1、0.00010.00020.00030.00040.00051000 1500 2000 2500 3000 3500 4000月收入月收入(元元)频率频率/组距组距1、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系要从这的关系要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出人中再用分层抽样方法抽出200人作人作进一步调查进一步调查,则在则在1500，3000(元
2、元)月收入段应抽出月收入段应抽出_人人140课前练习课前练习2、一个容量为、一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：的样本数据分组后组数与频数如下：25，25.3）,6;25.3，25.6）,4;25.6，25.9）,10;25.9，26.2）,8;26.2，26.5）,8;26.5，26.8）,4；则样本在则样本在25，25.9）上的频率为（）上的频率为（）3111201024ABCD、C课前练习课前练习中位数：中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这
3、组数据的中位数做这组数据的中位数 众数：众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数组数据的众数 众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛的应用最为广泛.平均数：平均数：一组数据的算术平均数，即一组数据的算术平均数，即121()nxxxxn 一、基础知识讲解一、基础知识讲解（一）基本概念（一）基本概念（二）众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系（二）众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
4、1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。高矩形的中点的横坐标。频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量月平均用水量(t)例如，在上一节调查的例如，在上一节调查的100位居民的位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是用水量的众数是2.25t.如图所示：如图所示：2、在样本中，有、在样本中，有50的个体小于或等于中位数，也有的个体小于或等于中位数
5、，也有50的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。此可以估计中位数的值。频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量月平均用水量(t)下图中虚线代表居民月均用水量的中位下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为数的估计值，此数据值为2.02t.高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课
6、件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)说明说明:2.02这个中位数的这个中位数的估计值估计值，与样本的中位数值，与样本的中位数值2.0不一样，这是因为样本数据的频率分布直方图，只是不一样，这是因为样本数据的频率分布直方图，只是直观地表明分布的形状，但是从直方图本身得不出原直观地表明分布的形状，但是从直方图本身得不出原始的数据内容，所以始的数据内容，所以由频率分布直方图得到的中位数由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致估计值往往与样本的实际中位数值不一致。高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3
7、课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)3、可以从频率分布直方图中估计平均数。平均数是、可以从频率分布直方图中估计平均数。平均数是频率分布直方图的频率分布直方图的“重心重心”等于频率分布直方图中每等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量月平均用水量(t)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总
8、体的数字特征(1)(三三)三种数字特征的优缺点三种数字特征的优缺点众数众数体现了样本数据的体现了样本数据的最大集中点最大集中点，但它对其它数，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。如上例据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。如上例中众数是中众数是2.25t，它告诉我们，月均用水量为，它告诉我们，月均用水量为2.25t的居的居民数比月均用水量为其它数值的居民数多，但它并没民数比月均用水量为其它数值的居民数多，但它并没有告诉我们多多少。有告诉我们多多少。中位数中位数是样本数据所占频率的是样本数据所占频率的等分线等分线，它不受少数，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但
9、它对几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。如上例中假设有极端值的不敏感有时也会成为缺点。如上例中假设有某一用户月均用水量为某一用户月均用水量为10t，那么它所占频率为，那么它所占频率为0.01,几几乎不影响中位数乎不影响中位数,但显然这一极端值是不能忽视的。但显然这一极端值是不能忽视的。高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)由于由于平均数平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均
10、数的改变，这是众数、个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此中位数都不具有的性质。也正因如此，与众数、中位，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低使平均数在估计时可靠性降低。高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)例例1、某工厂人员及工资构成如下：某工厂人
11、员及工资构成如下：（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数。）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数。（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？工资水平吗？为什么？二、应用举例二、应用举例分析：分析：众数为众数为200200，中位数为，中位数为220220，平均数为，平均数为300300。因平均数为因平均数为300300，由表格中所列出的数据可见，只，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。
