1、【新教材】新人教B版-高中数学必修第二册-4一二一、对数函数的定义1.指数式ab=N如何化为对数式?提示:根据指数式与对数式的互化关系可知logaN=b.2.在logaN=b(a0,且a1)这一关系式中,若把N看成自变量,b看成函数值,你能得到一个具有什么特征的函数?提示:可以得到函数y=logax(a0,且a1),此类函数的特征是以真数作为自变量,对数值作为函数值.这类函数就是本节将要研究的对数函数.3.填空.一般地,函数y=logax(a0,a1)称为对数函数.一二二、对数函数y=logax(a0,a1,x0)的图像与性质1.利用描点法作出函数y=log2x与函数y=log3x的图像,进而
2、研究一下函数y=logax(a0,a1,x0)的底数变化对图像位置有何影响.一二提示:在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=log2x及y=log3x的图像,如图所示,可以看出:底数越大,图像越靠近x轴.同理,当0a0,且a1)是对数函数.()(2)函数y=log2x是非奇非偶函数.()(3)函数y=logax(a0,且a1)的图像均在x轴上方.()(4)y-4=logm(x+9)(m0,且m1)的图像恒过定点(-8,4).()(5)当0a1时,y=logax为R上的增函数.(6)因为x2+10恒成立,所以y=log5(x2+1)的值域为R.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)探究
3、一探究二探究三探究四思维辨析求对数函数的求对数函数的定义域定义域 答案:(1)A(2)(1,+)当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟求对数函数定义域的步骤 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:C 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析对数函数对数函数的的图像图像及及应用应用例2作出函数f(x)=|lo g3x|的图像,并求出其值域、单调区间以及在区间 上的最大值.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟反思感悟与对数函数有关的图像问题注意以下规律:(1)一般地,函数y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称,函数y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称
4、,函数y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于原点对称.利用上述关系,可以快速识别一些函数的图像.(2)与对数函数有关的一些对数型函数,如y=logax+k,y=loga|x|,y=|logax+k|等,其图像可由y=logax的图像,通过平移变换、对称变换或翻折变换得到.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究延伸探究将以上例题中的函数改为“f(x)=|log3(x+1)|”再研究以下问题.(1)作出函数图像,并写出函数的值域及单调区间;(2)若方程f(x)=k有两解,求实数k的取值范围.解:(1)函数f(x)=|log3(x+1)|的图像如图所示.由图像知,其值域为0,+),f(x
5、)在(-1,0上是减少的,在0,+)内是增加的.(2)由(1)的图像知,当k0时,方程f(x)=k有两解,故k的取值范围是(0,+).当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析利用对数函数的性质比较大小利用对数函数的性质比较大小例3 比较大小:(1)log0.27与log0.29;(2)log35与log65;(3)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m1);(4)log85与lg 4.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解:(1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两个函数值,由y=log0.2x在(0,+)上是减函数,得log0.27
6、log0.29.(2)函数y=log3x(x1)的图像在函数y=log6x(x1)的图像的上方,故log35log65.(3)把lg m看作指数函数y=ax(a0,且a1)的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lg m与1的关系.若lg m1,即m10,则y=(lg m)x在R上是增函数,故(lg m)1.9(lg m)2.1;若0lg m1,即1m(lg m)2.1;若lg m=1,即m=10,则(lg m)1.9=(lg m)2.1.(4)因为底数8,10均大于1,且108,所以log85lg 5lg 4,即log85lg 4.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.如果两个
7、对数的底数相同,则由对数函数的单调性(当底数a1时,函数为增函数;当底数0a0,a11,a20,a21),(1)当a1a21时,根据对数函数图像的变化规律知当x1时,y1y2;当0 xy2.(2)当0a2a11时,y1y2;当0 xy2.对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意根据对数的底数是否大于1进行分类讨论.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:A 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析求复合函数的单调区间求复合函数的单调区间例4 求下列函数的单调区间:(1)y=log0.2(x2-2x+2);(2)y=loga(a-ax).分析:利用复合函数法确定其单调区间即可.解:(1)
8、令u=x2-2x+2=(x-1)2+110.当x1时,u=x2-2x+2是增函数,又y=log0.2u是减函数,所以y=log0.2(x2-2x+2)在1,+)内是减函数.同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-,1.故函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-,1,单调减区间为1,+).当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析(2)当a1时,y=logat是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax0,即axa,所以x1.所以y=loga(a-ax)在(-,1)内是减函数.当0a0,即axa,所以x1时,函数y=loga(a-ax)在(-,1)内是减函数
9、;当0a1时,y=loga(ax-a)在(1,+)内为增函数;当0aloga(x-1).当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:错解一中没考虑真数的取值范围,也没有对a进行分类讨论;错解二中没有对a进行分类讨论;错解三中出现逻辑性错误,运算变形的顺序出现了问题,即开始默认了a1对原不等式进行了转化是不正确的,虽然后来对a又进行了讨论,看起来结果正确,而实际上解答过程是错误的.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析防范措施1.在解决含有对数式的方程或不等式时,一定要注意底数及真数
10、的限制条件,一般要有检验的意识.2.当对数的底数含参数时,不能直接化简原式,需要对参数进行分类讨论,做到不重复、不遗漏.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.设0 x1,且有logaxlogbx0,则a,b的大小关系是()A.0ab1B.1ab C.0ba1D.1ba1.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.方程log2(x+2)=x2的实数解有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案:C解析:在同一平面直角坐标系中分别画出y=log2(x+2)与y=x2的图像,如图所示.由图像观察知,二者有两个交点,所以方程log2(x+2)=x2
11、有两个解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.函数f(x)=log2(3x2-2x-1)的单调增区间为.答案:(1,+)探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.函数f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x(0,+)时,f(x)=2x,答案:-3探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测5.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0a1.(1)求函数f(x)的定义域D;(2)求函数f(x)的值域.解得-3x1.函数f(x)的定义域D为(-3,1).(2)f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)2+4.-3x1,0-(x+1)2+44.0a1,loga-(x+1)2+4loga4,即f(x)min=loga4.函数f(x)的值域为loga4,+).
