yh
8、y()0Yyyfy当或时，()()g xxh y若为单调减函数，则其反函数也是减函数，y则当时，()Yyg Xy()Xh yY所以 的分布函数为()()()YFyP YyP g XyP Xh y()()Xh yfx dx()()YYfyFy故()()Xfh yh y()0Yyyfy当或时，例22(,),XXNY 设求:的概率密度.解：22()21()2xXXfxe的密度函数为()XYxh yy的反函数()h y()()()YXfyfh yh y所以()Xfy 22()212ye 2212ye04()28.80XXxxfxYX设随机变量 的概率密度为，求的概率密度其他例2解：828()2yyxxh y的反函数为1()2h y 0,8;4,16xyxy时时8,16即,0,XYfhyhyyfy 其 它81()816220Xyfy其他8816320yy其他
