1、2.6.1双曲线的标准方程核心素养 1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(逻辑推理、数学抽象)2.掌握双曲线的标准方程及其求法.(数学运算)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.(数学运算)4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.(逻辑推理)思维脉络激趣诱思知识点拨如图所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定
2、点F1,F2的距离有何特点?激趣诱思知识点拨1.双曲线的定义 激趣诱思知识点拨名师点析 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点P的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|PF1|与|PF2|的大小.(1)若|PF1|PF2|,则|PF1|-|PF2|0,点P的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|PF1|0,点P的轨迹是靠近定点F1的那一支.激趣诱思知识点拨微思考在双曲线的定义中,若去掉条件02a0,b0)(a0,b0)焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系b2=c2-a2激趣诱思知识点拨名师点析 双曲线与椭圆的比较 椭圆双曲线定义|MF1
3、|+|MF2|=2a(2a|F1F2|)|MF1|-|MF2|=2a(02a|F1F2|)a,b,c的关系b2=a2-c2b2=c2-a2焦点在x轴上焦点在y轴上激趣诱思知识点拨微练习 激趣诱思知识点拨答案:D 激趣诱思知识点拨微思考在双曲线的标准方程中,怎样判断焦点在哪条坐标轴上?提示:如果含x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果含y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.探究一探究二探究三素养形成当堂检测求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.(2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.探究一探究二探究三素养形成当
4、堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1根据下列条件,求双曲线的标准方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测双曲线定义的应用双曲线定义的应用例2已知双曲线 -y2=1的左、右焦点分别为F1,F2
5、,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为.分析由双曲线方程求出a及c的值,利用双曲线定义把|PQ|+|PF1|转化为|PQ|+|PF2|+2a,连接QF2交双曲线右支于P,则此时|PQ|+|PF2|最小等于|QF2|,由两点间的距离公式求出|QF2|,则|PQ|+|PF1|的最小值可求.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|=32,试求F1PF2的面积.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1
6、)由双曲线的定义得|MF1|-|MF2|=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100.在F1PF2中,由余弦定理得探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略(1)数形结合利用双曲线的定义,弄清|PF1|,
7、|PF2|,|F1F2|三者之间满足的关系式,一般常用到三角变换和解三角形的知识,如例3(2)中进行面积的讨论中,就用到了余弦定理、面积公式等知识.(2)化归思想将原问题等价转化为易解决的问题,在双曲线中,尤其要注意特殊图形的性质和双曲线的定义,如例2中将|PQ|+|PF1|进行等价转化是问题的核心.探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.探究一探
8、究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 将例3中的条件“|PF1|PF2|=32”改为“F1PF2=60”,求F1PF2的面积.由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|=64,探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是()(2)已知双曲线x2-y2=1,F1,F2分别为其左、右两个焦点,P为双曲线上一点,若PF1PF2,
9、则|PF1|+|PF2|的值为.解析:(1)动圆圆心为P,半径为r,已知圆圆心为N,半径为4.由题意知,|PM|=r,|PN|=r+4或r-4,所以|PN|-|PM|=4,即动点P到两定点的距离之差的绝对值为常数4,P在以M,N为焦点的双曲线上,且2a=4,2c=8,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF1PF2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(2 )2,又|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|PF2|=4,则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=12,
10、所以|PF1|+|PF2|=2 .答案:(1)C(2)2探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测双曲线在生活中的应用双曲线在生活中的应用例例4“神舟神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安为了及时将航天员安全救出全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记记A,B,C),A在在B的正东方向的正东方向,相距相距6千米千米,C在在B的北偏西的北偏西30方向方向,相相距距4千米千米,P为航天员着陆点为航天员着陆点.某一时刻某一时刻,A接收到接收到P的求救信号的求救
11、信号,由于由于B,C两地比两地比A距距P远远,在此在此4秒后秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这两个救援中心才同时接收到这一信号一信号.已知该信号的传播速度为已知该信号的传播速度为1千米千米/秒秒,求在求在A处发现处发现P的方位的方位角角.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,方程y2=0,可知其轨迹与x轴重合,舍去在x轴负半轴上的一段,又因为|PF1|-|PF2|=2a,说明|PF1|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线.
12、答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.已知双曲线 (a0,b0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则ABF2的周长为()A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2m解析:不妨设|AF2|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.(-1,+)B.(2,+)C.(-,-1)(2,+)D.(-1,2)解得-1m2,m的取值范围是(-1,2).答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(3)a=b,经过点(3,-1).探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测
