1、学 海 无 涯 北师北师版版七年七年级级数学数学下下册易册易错错题综题综合合训练训练 一、易错填空题一、易错填空题1，已知DEFABC，AB=AC，且ABC 的周长为 23cm，BC=4 cm，则DEF的边中必有一条边等于；2，已知ABC 与DEF 全等，A=D=90，B=37，则E 的度数是；3，如 图，在 ABC 中，D，E 分 别 是 边 AC，BC 上 的 点，若ADBEDBEDC，则C=度；4，如 图，ABCEFC，CF=3cm，CE=4cm，F=36，则 BC=cm，B=度；5，一个三角形的三边为 2、5、x，另一个三角形的三边为 y、2、6，若这两个 三角形全等，则 x+y=；6
2、，如图，已知ACFDBE，E=F，AD=9cm，BC=5cm，AB 的长为 cm；（第 3 题图）（第 4 题图）（第 5 题图）7如图，等腰ABC 中，AB=AC，DBC=15，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点D，则A 的度数是（7 题图）（8 题图）8如图，ABC 中，CAB=120，AB，AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F，则 EAF=一易错选择题一易错选择题1.如图，在第 1 个A1BC 中，B=30，A1B=CB；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1 到 A2，使 A1A2=A1D，得到第 2 个A1A2D；在边 A2D 上任取一点 E，1学 海 无 涯 延长
3、 A1A2 到 A3，使 A2A3=A2E，得到第 3 个A2A3E，按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度数是（）A.（）n75B（）n165 C（）n175 D（）n85（1题）（2题）（3 题）2.在ABC 中，BAC=90，AB=3，AC=4，AD 平分BAC 交 BC 于 D，则 BD 的 长 为（）A.BCD3.如图，在等边ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，且 BD=AE，AD 与 CE 交于点 F，作 CMAD，垂足为 M，下列结论不正确的是（）AAD=CE BMF=CF CBEC=CDADAM=CM4.长为 3cm，4cm，6cm，8cm
4、 的木条各两根，小明与小刚分别取了 3cm 和 4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三 根木条应为（）A、一个人取 6cm 的木条，一个人取 8cm 的木条;B、两人都取 6cm 的木条;C、两人都取 8cm 的木条;D、B,C 两种取法都可以 5.下列命题：有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；有两条边和第 三条边上的高对应相等的两个三角形全等其中正确的是（）A.B.C.D.6.如图所示，1=2，AEOB 于 E，BDOA 于 D，交点为 C，则 图中全等三角形共有（）2学 海 无 涯 A.
5、2 对 B.2 对 C.4 对 D.5 对 7.下列说法中，正确的有（）8.三角对应相等的 2 个三角形全等；三边对应相等的 2 个三角形全等；对 应个 在 下 定两角、一边相等的 2 个三角形全等；两边、一角相等的 2 个三角形全等 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.49.11，如图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且B=C，则 列条件：AB=AC；AD=AE；BE=CD其中能判ABEACD 的 有（）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 10.ABC 中，AB=AC，三条高 AD，BE，CF 相 交于 O 那么图中全等的三角形有（）A.5 对 B.6 对 C.7 对 D
6、.8 对 11.如图，已知 AB=AC，D 是 BC 的中点，E 是 AD 上的一点，图中全等三角形有几对（）A.1 B.2 C.3 D.4 12.不能判断ABCDEF 的条件是（）AA=F，BA=EF，AC=FD BB=E，BC=EF，高 AH=DG CC=F=90,A=60，E=30，AC=DF DA=D，AB=DE，AC=DF 13.如图，在ABC 与ADE 中，BAD=CAE，BC=DE，且 点 C 在 DE 上，若添加一个条件，能判定ABCADE，这个条件是（）ABAC=DAE BB=D CAB=AD DAC=AE 14.如图，FDAO 于 D，FEBO 于 E，下列条件：OF 是A
