1、第三章第三章 集中量数集中量数第一节第一节 算术平均数算术平均数第二节第二节 中位数与众数中位数与众数第三节第三节 加权平均数、几何平均数、调和平均数加权平均数、几何平均数、调和平均数第一节 算术平均数n一、概念及计算公式n（一）概念n算术平均数(mean)，是所有观测值（或变量值）的总和除以总数所得的商。简称平均数、均数或均值。n符号：样本平均数 、（Mean），总体平均数XMn（二）计算公式 1、未分组数据计算平均数方法 公式一：例3-1：现有一组实验观测数据，25，27，28，27，25，29，30，34，32，33。计算它们的平均数。解：根据题意，已知N=10，根据公式：NXXi291
2、02901033.2725X公式二：NxAMX291020272、使用次数分布表计算平均数方法 公式一：公式二：ffmXiNfdAMX例3-2：100名学生的数学成绩分布如下，计算平均数。表3-1 简化平均数计算表 二、平均数的特点1、一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积，即2、一组变量值的离均差之和等于零，即3、在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以常数 。XNX0XXc三、平均数的意义 平均数是应用最普遍的一种集中量数；是真值渐进、最佳的估计值；当观测次数无限增加时，算术平均数趋近于真值。四、平均数的优缺点优点优点：反应
3、灵敏、计算严密、计算简单、简明容易理解、适合进一步代数运算、较少受到抽样变动的影响。缺点缺点：容易受极端数据影响；如果出现模糊不清的数据，无法使用。五、计算和应用平均数的原则1、同质性原则：使用同一个观测手段，采用相同的观测标准，能反映某一问题的同一方面特质的数据2、平均数与个体值相结合的原则3、平均数与标准差、方差相结合的原则 第二节 中位数与众数一、中数 中位数又称中点数，简称中数，用符号 或 表示，是位于按一定顺序排列的一组数中央位置中央位置的数值。中数是一种位置量数位置量数。MdMdn二、中数的计算（一）未分组数据的计算1、中数附近无重复数时若数据个数（N）为奇数时，中数则为 位置的那
4、个数。若数据个数（N）为偶数时，则中数为居于中间位置两个数的平均数21N12221NNXXMdn2、中数附近有重复数时有重复数时，需考虑重复数的影响。例：求11，11，11，11，13，13，13，17，17的中数。第一个13 第二个13 第三个13 12.50 12.833 13.166 13.499 中数为第一个13所在区间的组中值,为12.5+0.33/2=12.66。2、中数附近有重复数时有重复数时，需考虑重复数的影响。例：求11，11，11，11，13，13，13，17，17的中数。12.5-13.512.5-12.8312.83-13.1613.16-13.512.67中数为第一个
5、13所在区间的组中值,为12.5+0.33/2=12.66。（二）分组数据的计算（用于由低分组向高分组累积次数时）（用于由高分组向低分组累积次数时）)2(bMdbFNfiLMd)2(aMdFNfiLaMdn例3-3：求下表中的中数。求下表中的中数。表表3-2 中数计算表中数计算表分析过程 求累积次数，由下往上累加或由上往下累加。确定中数位置 。本例为71，则有 。在累积次数栏中找包含35.5的累积次数并确定中数所在的组。因为本例累积次数36包含了35.5，所以中数所在组为75-77。确定公式中各符号的内容，有 ，5.352712N5.74bL22bF14Mdf3i代入公式计算中数)2(bMdb
6、FNfiLMd)225.35(1435.74=77.4 二、众数(一)众数的定义 众数（Mode）是指一群数据中出现次数最多的那个数值，又称范数，用符号 表示。众数的确定方法Mo(二)众数的确定方法 1、直接观察法 未分组数据次数最多的数值 次数分布表次数最多一组的组中值2、公式计算法皮尔逊经验公式：金氏（W I King）插补法：XMdnMo23ifffLMbaabO三、平均数、中数与众数三者之间的关系1、正态分布 均数、中数、众数三个指标值相等，即2、偏态分布MoMdnX 3:1:MoXMdnXXMdnMo23第三节 加权平均数、几何平均数、调和平均数一、加权平均数 加权平均数是观测数据（
7、）与其相应权数（）乘积的和除以总权数（）所得的商，用符号 表示。权数是指各变量在构成总体中的相对重要性，权数的大小，由观测者依据一定的理论或实践经验而定。计算公式为 iXffXffXXi例3-4：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样人数和平均分数见下表，求总平均数。解：根据公式得，答：该项目调查8个省区的总平均分数应为86.97。例3-5：某学生的心理学成绩，平时为90，期中为80分，该学科平时、期末分数之比为3:7。试问该生的心理学成绩是多少？解：=答：该学生的心理学成绩为83分。X8373780390二、几何平均数（一）计算公式 NNigXXXXXXM.4321NXMgilglg
8、使用上面公式计算几何平均数时，要开多次方，使用上面公式计算几何平均数时，要开多次方，难于进行。因此，在计算时常用对数的方法，因难于进行。因此，在计算时常用对数的方法，因而，几何平均数有时又称对数平均数。对数计算而，几何平均数有时又称对数平均数。对数计算公式如下：公式如下：（二）应用 有极端值数据；心理物理学中等距、等比量表编制n例3-6：某一研究者想研究介于S与S二感觉之间的感觉的物理刺激是多少。他随机选10名被试，让其调节一个可变的物理刺激，使产生的感觉恰介于S与S之间。10名被试的结果如下：5.7、6.2、6.7、6.9、7.5、8.0、7.6、10.0、15.6、18.0。问这10名被试
9、二感觉之间的那个感觉的物理刺激平均值是多少？解：求反对数，得答：介于 感觉之间的那个感觉的物理刺激的平均值是8.552。9321.0)0.18lg.2.6lg7.5(lg101lgMg552.8Mg21SS 与2、计算一组数据的平均增长率例3-7：某校连续4年的毕业人数为：980，1100，1200，1300人，问毕业生平均增长率是多少？若该校毕业生一直按此增长率变化，问再过五年后的毕业人数是多少？解：已知 历年毕业人数 变化的比率 980 1100 1.1224 1200 1.0909 1300 1.0833 1300,1200,1100,980,44321XXXXN代入公式 1145342
10、312 NNNgXXXXXXXXXXM09873.13264.10833.10909.11224.1314Mg11NNXXMg)(2082)09876.1(13005人098767.132653.19801300314Mg三、调和平均数三、调和平均数(一)计算公式iiNHXNXNXXXNM1111)1.11(1121 调和平均数先将各个数据取倒数平均，然后调和平均数先将各个数据取倒数平均，然后再取倒数，表示符号为再取倒数，表示符号为M。主要用于描述速度方。主要用于描述速度方面的集中趋势。面的集中趋势。（二）应用 例3-8：某学生15分钟学会生词30个，后10分钟学会生词也是30个，问该生每分钟
11、平均学会多少？或平均学习速度 是多少？解：用倒数平均计算，先要求出单位时间的工作量。在此就要算出平均每分钟学会的生词数，即：代入公式得：答：该生学习生词的平均速度为 。31030,2153021XX4.21251)3121(211HM分字4.2例3-9：在一个学习实验中，统计了6名被试在2小时的解题量，依次为24题，20题，16题，12题，8题，4题。问这6名被试平均每小时解多少题？解：设六名被试单位时间解题数依次为,654321XXXXXX22241X102202X82163X62124X4285X2246X答：在这个实验中，六名被试平均解题速度为每小时4.9题。)(9.4147720)21416181101121(611小时题HM
