1、第六章第六章 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布 一维一维随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布 二二维维随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布6.1 一维一维随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布 在分析问题时，经常要用到由一些随机变在分析问题时，经常要用到由一些随机变量经过运算或变换而得到的某些新变量量经过运算或变换而得到的某些新变量随机随机变量的函数，它们也是随机变量变量的函数，它们也是随机变量.引引 言言 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布:若若X X是随机变量，是随机变量，求求Y=g(X)Y=g(X)的分布的分布(其中其中y=g(x)y=g(x)是是x
2、x的一个实值函的一个实值函数数).).6.1 一维一维随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布 设设X X为离散型随机变量，则为离散型随机变量，则Y=g(X)Y=g(X)一般也是离散型一般也是离散型随机变量随机变量。一、离散型随机变量一、离散型随机变量 X X的分布律为的分布律为 Y=g(X)P(Y=g(xi)g(x1)g(x2)g(xi)p1 p2 pi g(x)g(x)是一个已知函数是一个已知函数，Y=g(X)Y=g(X)是随机变量是随机变量X X的函的函数，则随机变量数，则随机变量Y Y的分布律为的分布律为XPx1 x2 xi p1 p2 pi 6.1 一维一维随机变量的函数及其分布
3、随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量一、离散型随机变量 一般地，我们先由一般地，我们先由X X的取值的取值x xi i，i=1i=1，2 2，求出求出Y Y的取值的取值y yi i=g(x=g(xi i)，i=1i=1，2 2 如果诸如果诸y yi i都不相同，则由都不相同，则由PY=yPY=yi i=PX=x=PX=xi i 可得可得 Y Y的分布律；的分布律；如果诸如果诸y yi i中有某些取值相同，则把相应的中有某些取值相同，则把相应的X X的取值的取值 的概率相加。的概率相加。注注：6.1 一维一维随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量一、离散型随机变量例例
4、:设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为 X -1 0 1 2 5/2 P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 求求(1)Y=X-1;(2)Y=-2X;(3)Y=X(1)Y=X-1;(2)Y=-2X;(3)Y=X2 2 的分布律的分布律 6.1 一维一维随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量一、离散型随机变量 P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 5/2 X -1 0 1 2 5/2解解:由由X X的分布律可得下表的分布律可得下表X-1 -2 -1 0
5、1 3/2X-1 -2 -1 0 1 3/2-2X 2 0 -2 -4 -5-2X 2 0 -2 -4 -5 X X2 2 1 0 1 4 25/4 1 0 1 4 25/46.1 一维一维随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量一、离散型随机变量(1)Y=X-1(1)Y=X-1的分布律为的分布律为 Y -2 -1 0 1 3/2 P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10(2)Y=-2X(2)Y=-2X的分布律为的分布律为 Y 2 0 -2 -4 -5 P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10(3)Y=X(3)Y=X2 2的分布律为的分布律为 Y 0
6、1 4 25/4 P 1/10 3/10 3/10 3/10 6.1 一维一维随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量一、离散型随机变量例例 设设 求求 的分布律的分布律解：解：Y的分布律的分布律X -1 1 2 P 1/6 2/6 3/652XYY -4 -1P 1/2 1/2 6.1 一维一维随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布 yxgXIXgYdxxfdxxfIXPyFg)()()(二、连续型随机变量二、连续型随机变量 设设X X为连续型随机变量，其概率密度函数为为连续型随机变量，其概率密度函数为f fx x(x)(x)，g(x)g(x)是一个已知的连续函数