7、OB 的平分线；DF=EF；DO=EO；OFD=OFE其中能 够证明DOFEOF 的条件的个数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个15.如图，AB=AC，AD=AE，B=50，AEC=120 则DAC 的度数等于（）A120 B70 C60 D50 16.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相 等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A相等 B互 余 C互补或相等 D不相等 17.七（7）班徐同学想利用下列长度的木棒制成一个三角形工具，下列各组 你认为可行的是（）A5，2，2 B2，3，6 C5，3，4 D7，13，6 18.在ABC 中，A=47，高 BE、CF 所
8、在直线交于点 O，且点 E、F 不与 点 B、C 重 合，则 BOC=;19.下列说法中:只有两个三角形才能完全重合；如果两个图形全等，它 3学 海 无 涯 们的形状和大小一定都相同；两个正方形一定是全等图形；边数相同 的图形一定能互相重合;错误的有（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 20.对于条件：两条直角边对应相等；斜边和一锐角对应相等；斜边和 一直角边对应相等；直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角 形全等的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 21.下列说法中，正确的个数是（）1 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；2 有两边和它们的对应夹角相等的两个直角
9、三角形全等；3 一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；4 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;A1 个B2 个C3 个D4 个22.如图，1=70，若 m n，则2=度23.如图，ABCD，B=28，D=47，则BED=度（第 21 题图）（第 22 题图）（第 23 题图）24.如图，直线 l1l2，ABl1，垂足为 O，BC 与 l2 相交于点 E，若1=43，则2=度；25.下列所示的四个图形中，1 和2 是同位角的是（）A B C C 26.在图中，1 与2 是同位角的有（）A B C D 4学 海 无 涯 26.已知：x+y=-1，xy=-6，求：x2+y2 及 x-y 的值；
10、527.解方程：（2x+3）（x-4）-（x+2）（x-3）=x2+6推理推理填填空：空：1，已知：如图，DGBC，ACBC，EFAB，1=2，求证：CDAB 证明：DGBC，ACBC（已知）DGB=ACB=90（垂直定义）DGAC（2=（）1=2（已知）1=（等量代换）EFCD（EFCD（AEF=（EFAB（已知）AEF=90（ADC=90（CDAB（2，如图，已知A=F，C=D，试说明 BDCE；解：A=F（）ACDF（）D=1（）又C=D（）1=C（）BDCE（）学 海 无 涯 3如图 1，CE 平分ACD，AE 平分BAC，且EAC+ACE=90（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系
11、，并说明理由；（2）如图 2，当E=90且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当直角顶点 E 点移动时，写出BAE 与ECD 的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，P 为线段 AC 上一定点，点 Q 为直线 CD 上一动点，且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当点 Q 在射线 CD 上运动时（点 C 除外），CPQ+CQP 与BAC 有何数量关系？写出结论，并加以证明6学 海 无 涯 4已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作ACD 和BCE，且 CA=CD，CB=CE，ACD=BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F（1）如图 1，若ACD=60
12、，则AFB=；2如图 2，若ACD=，则AFB=（用含 的式子表示）；3将图 2 中的ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度（交点 F 至少在 BD、AE 中 的一条线段上），如图 3试探究AFB 与 的数量关系，并予以证明5在ABC 中，AB=AC，点 D 是直线 BC 上一点（不与点 B、点 C 重合），以 AD为一边在 AD 的右侧作ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，连接 CE1如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，如果BAC=90，则BCE=；2如图 2，当点 D 在线段 BC 上时，如果BAC=50，请你求出BCE 的度数（写出求解过程）；7学 海 无 涯（3）探索发现，设BA