12、用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶1010次，每次命次，每次命中的环数如下：中的环数如下：甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 47 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 79 5 7 8 7 6 8 6 7 7问题：如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价问题：如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价
13、?如果看两人本次射击的平均成绩，由于如果看两人本次射击的平均成绩，由于77xx 甲甲乙乙，两人射击的平均成绩是一样的。那么两个人的水两人射击的平均成绩是一样的。那么两个人的水平就没有什么差异吗平就没有什么差异吗?平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断。因为这个也会使我们作出对总体的片面判断。因为这个平均数掩盖了一些平均数掩盖了一些极端的情况极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽略的。因此，而这些极端情况显然是不能忽略的。因此，只有平只有平均数还难以概括样本数据的实际状态均数还难以概括样本数据的实际状
14、态。（四）标准差（四）标准差高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)45678910环数环数频率频率0.10.20.3(甲甲)456789 100.10.20.30.4环数环数频率频率(乙乙)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)直观上看，还是有差异的。如：甲成绩比较分散，乙成直观上看，还是有差异的。如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中绩相对集中(如图示如图示)。即
15、甲、乙的成绩相对于他们的平均成绩的离散程度不同。即甲、乙的成绩相对于他们的平均成绩的离散程度不同。在数学中，刻画在数学中，刻画数据相对于平均数的离散程度数据相对于平均数的离散程度，经常，经常用用标准差或方差标准差或方差222121()()()nsxxxxxxn12,.,nx xxx假假设设样样本本数数据据是是表表示示这这组组数数据据的的平平均均数数,则则表示这组数据的标准差表示这组数据的标准差2s 标标准准差差的的平平方方方方差差2222121()()()nsxxxxxxn高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本
16、的数字特征估计总体的数字特征(1)直观上看，还是有差异的。如：甲成绩比较分散，乙成直观上看，还是有差异的。如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中绩相对集中(如图示如图示)。因此，我们还需要从另外的角度。因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组。例如：在作统计图、表时提到过的极差。来考察这两组。例如：在作统计图、表时提到过的极差。甲的环数极差甲的环数极差=10-4=6乙的环数极差乙的环数极差=9-5=4.考察样本数据的分散程度的大小考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是最常用的统计量是标准标准差差.标准差是样本平均数的一种标准差是样本平均数的一种平均距离平均距离,一般用一般用s表示表示所谓所
17、谓“平均距离平均距离”，其含义可作如下理解：，其含义可作如下理解：12,.,nixxxxxx 假假设设样样本本数数据据是是表表示示这这组组数数据据的的平平均均数数到到 的的距距离离是是(1,2,)ixx in 高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)12nxxxxxxSn 由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差常改用如下公式来计算标准差222121()()()nsxxxxxxn12,.,nixxxxxx 假假
18、设设样样本本数数据据是是表表示示这这组组数数据据的的平平均均数数到到 的的距距离离是是（四）标准差（四）标准差高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)由由 可以知道可以知道,甲的成绩离散程度大甲的成绩离散程度大,乙的成绩乙的成绩离散程度小离散程度小.由此可以估计由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定乙比甲的射击成绩稳定.122xx 显然，显然，标准差越大，则标准差越大，则a越大，数据的离散程度越越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小大；标准差越小，数据的离散程度越小
19、。用计算器可得用计算器可得ss 甲甲乙乙21 095ss 甲甲乙乙，上面两组数据的上面两组数据的离散程度与标准差之间的关系离散程度与标准差之间的关系可可用图直观地表示出来用图直观地表示出来.45678910s甲甲s乙乙1x2xa122121,.22xxxxxxa 其其样样本本的的标标准准差差为为，记记一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示:考虑一个容量为考虑一个容量为2的样本的样本:高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(
20、1)例例2、画出下列四组样本数据的条形图画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点说明它们的异同点.(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8；解：解：四组样本数据的条形图是四组样本数据的条形图是:二、应用举例二、应用举例5x S=0.00频率频率o1 23 4 56 7 80.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0(1)5x S=0.820.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0(2)频率频率o1 23 4 56 7 8高中数学人
21、教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)5x S=1.495x S=2.83 四组数据的平均数都是四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是，标准差分别是0.00，0.82，1.49，2.83。虽然它们有相同的平均数，但是它们有不同的标虽然它们有相同的平均数，但是它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。准差，说明数据的分散程度是不一样的。1 23 4 56 7 8频率频率o0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0(3)频率频率o1 23 456 7 80.10.