7、，是一个已知的连续函数，Y=g(X)Y=g(X)是随机变量是随机变量X X的函数，的函数，考虑求出考虑求出Y Y的分布函数的分布函数F FY Y(y)(y)及密度函数及密度函数f fY Y(y).(y).1 1一般方法一般方法 可先求出可先求出Y Y的分布函数的分布函数F FY Y(y)(y)：因为因为F FY Y(y)=PYy=Pg(X)y(y)=PYy=Pg(X)y，设，设I Ig g=x|g(x)y=x|g(x)y则则再由再由F FY Y(y)(y)进一步求出进一步求出Y Y的概率密度的概率密度 )(yFyfYY 6.1 一维一维随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布二、连续型随机
8、变量二、连续型随机变量解解 例：设随机变量例：设随机变量X X服从区间服从区间(0(0，1)1)上的均匀分布上的均匀分布.试求试求Y=XY=X2 2的密度函数的密度函数.当当y0y0(x)0 或恒有或恒有g g(x)0)(x)0(x)0的情况。此时的情况。此时g(x)g(x)在在(-,+)(-,+)严严格单调增加，它的反函数格单调增加，它的反函数h(y)h(y)存在，且在存在，且在(，)严格严格单调增加，可导，现在先来求单调增加，可导，现在先来求Y Y的分布函数的分布函数F FY Y(y)(y)。因为因为Y=g(X)Y=g(X)在在(，)取值，故当取值，故当yy时，时，F FY Y(y)=PY
9、y=0(y)=PYy=0；当当yy时，时，F FY Y(y)=PYy=1(y)=PYy=1；当当yy0(x)0(或恒有或恒有g g(x)0)(x)0)，此时此时 )(,)(max,)(,)(minbgagbgag 若若g g(x)0,(x)1212)=1-P(X)=1-P(X1212)16.084.01)1(1)11112(1 P(Y=-1)=P(Y=-1)=P(XP(X10)+PXi i,Y=,Y=i i,i i=0,1,2,3.=0,1,2,3.U U的分布律为的分布律为 V 0 1 2 3P 0.28 0.30 0.25 0.17 XY 0 1 2 3 4 50 0 0.01 0.03
10、0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05U=0U=1U=2U=3(3)W=X+Y(3)W=X+Y的可能取值为：的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8.0,1,2,3,4,5,6,7,8.ikkiYkXPiWP0,W W的分布律为的分布律为 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 XY 0 1 2 3 4 50 0 0.01 0
11、.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05W=0W=1W=2W=3W=4W=5W=6W=7W=8例例:设设X X和和Y Y相互独立且依次服从相互独立且依次服从P(P(1 1),P(),P(2 2).).证明证明 X+YX+Y服从服从P(P(1 1+2 2).).ikkiYkXPiYXP0,证证:X+Y:X+Y可能取的值为可能取的值为0,1,20,1,2)0,()1,1(),0(YiXPiYXPiYXP)0()()1(
12、)1()()0(YPiXPiYPXPiYPXP212121!)!1(!11212 eieieeieeiii!112111212)(21iiiiiiiCCie ,.)2,1,0()(!21)(21 iie 从而从而X+YX+Y服从服从P(P(1 1+2 2).).例例:设设X X和和Y Y独立独立,分别服从二项分布分别服从二项分布b b(n n1 1,p p),),和和b b(n n2 2,p p)(注意两个二项分布中注意两个二项分布中p p是一样的是一样的),),求求Z=X+YZ=X+Y的分布律的分布律.kiikYiXPkYXPkZP0,knnkiikninCCC22210 因因为为knnkk
13、nnkiiknikikniniinqpCqpCqpC 212122110所所以以 kiiknikikniniinkiqpCqpCikYPiXP002211解解:Z:Z的可能取值为的可能取值为0,1,0,1,n n1 1+n n2 2，固定，固定k k于上述范围内于上述范围内,由独立性有由独立性有 可见，可见，Z Zb b(n n1 1+n n2 2,p p).这个结果很容易推广至多个的情形这个结果很容易推广至多个的情形:若若X Xi i b(b(n ni i,p p),),i i=1,2,=1,2,m,m,且且X X1 1,X,Xm m独立独立,则则X X1 1+X+X2 2+X+Xm mb
14、b(n n1 1+n n2 2+n nm m,p p)。直观上，按二项分布的定义直观上，按二项分布的定义,若若X Xi ib b(n ni i,p p),),则则X Xi i表示表示n ni i次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A A出现的次数出现的次数,而且每次试验中而且每次试验中A A出现的概率均为出现的概率均为p p,i i=1,2,=1,2,m,m,而而X X1 1,X,Xm m独立独立,可知可知Y=XY=X1 1+X+X2 2+X+Xm m是是n n1 1+n n2 2+n nm m次独立试验中次独立试验中A A出现的次数出现的次数,而而且每次试验中且每次试验中A A出现的概率
15、保持出现的概率保持p,p,故可得故可得 Y Yb b(n n1 1+n n2 2+n nm m,p p)。6.2 二维二维随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布二、二、(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量 设设(X,Y)(X,Y)为连续型随机向量为连续型随机向量,其联合概率密度其联合概率密度f f(x x,y y),),g(x,y)g(x,y)是一个二元函数，是一个二元函数，Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量 (X,Y)(X,Y)的函数的函数.一般的方法是先求出一般的方法是先求出Z Z的分布函数的分布函数F Fz z(z z),),zyxgD