13、C=，BCE=如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写 出你的结论：当点 D 在线段 CB 的延长线上时，则，之间有怎样的数量关系？请在图 3中画出完整图形并请直接写出你的结论：6如图，ABC 是等边三角形，点 E、F 分别在边 AB 和 AC 上，且 AE=BF（1）求证：ABEBCF；（2）若ABE=20，求ACF 的度数；（3）猜测BOC 的度数并证明你的猜想8学 海 无 涯 7如图是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形纸片，其长方形的面积显然为 4ab，现将此长方形纸片沿图中虚线剪开，分成 4 个小长方形，然后拼成一个如图的 一个长方形1图中阴影正方
14、形 EFGH 的边长为；2观察图，代数式（ab）2 表示哪个图形的面积？代数式（a+b）2 呢？3用两种不同方法表示图中的阴影正方形 EFGH 的面积，并写出关于代数 式（a+b）2、（ab）2 和 4ab 之间的等量关系4根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若 a+b=7，ab=5，求（ab）2 的值9学 海 无 涯 8在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MNBC，过点 B 为一锐角顶点作 RtBDE，BDE=90，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合），如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易证：BD=DP（无需写证明过程）（1）在
15、图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给 予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明10学 海 无 涯 9如图，点 E 是ABC 的边 AC 的反向延长线上一点，ADBC 于点 D，EGBC于点 G，E=3请问：AD 平分BAC 吗？请说明理由（9 题图）11学 海 无 涯 10在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，ADC 和CEB 全等吗
16、？请说明 理由；12（2）聪明的小亮发现，当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，可得 DE=AD+BE，请你说明其中的理由；（3）小亮将直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置，发现 DE、AD、BE 之间存在着一个新的数量关系，请直接写出这一数量关系学 海 无 涯 11如图，在ABC 中，AB=AC=2，B=C=40，点 D 在线段 BC 上运动（D 不 与 B、C 重合），连接 AD，作ADE=40，DE 交线段 AC 于 E（1）当BDA=115时，EDC=，DEC=；点 D 从 B 向 C 运动时，BDA 逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当 DC 等于多少时，ABDDCE
17、，请说明理由；（3）在点 D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA 的度数若不可以，请说明理由（11 题图）（12 题图）1312如图，ABC 中，D 是 BC 的中点，ACBG，直线 FG 过点 D 交 AC 于 F，交BG 于 G 点，DEGF，交 AB 于点 E，连结 GE、EF（1）求证：BG=CF；（2）请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理由13如图，A 为 x 轴负半轴上一点，C（0，2），D（3，2）（1）求BCD 的面积；学 海 无 涯（2）若 ACBC，作CBA 的平分线交 CO 于 P，交 CA 于 Q，判断CPQ 与CQ
18、P 的大小关系，并说明你的结论（3）若ADC=DAC，点 B 在 x 轴正半轴上任意运动，ACB 的平分线 CE 交DA 的延长线于点 E，在 B 点的运动过程中，E 与ABC 的比值是否变化？若不 变，求出其值；若变化，说明理由14学 海 无 涯 14以点 A 为顶点作等腰 RtABC，等腰 RtADE，其中BAC=DAE=90，如 图 1 所示放置，使得一直角边重合，连接 BD、CE（1）试判断 BD、CE 的数量关系，并说明理由；（2）延长 BD 交 CE 于点 F 试求BFC 的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图 2 放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由 15学 海
