1、-1-9.1.2余弦定理课前篇自主预习一、余弦定理及其证明1.思考(1)余弦定理是如何证明的?提示:证法1 课本使用了向量的方法推导出了余弦定理,所以|c|2=cc=(b-a)2=a2-2ab+b2=a2-2|a|b|cos C+b2,所以c2=a2+b2-2abcos C.课前篇自主预习证法2(勾股定理法)在ABC中,已知边a,b及角C,求边c的长.如果C=90,那么可以用勾股定理求c的长;如果C90,那么是否仍可以用勾股定理来解呢?很自然的想法是构造直角三角形,以便于应用勾股定理进行计算.当C为锐角时(图),高AD把ABC分成两个直角三角形ADB和ADC;当C为钝角时(图),作高AD,则构
2、造了两个直角三角形ADB和ADC,算出c的关键是先算出AD和BD(或DC).AD=bsin C,DC=bcos C,BD=a-bcos C.在RtADB中,运用勾股定理,得c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcos C)2=a2+b2-2abcos C.同理可得b2=a2+c2-2accos B,a2=b2+c2-2bccos A.课前篇自主预习证法3 利用坐标法证明如图,建立直角坐标系,则A(0,0),B(ccos A,csin A),C(b,0)(写出三点的坐标).所以a2=b2+c2-2bccos A.课前篇自主预习证法证法4(用正弦定理证明用正弦定理证明)因为因为a=2Rsi
3、n A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.所以所以b2+c2-2bccos A=4R2(sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A)=4R2sin2B+sin2C+2sin Bsin Ccos(B+C)=4R2sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sin Bsin Ccos Bcos C=4R2sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sin Bsin Ccos Bcos C=4R2sin2Bcos2C+sin2Ccos2B+2sin Bsin Ccos Bcos C=4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2.同理可证同理可证b2=a
4、2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.课前篇自主预习(2)勾股定理和余弦定理的联系与区别?提示:二者都反映了三角形三边之间的平方关系二者都反映了三角形三边之间的平方关系,其中余弦定理反映了任其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系意三角形中三边平方间的关系,勾股定理反映了直角三角形中三边勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系平方间的关系,是余弦定理的特例是余弦定理的特例.课前篇自主预习2.填空余弦定理的表示及其推论课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.余弦定理只适用于锐角三角形.()余弦定理不适用于钝角三角形.()已知两边和这两边的夹角,则这个三角形确定了
5、.()已知三边,则这个三角形确定了.()解析:余弦定理适用于任意三角形,故均不正确;根据余弦定理,已知两边和这两边的夹角,或已知三边则这个三角形确定了,故正确.答案:课前篇自主预习答案:B(3)在ABC中,若a2=b2+bc+c2,则A=.课前篇自主预习(4)在ABC中,AB=4,BC=3,B=60,则AC等于.课前篇自主预习二、用余弦定理解三角形的问题1.思考(1)已知三角形的两边a,b及一边a的对角A解三角形,有几种方法?提示:不妨设已知a,b,A,形内角和定理求得C,最后求得边c.方法二:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得边c,而后由余弦或正弦定理求得B,C.课前篇自主预习(
6、2)使用余弦定理有哪些注意事项?提示:使用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用定理的推论.余弦定理及其推论在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.余弦定理及其推论将用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.要注意正弦定理或余弦定理结合使用,同时,要注意三角公式的应用.课前篇自主预习利用余弦定理求三角形内角时,一般先求小角,后求大角.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,也可以使用余弦定理.如已知a,b,A,可先由余弦定理求出c,即a2=b2+c2-2
7、bccos A.此时,边c的解的个数对应三角形解的个数.在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方,通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.课前篇自主预习2.填空利用余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知两边及夹角解三角形;(2)已知三边解三角形.课前篇自主预习3.做一做 A.4B.8C.4或8D.无解 答案:C 课前篇自主预习答案:D 课前篇自主预习(3)在边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是.解析:设第三个角为,由于875,故的对
8、边长为7,由余弦定理,答案:120 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测已知两边和一角解三角形已知两边和一角解三角形 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟已知两边及一角解三角形的方法(1)当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求解出第三边,再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一解.(2)当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情况的讨论.利用余弦定理求解相对简便.课堂篇探究学习探究一
9、探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练1(1)已知ABC中,a=1,b=1,C=120,则边c=.答案:4或5 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测已知三边解三角形已知三边解三角形 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟已知三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.(2)利用余弦定理求三角的余弦,进而求得三个角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇
10、探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测判定三角形的形状判定三角形的形状例3在ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断ABC的形状.解:解法一:因为b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,所以利用正弦定理可得sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C,因为sin Bsin C0,所以sin Bsin C=cos Bcos C,所以cos(B+C
11、)=0,所以cos A=0,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测解法二:已知等式可化为b2-b2cos2C+c2-c2cos2B=2bccos Bcos C,由余弦定理可得所以b2+c2=a2,所以ABC为直角三角形.解法三:已知等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C,所以b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C,因为b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C=(bcos C+ccos B)2=a2,所以b2+c2=a2,所以ABC为直角三角形.课堂篇探究学习探究一探究二探
12、究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟判断三角形形状的方法已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状,可先观察条件式的特点,再依据此特点选取变形方法,当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形,当等式两边含有角的正弦的同次幂时,常用正弦定理变形,当含有边的积式及边的平方和与差的形式时,常考虑用余弦定理变形,可以化边为角,通过三角变换求解,也可以化角为边,通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测用余弦定理证明问题用余弦定理证明问题 证明:在ABC中
13、,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B,所以2(a2-b2)=2accos B-2bccos A,即a2-b2=accos B-bccos A,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟用余弦定理证明三角恒等式的方法(1)证明三角恒等式,关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有:左右;右左或左中右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种:一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过
14、正弦定理转化.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测求三角形求三角形(或四边形或四边形)的面积的面积例5ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由得sin Csin B=cos Bsin C.又0C,sin C0,得sin B=cos
15、 B.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练5在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2asin (1)求A;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面积.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测正弦、余弦定理的综合应用正弦、余弦定理的综合应用 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测利用正、余弦定理
16、求解平面图形中的线段长典例如图所示,在四边形ABCD中,ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求出BC的长.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测解题流程 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测规范解答设BD=x.在ABD中,根据余弦定理,AB2=AD2+BD2-2ADBDcosBDA,所以142=102+x2-210 xcos 60,即x2-10 x-96=0.(将四边形ABCD分解为ABD和BCD,利用余弦定理列出关于x的一元二次方程,化简方程时易出错,应注意步骤及计算的准确性.)解得x1=16,x2=-6(
17、舍去),所以BD=16.因为ADCD,BDA=60,所以CDB=30.点评本题考查了“数学建模,逻辑推理,数学运算,直观想象”的数学核心素养.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测答案:B 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测2.在ABC中,若abc,且c2a2+b2,则ABC为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不存在解析:因为c2a2+b2,所以C为锐角.因为abc,所以C为最大角,所以ABC为锐角三角形.答案:B3.在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若a=4,b=6,c=9,则cos C=.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测4.在ABC中,已知A=60,最大边长和最小边长恰好是方程x2-7x+11=0的两根,则第三边的长为.答案:4 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测5.在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知a=4,c=5,且SABC=6,求b.