16、DzzZzzdxdyyxfdxdyyxfzyxgDDYXPzYXgPzZPzF),(:),(),(),(:|),(),()(然后由然后由F FZ Z(z z)求出求出Z Z的概率密度的概率密度f fZ Z(z z).).)()(zFzfZZ 例例1:1:设设X X和和Y Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,它们的概率密它们的概率密度函数依次为度函数依次为 yeyfxexfyYxX,21)(;,21)(2222 求求 Z=X+YZ=X+Y的概率密度的概率密度.解解:(X,Y):(X,Y)的密度函数为的密度函数为 )(212221)()(),(yxYXeyfxfyxf 将上面的二重
17、积分化为二次积分将上面的二重积分化为二次积分,然后作代换然后作代换 y=-x y=-x 得得 dedyxfzYXPzFyxDDZzz)(212221),()()(x=z-yxydxdvedxdyezFxvxzyxxzZ2121)()(21)(212222 dvdxeyxvxz21)22(2122 1 1和的分布：和的分布：Z=X+YZ=X+YdvedveduezFzvvvuzZ 442)21(212222122121)(再令再令 xu2 因此，因此，X+YX+Y的分布密度为的分布密度为 4221)(zZezf 即即Z Z服从服从N(0N(0，2)2)分布分布.1 1和的分布：和的分布：Z=X+
18、YZ=X+Y 设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为f f(x x,y y),),则则Z=X+YZ=X+Y的分布函数为的分布函数为 zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF),()(积分区域如图积分区域如图,化成累次积分化成累次积分,得得 yzZdxyxfdyzF),()(固定固定z z和和y y对上式内层积分作变量变换对上式内层积分作变量变换,令令x x=u u-y y,得得 zyzduyyufdxyxf),(),(于是于是 zzZdudyyyufdudyyyufdyzF),(),()(x=z-yxy由概率密度的定义由概率密度的定义,即得即得Z Z的概率密度为的概率密度为 dyyy
19、zfzfZ),()(由由x x,y y的对称性的对称性,f fZ Z(z z)又可写成又可写成:dxxzxfzfZ),()(上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别地特别地,当当X X和和Y Y相互独立时相互独立时,设设(X,Y)(X,Y)关于关于X,YX,Y的的边缘概率密度分别为边缘概率密度分别为f fx(x(x x),),f fY Y(y y),),则两式分别为则两式分别为 dxxzfxfzfdyyfyzfzfYXZYXZ)()()()()()(；这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式,记为记为f fx x*f fY Y,即即 d
20、xxzfxfdyyfyzfffYXYXYX)()()()(例例1:1:设设X X和和Y Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,它们的概率密它们的概率密度函数依次为度函数依次为 yeyfxexfyYxX,21)(;,21)(2222 求求 Z=X+YZ=X+Y的概率密度的概率密度.解解:由公式由公式 dxxzfxfzfYXZ)()()(令令t t=x x-(-(z z/2)/2)，得，得 4442222212121)(zztzZeedxeezf 即即Z Z服从服从N(0N(0，2)2)分布分布.dxeedxeezxzxzx2222242)(22121 一般地一般地,设设X,YX,Y
21、相互独立且相互独立且X X N(N(1 1，1 12 2)，Y Y N(N(2 2，2 22 2),),经过计算知经过计算知Z=X+YZ=X+Y仍然服从正态分布仍然服从正态分布,且有且有Z Z N(N(1 1+2 2，1 12 2+2 22 2).).这个结论可推广到这个结论可推广到n n个独立正态随机变量之和的情况个独立正态随机变量之和的情况,即若即若 X Xi i N(N(i i,i i2 2),(),(i i=1,2,=1,2,n),n),且它们相互独立且它们相互独立,则它则它们的和们的和Z=X1+X2+Z=X1+X2+Xn+Xn仍然服从正态分布仍然服从正态分布,且有且有Z Z N(N(
22、1 1+2 2+n n，1 12 2+2 22 2+.+.+n n2 2).).2 2 M=max(X,Y)N=min(X,Y)M=max(X,Y)N=min(X,Y)的分布的分布 设设X,YX,Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数它们的分布函数分别为分别为Fx(x)Fx(x)和和FY(y).FY(y).现在来求现在来求M=max(X,Y)M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.由于由于M=max(X,Y)M=max(X,Y)不大于不大于z z等价于等价于X X和和Y Y都不大于都不大于z z,故有故有 PMPM z