19、无 涯 相交线与平行线相交线与平行线1.1.未正未正确确理解垂线的定义理解垂线的定义 1下列判断错误的是（）.A.一条线段有无数条垂线；B.过线段 AB 中点有且只有一条直线与线段 AB 垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为 90，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.错解错解：A 或 B 或 C.解析：解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为 90 的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.正解正解：D.2.2.未正未正确确理解垂线段、点到直线的距离理解垂线段、点到直线的距离 2下列判断正确的是（）.A.从直线外一点到已知直
20、线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；C.画出已知直线外一点到已知直线的距离；D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.错解错解：A 或 B 或 C.解析：解析：本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义.A.这种说法是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.仅仅 有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的 长度”就是错误的；C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到
21、数量，这 句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.正解正解：D.3.3.未准未准确确辨认同位角、内错角、同旁内角辨认同位角、内错角、同旁内角16学 海 无 涯 3如图所示，图中共有内错角（）.A.2 组；B.3 组；C.4 组；D.5 组.错解错解：A.解析：解析：图中的内错角有AGF 与GFD，BGF 与GFC，HGF 与GFC 三组.其中 HGF 与GFC 易漏掉。正解正解：B.4.4.对平对平行行线的概念、平行公理理解有误线的概念、平行公理理解有误 4下列说法：过两点有且只有一条直线；两条直线不平行必相交；过一点有 且只有一条直线与已知直线垂直；过一点有且只
22、有一条直线与已知直线平行.其中正确的有（）.A.1 个；B.2 个；C.3 个；D.4 个.错解错解：C 或 D.解析解析：平行线的定义必须强调“在同一平面内”的前提条件，所以是错误的，平行公理中 的“过一点”必须强调“过直线外一点”，所以是错误的，是正确的.正解正解：B.5.5.不能不能准准确识别截线与被截直线，从而误判直线平行确识别截线与被截直线，从而误判直线平行 5如图所示，下列推理中正确的有（）.因为14，所以 BCAD；因为23，所以 ABCD；因为BCDADC180，所以 ADBC；因为12C180，所以 BCAD.A.1 个；B.2 个；C.3 个；D.4 个.错解错解：D.17
23、学 海 无 涯 解析：解析：解与平行线有关的问题时，对以下基本图形要熟悉：“”“”“”，只有推理正确.正解正解：A.6.6.混淆混淆平平行线的判定和性质、忽略平行线的性质成立的前提条件行线的判定和性质、忽略平行线的性质成立的前提条件 6如图所示，直线，170，求2 的度数.错解错解：由于，根据内错角相等，两直线平行，可得12，又因为170，所 以270.解析：解析：造成这种错误的原因主要是对平行线的判定和性质混淆.在运用的时候要注意：（1）判定是不知道直线平行，是根据某些条件来判定两条直线是否平行；（2）性质是知道两直线平行，是根据两直线平行得到其他关系.正解：正解：因为（已知），所以12（两
24、直线平行，内错角相等），又因为170（已知），所以270.7.7.对命对命题题这一概念的理解不透彻这一概念的理解不透彻 7判断下列语句是否是命题.如果是，请写出它的题设和结论.（1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）画一个 60的角.错解错解：（1）（2）不是命题，（3）是命题.解析解析：对于命题的概念理解不透彻，往往认为只有存在因果关系的关联词才是命题，正确认 识命题这一概念，关键要注意两点，其一必须是一个语句，是一句话；其二必须存在判断关系，即“是”或“不是”.正解：正解：（1）是命题.这个命题的题设是：两条直线被第三条直线所截；结论是：内错角相等.这个 命题是一 个错误的命题，即假命题
25、.18学 海 无 涯 （2）是命题.这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等.这个命题是一 个正确的 命题，即真命题.（3）不是命题，它不是判断一件事情的语句.8.8.忽视忽视平平移的距离的概念移的距离的概念 8“如图所示，ABC是ABC 平移得到的，在这个平移中，平移的距离是线 段 AA”这句话对吗？错解错解：正确.解析解析：平移的距离是指两个图形中对应点连线的长度，而不是线段，所以在这个平移过程中，平移的距离应该是线段 AA的长度.正解：正解：错误.第六第六章章 平面直角坐标系平面直角坐标系1.1.不能不能确确定点所在的象限定点所在的象限的坐标满足，试确定点 A 所在的象限.