22、20.30.40.50.60.70.80.91.0(4)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释。例标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释。例如，在关于居民月均用水量的例子中，平均数：如，在关于居民月均用水量的例子中，平均数：1.973x 标准差标准差s=0.868，所以，所以2.841,23.7091.105,20.237.xsxsxsxs 100,这这个个数数据据中中 2,2 0.237,3.7094xs xs在在区区间间外外的的只只
23、有有 个个2,2 xs xs也也就就是是说说 几几乎乎包包含含了了所所有有样样本本数数据据2,:s 标标准准差差的的平平方方方方从从数数学学的的角角度度考考虑虑 人人们们有有时时用用来来代代替替标标准准差差，作作为为测测量量样样本本数数据据分分散散程程度度的的工工具具差差2222121()()()nsxxxxxxn高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)例例2、甲乙两人同时生产内径为甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件的一种零件.为为了对两人的生产质量进行评比了对两人的
24、生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽从他们生产的零件中各抽出出20件件,量得其内径尺寸如下量得其内径尺寸如下(单位单位:mm)甲甲 25.46,25.32,25.45,25.39,25.36 25.34,25.42,25.45,25.38,25.42 25.39,25.43,25.39,25.40,25.44 25.40,25.42,25.35,25.41,25.39乙乙 25.40,25.43,25.44,25.48,25.48 25.47,25.49,25.49,25.36,25.34 25.33,25.43,25.43,25.32,25.47 25.31,25.32,25.32,25
25、.32,25.48 从生产的零件内径的尺寸看从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高谁生产的质量较高?高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)解解:用计算器计算可得用计算器计算可得:25.40125,406;0.0370.068xxss甲甲乙乙甲甲乙乙，.ss 甲甲乙乙，因因此此甲甲生生产产的的零零件件内内径径比比乙乙的的稳稳定定程程度度高高得得多多，于于是是可可以以作作出出判判断断，甲甲生生产产的的零零件件的的质质量量比比乙乙的的高高一一些些 从样本平均数看从样本平均数看,甲
26、生产的零件内径比乙生产的更甲生产的零件内径比乙生产的更接近内径标准接近内径标准(25.40mm),但是差异很小但是差异很小;从样本标准从样本标准差看差看,由于：由于：高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)例例3、求下列数据的标准差和方差求下列数据的标准差和方差（1）5，7，7，8，10，11（2）10，14，14，16，20，22（3）7，9，9，10，12，13高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2
27、用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)12121,.,.()2nmx xxhyyykhknhmkmhnkhkABCDmnmnmn 、已已知知两两组组样样本本数数据据的的平平均均数数为为，的的平平均均数数为为，则则把把两两组组数数据据合合并并成成一一组组以以后后，这这组组样样本本的的平平均均数数为为、B四、针对性练习四、针对性练习2、已知一组数据为、已知一组数据为-1,0,4,x,6,15,且这组数据的中位且这组数据的中位数为数为5,那么这组数据的众数为那么这组数据的众数为()A、4 B、5 C、6 D、15C高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数
28、学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)3、如果一组数中每个数加上同一个非零常数，则这、如果一组数中每个数加上同一个非零常数，则这一组数的一组数的()A、平均数不变，标准差不变、平均数不变，标准差不变 B、平均数改变，标准差改变、平均数改变，标准差改变 C、平均数不变，标准差改变、平均数不变，标准差改变 D、平均数改变，标准差不变、平均数改变，标准差不变D四、针对性练习四、针对性练习2()1242sAsBsCsDs4 4、一一组组数数据据的的标标准准差差是是，将将这这组组数数据据中中的的每每个个数数据据都都乘乘以以，得得到到的的一一组组新新数数据据的的标标准准差
29、差是是、C高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)1281285,6226,26,26x xxxxx、数数据据的的平平均均数数为为，标标准准差差为为，则则数数据据的的平平均均数数为为，方方差差为为166四、针对性练习四、针对性练习9101150,20 xyxy 即即2211(10)(10)10 xy 22220()192,()220()192,96xyxyxyxyxyxy 9669 10 11102_.xyxy 、已已知知样样本本，的的平平均均数数是是，标标准准差差是是，则则高中
30、数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)2740562_,_.、若若个个数数据据的的平平方方和和是是，平平均均数数是是，则则这这组组数数据据的的方方差差是是标标准准差差是是9103 1010四、针对性练习四、针对性练习高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)222121()()()nsxxxxxxn2.标准差计算公式标准差计算公式3.方差计算公式方差计算公式2222121()()()nsxxxxxxn1.学会从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数学会从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数五、课时小结五、课时小结高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)高中数学人教A版必修3课件-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)