23、z=PX=PX z z,Y,Y z z 又由于又由于X X和和Y Y相互独立相互独立,得到得到M=max(X,Y)M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为,)(maxzYPzXPzYzXPzMPzF )()()(maxzFzFzFYX 即即有有类似地类似地,可得可得N=min(X,Y)N=min(X,Y)的分布函数为的分布函数为 1,11)(minzYPzXPzYzXPzNPzNPzF )(1)(1 1)(minzFzFzFYX 即即 以上结果容易推广到以上结果容易推广到n n 个相互独立的随机变量的情况个相互独立的随机变量的情况,设设X X1 1,X,X2 2,Xn,Xn是是n n个相互
24、独立的随机变量个相互独立的随机变量.它们的分布函它们的分布函数分别为数分别为 ,i=1,2,i=1,2,n.,n.,则则M=Max(XM=Max(X1 1,X,X2 2,X,Xn n)及及N=Min(XN=Min(X1 1,X,X2 2,X,Xn n)的分布函数分别为的分布函数分别为 )()()()(21maxzFzFzFzFnXXX)(1)(1)(1 1)(21minzFzFzFzFnXXX 特别特别,当当X1,X2,X1,X2,Xn,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)F(x)时时,有有F Fmax(max(z z)=)=F F(z z)n,)n,F Fmax(
25、max(z z)=1-1-)=1-1-F F(z z)n.)n.XiF例例:设系统设系统L L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L L1 1,L,L2 2联接而成联接而成,联接的联接的方式分别为方式分别为(i)(i)串联串联,(ii),(ii)并联并联,(iii),(iii)备用备用(当系统当系统L L1 1损坏时损坏时,系统系统L L2 2开始工作开始工作),),设设L L1 1,L,L2 2的寿命分别为的寿命分别为X,Y,X,Y,已知它们的概已知它们的概率密度分别为率密度分别为;000)(xxexfxX 000)(yyeyfyY 其中其中0,00,0且且，试分别就以上三种联接方，
26、试分别就以上三种联接方式写出式写出L L的寿命的寿命Z Z的概率密度的概率密度.解解:(i):(i)串联的情况串联的情况 由于当由于当L L1 1,L,L2 2中有一个损坏时中有一个损坏时,系统系统L L就停止工作就停止工作,所以所以这时这时L L的寿命为的寿命为 Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)。由指数分布由指数分布X,YX,Y的分布函数分别为的分布函数分别为 ;0001)(xxexFxX 0001)(yyeyFyY 由公式得由公式得Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)的分布函数为的分布函数为 0001)(1)(1 1)(minzzezFzFzFzYX 于是于是Z=min(X,Y
27、)Z=min(X,Y)的概率密度为的概率密度为 000)(minzzezfz(ii)(ii)并联的情况并联的情况 由于当且仅当由于当且仅当L L1 1,L,L2 2都损坏时都损坏时,系统系统L L才停止工作才停止工作,所所以这时以这时L L的寿命的寿命Z Z为为Z=max(X,Y),Z=max(X,Y),按公式得按公式得Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)的分布函数的分布函数 00011)()()(maxzzeezFzFzFzzYX于是于是Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)的概率密度为的概率密度为 000)(minzzeeezfzzz (iii)(iii)备用的情况备用的情况.由于这
28、时当系统由于这时当系统L L1 1损坏时系统损坏时系统L L2 2才开始工作才开始工作,因此因此整个系统整个系统L L的寿命的寿命Z Z是是L L1 1,L,L2 2两者寿命之和两者寿命之和,即即:Z=X+Y.:Z=X+Y.按公式按公式,当当z z00时，时，Z=X+YZ=X+Y的概率密度为的概率密度为 当当z z00时时,f f(z z)=0,)=0,于是于是Z=X+YZ=X+Y的概率密度为的概率密度为 000)(zzeezfzzZ 例例 若若x和和y独立，具有共同的概率密度独立，具有共同的概率密度解：由卷积公式解：由卷积公式为确定积分限，先找出使被积函数不为为确定积分限，先找出使被积函数不
29、为0的区域的区域的概率密度求其他情况yxz,010,1)(xxpdxxzxzppYx)()()(p21010 xzx例例:设设(X,Y)(X,Y)的密度函数为的密度函数为)(212221),(yxeyxf 求求22YXZ 的密度函数的密度函数.解解:Z Z的分布函数为的分布函数为0)()(22 zYXPzFZF FZ Z=P(Z=P(Zz z)当当z0z0时，时，当当z z0 0时，时，dedyxfzYXPzFyxDDZzz)(21222221),()()(y yz zo oD Dz zx x利用极坐标得利用极坐标得dedrdrezFzrrzZ 200220202121)(222202221)1(21zzede 从而从而22YXZ 的密度函数为的密度函数为 0,0,0)(22zzezzfzz 作业作业3，4，7，8，9，12