26、1点 A 错解错解：因为，所以，所以点 A 在第一象限.解析解析：本题出错的原因在于漏掉了当，时，的情况，此时点 A 在第三象限.正解正解：因为，所以为同号，即，或，.当，时，点 A 在第三象限.时，点 A 在第一象限；当，2.2.点到点到 x x 轴、轴、y y 轴的距离易混淆轴的距离易混淆 2求点 A（-3，-4）到坐标轴的距离.错解错解：点 A（-3，-4）到 轴的距离为 3，到轴的距离为 4.解析：解析：错误的原因是误以为点 A（）到 轴的距离等于，到轴的距离等于，19学 海 无 涯 而事实上，点 A（）到 轴的距离等于，到轴的距离等于，不熟练时，可结合图形进行分析.正解：正解：点 A
27、（-3，-4）到 轴的距离为 4，到轴的距离为 3.第八第八章章 二元一次方程组二元一次方程组1.1.不能不能正正确理解二元一次方程组的定义确理解二元一次方程组的定义 1已知方程组：，正确的说法是（）.A.只有是二元一次方程组；B.只有是二元一次方程组；C.只有是二元一次方程组；D.只有不是二元一次方程组.错解错解：A 或 C.解析：解析：方程组是二元一次方程组，符合定义，方程组是二元一次方程组，符合定义，而且是最简单、最特殊的二元一次方程组.正解正解：D.2.2.将方将方程程相加减时弄错符号相加减时弄错符号 2用加减法解方程组.错解错解：得，所以，把代入，得，解得.所以原方程组的解是.错解解
28、析：错解解析：在加减消元时弄错了符号而导致错误.正解正解：得，所以，把代入，得，解得.所以原方程组的解是.3.3.将方将方程程变形时忽略常数项变形时忽略常数项20学 海 无 涯 3利用加减法解方程组.错解错解：2得，解得.把代入得，解得.所以原方程组的解是.错解解析：错解解析：在2这一过程中只把左边各项都分别与 2 相乘了，而忽略了等号右边的常数项 4.正正解解：2得，解得.把代入得，解得.所以原方程组的解是.4.4.不能不能正正确找出实际问题中的等量关系确找出实际问题中的等量关系 4两个车间，按计划每月工生产微型电机 680 台，由于改进技术，上个月第一车间 完成计划的 120，第二车间完成
29、计划的 115，结果两个车间一共生产微型电机 798 台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？若设两车间上个月各生产微型电机 台和台，则列方 程组为（）.A.；B.；C.D.21 错解错解：B 或 D.解析解析：错误的原因是等量关系错误，本题中的等量关系为：（1）第一车间实际生产台数第 二车间实际生产台数798 台；（2）第一车间计划生产台数第二车间计划生产台数680 台.学 海 无 涯 正解：正解：C.第九第九章章 不等式与不等式组不等式与不等式组1.1.在运在运用用不等式性质不等式性质 3 3 时，未改变符号方向时，未改变符号方向.1利用不等式的性质解不等式：错解错解：根据不等式性质 1
30、 得，即.根据不等式的性质 3，在两边同除以-5，得.解析：解析：在此解答过程中，由于对性质 3 的内容没记牢，没有将“”变为“”，从而得出 错误结果.正解正解：根据不等式的性质 1，在不等式的两边同时减去 5，得，根据不等式的性质 3，在不等式的两边同时除以-5，得.2.2.利用利用不不等式解决实际问题时，忽视问题的实际意义，取值时出现错误等式解决实际问题时，忽视问题的实际意义，取值时出现错误 2某小店每天需水 1m，而自来水厂每天只供一次水，故需要做一个水箱来存水.要 求水箱是长方体，底面积为 0.81，那么高至少为多少米时才够用？（精确到 0.1m）错解错解：设高为 m 时才够用，根据题
31、意得.由.要精确到 0.1，所以.答：高至少为 1.2m 时才够用.解析：解析：最后取解时，没有考虑到问题的实际意义，水箱存水量不得小于 1m，如果水箱的高为时正好够，少一点就不够了.故最后取近似值一定要大于，即取近似值时只能入而不能舍.由于，而要精确到 0.1，正解：正解：设高为 m 时才够用，根据题意得所以.答：水箱的高至少为 1.3m 时才够用.223.3.解不解不等等式组时，弄不清式组时，弄不清“公共部公共部分分”的含义的含义学 海 无 涯 3解不等式组.错解错解：由得，由得，所以不等式组的解集为.错解解析错解解析：此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（
32、即解集）.实质上，和没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解.注意：“公共部 分”就是在数轴上两线重叠的部分.正解：正解：由得，由得，所以不等式组无解.第十第十章章 数据的收集、整理与描述数据的收集、整理与描述1.1.全面全面调调查与抽样调查选择不当查与抽样调查选择不当 1调查一批药物的药效持续时间，用哪种调查方式？错解错解：全面调查.解析：解析：此调查若用全面调查具有破坏性，不宜采用全面调查.正解：正解：抽样调查.2.2.未正未正确确理解定义理解定义 22006 年 4 月 11 日文汇报报道：据不完全统计，至今上海自愿报名去西部地区 工作的专业技术人员和管理人员已达 3600 多人，其中硕
33、士、博士占 4，本科生占 79，大专生占 13.根据上述数据绘制扇形统计图表示这些人员的学历分布情况.错解错解：如下图所示：解析解析：漏掉其他人员 4，扇形表示的百分比之和不等于 1，正确的扇形统计图表示的百分 比之和为 1.正解：正解：如下图所示：23学 海 无 涯 3.3.对频对频数数与频率的意义的理解错误与频率的意义的理解错误 3某班组织 25 名团员为灾区捐款，其中捐款数额前三名的是 10 元 5 人，5 元 10 人，2 元 5 人，其余每人捐 1 元，那么捐 10 元的学生出现的频率是.错解错解：捐 10 元的 5 人，.解析：解析：该题的错误是因为将 5105 作为总次数，实际上
34、应是 25 为总次数，这其实是对频率概念错误理解的结果.正解正解：0.224二元一次方程二元一次方程组组应用探应用探索索二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数一、数字字问题问题例 1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的 数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数分析：设这个两位数十位上的数为 x，个位上的数为 y，则这个两位数及新两位数及其之间 的关系可用下表表示：10 x y x y 9解方程组x 1，得10 y x 10
