1、,函数项级数的一致收敛性,*第六节,一、函数项级数的一致收敛性,及一致收敛级数的基本性质,二、一致收敛级数的基本性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、函数项级数的一致收敛性,幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数,项级数则不一定有这么好的特点.,例如, 级数,每项在 0,1 上都连续,其前 n 项之和为,和函数,该和函数在 x1 间断.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为对任意 x 都有:,所以它的收敛域为 (, +) ,但逐项求导后的级数,其一般项不趋于0,所以对任意 x 都发散 .,又如, 函数项级数,问题: 对什么样的函数项级数才有:,逐项连续,和函数连续
2、;,逐项求导 = 和函数求导;,逐项积分 = 和函数积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,设 S(x) 为,若对,都有一个只依赖于 的自然数 N ,使,当n N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有,则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) .,在区间 I 上的和函数,任意给定的 0,显然, 在区间 I 上,一致收敛于和函数S(x),部分和序列,一致收敛于S(x),余项,一致收敛于 0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,几何解释 : (如图),当n N 时,曲线,总位于曲线,之间.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,研究级数,在区间 0, +) 上的收敛性.,解
3、:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,余项的绝对值:,因此, 任给 0,取自然数,则当n N 时有,这说明级数在 0, +) 上一致收敛于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,证明级数,在 0,1 上不一致收敛 .,证:,取正数,对无论多么大的正数 N ,因此级数在 0, 1 上不,一致收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,对任意正数 r 1,级数在 0, r 上一致收敛 .,事实上, 因为在 0, r 上,任给 0,欲使,只要,因此取,只要,即级数在 0, r 上一致收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法,用一致
4、收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出,这往往比较困难.,下面介绍一个较方便的,判别法.,若函数项级数,在区间 I 上满足:,则函数项级数,在区间 I 上一致收敛 .,简介 目录 上页 下页 返回 结束,证:,由条件2), 根据柯西审敛原理,当,n N 时,对任意正整数 p , 都有,由条件1), 对 x I , 有,故函数项级数,在区间 I 上一致收敛 .,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论.,若幂级数,的收敛半径 R 0 ,则此级,数在 (R, R ) 内任一闭区间 a , b 上一致收敛 .,证:,则对 a , b 上的一切 x , 都有,由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数
5、,绝对收敛 ,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.,说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛,区间可包含此端点.,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,证明级数,在(, +) 上 一致收敛 .,证:,而级数,收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数,在 (, +) 上 一致收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收,敛性,而且能判别其绝对收敛性.,当不易观察到不等式,可利用导数求,例如, 级数,用求导法可得,已知,收敛,因此原级数在0, +) 上一致收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、一致收敛级数的基本性质,定理1
6、.,若级数,证:,只需证明,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为级数,一致收敛于S (x) ,使当 n N 时, 有,对这样选定的 n ,从而必存在 0 ,从而得,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数,极限运算与无限,求和运算可交换,即有,(2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.,例如, 级数,在区间 0 , 1 上处处收敛,而其和函数,在 x = 1 处不连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,若级数,则该级数在 a, b 上可逐项积分,且上式右端级数在 a, b 上也一致收敛 .,证: 因为,机
7、动 目录 上页 下页 返回 结束,所以只需证明对任意,一致有,根据级数的一致收敛性,使当,n N 时, 有,于是, 当 n N 时, 对一切,有,因此定理结论正确.,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.,例如, 级数,它的部分和,因此级数在 0 , 1 上,收敛于 S (x) = 0 ,所以,但是,为什么对级数定理结论不成立?,分析它是否满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 条件.,级数的余项,可见级数在 0, 1 上不一致收敛 ,此即定理2 结论,对级数不成立的原因.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.,若级数,且
8、可逐项求导, 即,证:,先证可逐项求导.,根据定理2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式两边对 x 求导, 得,再证,根据定理 2 ,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,级数一致收敛并不保证可以逐项求导.,例如, 例3中的级数,说明:,在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数,其一般项不趋于 0,所以对任意 x 都发散 .,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,证明函数,对任意 x 有连续导数.,解:,显然所给级数对任意 x 都收敛 ,且每项都有连续,导数,而逐项求导后的级数,故级数在 (,+),上一致收敛,故由定理3可知,再由定理1可知,机动 目录 上页 下页 返回
9、 结束,定理4 . 若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即,证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯,特拉斯判别法的推论及定理 1, 2 立即可得 .,下面证明逐项可导的结论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,则,由比值审敛法知级数,故,故存在 M 0 , 使得,由比较审敛法可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上一致收敛,故原级数,内任一闭区间,上满足定理3条件,从而可逐项求导,即知,再证级数,的收敛半径,由前面的证明可知,若将幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,级数的收敛半径不会缩小,因逐项积分所得,幂级数,(R, R ) 内有任意阶导数,且有,其收敛半径都为 R .,推论.,的和函数 S (x) 在收敛区间,证毕,作业 P237 1; 3(2); 4(2), (4), (5),第七节 目录 上页 下页 返回 结束,维尔斯特拉斯 (1815 1897),德国数学家.,他的主要贡献是在函数,论及分析学方面.,1854年, 他解决了椭圆,以后还建立了椭圆函,数的新结构.,他在分析学中建立了实数,理论,引进了极限的 定义,定义及性质,还构造了一个处处不可微的连续函数:,积分的逆转问题,给出了连续函数的严格,为分析学的算术化作出了重要贡献 .,
