1、古典概型1.古典概型：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件发生的可能性大小都相等，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称古典概型。2.古典概型的计算公式：试验的样本空间包含n个样本点，事件C包含有m个样本点，则事件C发生的概率为：P（C）=。mn【思考】若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？提示：不是，还必须满足每个基本事件出现的可能性相等。【素养小测】1.思维辨析（对的打“”，错的打“”）（1）任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件。（）（2）求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正
2、整数作为基本事件。（）（3）从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率。（）（4）抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止。（）提示：（1）中由于点数的和出现的可能性不相等，故（1）错误；（2）中的基本事件是无限的，故（2）错误；（3）中满足古典概型的有限性和等可能性，故（3）正确；（4）中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故（4）错误。答案：（1）（2）（3）（4）2.下列关于古典概型的说法正确的是（）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个事件出现的可能性相等；每个基本事件出现的可能性相等；基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P（A）=。A.B.C.D.kn
3、【解析】选B。根据古典概型的特征与公式进行判断，正确，不正确，故选B。3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为（）112A.B.C.D 1233【解析】选C。从甲、乙、丙三人中任选两人有：（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙）共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P=。23类型一古典概型的判断【典例】下列试验中，属于古典概型的是（）A.种下一粒种子，观察它是否发芽B.从直径规格为250mm0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC.抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶【思维引】结合基本事件及古典概型的定义进行判断。【解析】选C。
4、依据古典概型的特点判断，只有C项满足：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相同。【内化悟】基本事件有什么特点？提示：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。【类题通】判断随机试验是否为古典概型的两个关键点，关键是抓住古典概型的两个特征有限性和等可能性，二者缺一不可。（1）有限性，试验中所有可能出现的样本点只有有限个。（2）等可能性，每个样本点出现的可能性相等。【习练破】下列概率模型是古典概型吗？为什么？（1）从区间1，10内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；（2）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；（3）
5、从1，2，3，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率。【解析】（1）不是古典概型，因为区间1，10中有无限多个实数，任意取出一个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾。（2）不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾。（3）是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等。类型二简单的古典概型的计算【典例】1.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）1112A.B.C.D.62332.盒子中有5个大小相同的球，其中编号为a
6、，b的是2个黑球，编号为c，d，e的是3个红球，从中任意摸出2个球。（1）写出所有不同的结果。（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率。（3）求至少摸出1个黑球的概率。【思维引】1.写出样本空间，根据古典概型的概率公式计算。2.（1）列举事件不同的结果，可以采用列举法或树状图法。（2）找出恰好摸出1个黑球和1个红球的样本点，利用古典概型的概率计算公式求出；（3）找出至少摸出1个黑球的样本空间，利用古典概型的概率计算公式求出。【解析】1.选C。样本空间为：=甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P=21.632.（1
7、）用树状图表示所有的结果为：所以样本空间为=ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de。（2）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个样本点，所以P（A）=0.6，即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6。610（3）记“至少摸出1个黑球”为事件B，则事件B包含的样本点为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，所以P（B）=0.7，即至少摸出1个黑球的概率为0.7。710【内化悟】使用古典概型概率公式计算时需要注意哪些问题？提示：确定是否为古典概型；所求事件是什么，包含的基本事件有哪些。【类题通】求古典概
8、型概率的计算步骤（1）确定样本点的总数n。（2）确定事件A包含的样本点的个数m。（3）计算事件A的概率P（A）=。mn【习练破】一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为（）3211A.B.C.D.8334【解析】选A.样本空间为=（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共有8个，仅有2次出现正面向上的有：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共3个，则所求概率为。38类型三复杂的古典概型问题【典例】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2；现
9、从袋中任取两张卡片。（1）若把所取卡片的所有不同情况作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？（2）若把所取出卡片的标号之和作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？（3）求所取卡片标号之和小于4的概率。【思维引】先列举出基本事件，紧扣古典概型的特点加以判断，再用古典概型概率公式求相应概率。【解析】（1）样本空间为=（红1，红2），（红1，红3），（红1，蓝1），（红1，蓝2），（红2，红3），（红2，蓝1），（红2，蓝2），（红3，蓝1），（红3，蓝2），（蓝1，蓝2）共10种，由于基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相等，所以是古典概型。（2）由（1）知，基本事件为
10、2，3，4，5共4种，且他们出现的频数依次为1，4，3，2；故每个基本事件发生的可能性不同，不是古典概型。（3）设A=所取两张卡片标号之和小于4，由（1）知，A事件包含（红1，红2），（红1，蓝1），（红1，蓝2），（红2，蓝1），（蓝1，蓝2）共5种，由古典概型概率公式得：P（A）=51.102【类题通】解决古典概型综合问题的两个关键点（1）审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键。（2）编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或者用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，这是解决古典概型
11、的问题时主要的解题技巧。【习练破】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐。（1）求这四人恰好都坐在自己席位上的概率。（2）求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率。（3）求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率。【解析】将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如图所示，本题中的等可能样本点共有24个。（1）设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P（A）=。（2）设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P（B）=12493.248（3）设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P（C）=81.243