35、x y 27 y 4，因此，所求的两位数是 14点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这 个两位数为 x，或只设十位上的数为 x，那将很难或根本就想象不出关于 x 的方程一般地，与十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10 x+y10 x+y=x+y+9新两位数y10y+x10y+x=10 x+y+27学 海 无 涯 数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之 二、二、利利润润问问题题例 2 一件商品如果按定价打九折出售
36、可以盈利 20%；如果打八折出售可以盈利 10 元，问此 商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为 x 元，进价为 y 元，则打九折时的卖出价为 0.9x 元，获利(0.9x-y)元，因此得方程 0.9x-y=20%y；打八折时的卖出 价为 0.8x 元，获利(0.8x-y)元，可得方程 0.8x-y=10.解方程组0.8x y 10，解得0.9x y 20%yx 200y 150，因此，此商品定价为 200 元点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的 计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价
37、利润率（盈利百分数）特 别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念三、配三、配套套问问题题例 3 某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺 栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数1因此，设安 排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓 25个，螺母 20个，依题意，得x y 120 x 20，解之，得50 x 2 20 y 1
38、 y 100故应安排 20 人生产螺栓，100 人生产螺母点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套 成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两 种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即ab25甲产品数乙产品数；（2）“三合一”问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品学 海 无 涯 数应满足的相等关系式是：a26bc甲产品数乙产品数丙产品数四、行四、行程程问问题题例 4 在某条高速公路上依次排列着 A、B、C 三个
39、加油站，A 到 B 的距离为 120 千米，B 到 C 的距离也是 120 千米分别在 A、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的 速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同 的速度分别往 A、C 两个加油站驶去，结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上 的巡逻车堵截住，而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上 问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x、y 千米/时，则 3 x y 120 x y 120，整理，得，解得x y 40 x 80 x y 120y 40
40、，因此，巡逻车的速度是 80 千米/时，犯罪团伙的车的速度是 40 千米/时点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着 一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离 五、货五、货运运问问题题典例 5 某船的载重量为 300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨
41、？分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的 体积等于船的容积”设甲种货物装 x 吨，乙种货物装 y 吨，则，整理，得x y 300 x y 3006x 2 y 12003x y 600，解得x 150y 150，因此，甲、乙两重货物应各装 150 吨点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先 化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是去分母或两边同时 除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等六、工六、工程程问问题题学 海 无 涯 例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定
42、期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装 150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成4订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服 200 套，这样不5仅比规定时间少用 1 天，而且比订货量多生产 25 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是 x 套，要求的期限是 y 天，依题意，得527150 y 4 x200 y 1 x 25x 3375，解得 y 18.点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间”其次注 意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量
