1、复习复习引入引入合作合作探究探究课堂课堂小结小结随堂随堂训练训练八八年级数学年级数学下（下（湘教湘教版）版）XJXJ全册精品教学课件全册精品教学课件三角形顶点与对边中点的连线段三角形顶点与对边中点的连线段1.1.直角三角形的定义直角三角形的定义2.2.三角形内角和的性质三角形内角和的性质有一个是直角的三角形叫直角三角形有一个是直角的三角形叫直角三角形三角形内角和等于三角形内角和等于1801803.3.三角形中线的定义三角形中线的定义这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质复习引入复习引入首页首页 如图如图1-1，在，在RtABC中，中，C=90，两锐角的
2、和等两锐角的和等于多少呢？于多少呢？图图1-1 在在RtABC中，因为中，因为 C=90，由三角形内角和由三角形内角和定理定理，可得可得A +B=90.合作探究合作探究首页首页结论结论直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.由此得到：由此得到：议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？如图如图1-2，在，在ABC中，中，A +B=90 ，那么那么ABC是直角三角形吗？是直角三角形吗？在在ABC中，因为中，因为 A +B+C=180，又又A +B=90，所所以以C=90.于是于是A
3、BC是直角三角形是直角三角形.图图1-2结论结论有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形.由此得到：由此得到：如图如图1-3，画一个，画一个RtABC，并作出斜边并作出斜边AB上的中上的中线线CD，比较线段，比较线段CD 与线段与线段AB 之间的数量关系，你能之间的数量关系，你能得出什么结论？得出什么结论？图图1-3我测量后发现我测量后发现CD=AB.12线段线段CD 比线段比线段AB短短.图图1-3是否对于任意一个是否对于任意一个RtABC，都有，都有 CD=成立呢？成立呢？12AB图图1-4 如图如图1-3，如果中线如果中线CD=AB，则有，则有DCA =A.由此受
4、到启发由此受到启发，在图在图1-4 的的RtABC中，过直角顶点中，过直角顶点C作作射线射线 交交AB于于 ，使，使 ，12CD=ADD =AD CA则则 .CD图图1-3A +B=90 ，又又90D CA+D CB，BD CB.CD=BD.故得故得12CD=AD=BD=AB.D 点点 是斜边上的中点，即是斜边上的中点，即 是斜边是斜边 的中线的中线.ABCDCD从而从而CD与与 重合，且重合，且CDAB.12图图1-4结论结论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.由此得到：由此得到：举举例例例例1 已知：如图已知：如图1-5，CD是是ABC的的AB边上的中
5、边上的中 线，且线，且 .求证：求证：ABC是直角三角形是直角三角形.12CDAB 图图1-5证明：证明：因为因为 ，所以所以 1=A，(等边对等角等边对等角)2=B.12CDAB=BD=AD 图图1-5根据三角形内角和性质，有根据三角形内角和性质，有 A+B+ACB=180，即得即得A+B+1+2=180，2(A+B)=180.所以所以 A+B=90.根据直角三角形判定定理，所以根据直角三角形判定定理，所以ABC是直角三角形是直角三角形.1.在在RtABC中，斜边上的中线中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边，则斜边 AB的长是多少？的长是多少？解解AB=2CD=22.5=5(cm).随堂
6、训练随堂训练首页首页 2.如图，如图，ABCD，BAC和和ACD的平分线相交于的平分线相交于H点，点，E为为AC的中点，的中点，EH=2.那么那么AHC是直角三是直角三角形吗？为什么？若是，求出角形吗？为什么？若是，求出AC的长的长.解解 因为因为 ABCD，所以，所以 BAC+DCA=180.又又 ，所以所以所以所以AHC是直角三角形是直角三角形.在在RtAHC中，中，EH为斜边上的中线，为斜边上的中线，所以有所以有 ，由由EH=2易知易知AC=4.12CAHBAC 12ACHDCA 1902CAH+ACHBAC+DCA=()()12EHAC 3.3.如图所示，在锐角三角形如图所示，在锐角三
7、角形ABC中，中，CD，BE分别是分别是AB，AC边上的高，且边上的高，且CD，BE交于一点交于一点P，若，若A=50，则，则BPC的的度数是度数是（）.A.150 B.130 C.120 D.100因为因为BE，CD是是ABC的高，的高，所以所以BDP=90，BEA=90.又又A=50 ，所以所以ABE=90-A=90-50=40.所以所以BPC=ABE+BDP=90 +40=130.故应选择故应选择B.解解BABCDO O4 4.如图，如图，ABDB,CDDB,下列说法错误的是（下列说法错误的是（）A.A.一定有一定有A=CB.B.只要有一边相等就有只要有一边相等就有ABOCDOC.C.只
8、要再给一个条件就能得到只要再给一个条件就能得到ABOCDOD.D.有有OA=OC或或OB=OD,就有就有AB=CDCABCD5 5.如图，如图，AB=AC,ADBC.求证：求证：BD=CD.1.1.直角三角形的判定定理和性质定理；直角三角形的判定定理和性质定理；2.2.应用定理进行推理论证解决有关问题应用定理进行推理论证解决有关问题.课堂小结课堂小结首页首页课后作业课后作业 见本课见本课“课后巩固提升课后巩固提升”第2课时 含30锐角的直角三角形的性质及其应用复习复习引入引入合作合作探究探究课堂课堂小结小结随堂随堂训练训练八八年级数学年级数学下（下（湘教湘教版）版）XJXJ全册精品教学课件全册
9、精品教学课件复习引入复习引入首页首页1 1、直角三角形的两个锐角（、直角三角形的两个锐角（）.2 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的、直角三角形斜边上的中线等于斜边的 （）.3 3、有两个角（、有两个角（）的三角形是直角三角形）的三角形是直角三角形.一半一半互余互余互余互余用刻度尺测量含用刻度尺测量含3030角的直角三角形的斜边和短直角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系角边，比较它们之间的数量关系.结论：短直角边结论：短直角边=斜边斜边21合作探究合作探究首页首页 在在RtRt ABCABC中，中，BCA=90BCA=90,如果如果A=30A=30，那么，那么BCBC与斜边
10、与斜边ABAB有什么关系有什么关系呢？呢？分析：分析：1.1.辅助线的常用作法有辅助线的常用作法有 ：30 30 B BC CA A 作平行线、作平行线、中线中线、垂线、角平分线、延长线，、垂线、角平分线、延长线，作相等的角等等。作相等的角等等。2 2、你打算怎样作辅助线？、你打算怎样作辅助线？解法：解法：1.1.取线段取线段ABAB的中点的中点D D，连接，连接CDCD，即，即CDCD为为RtRtABCABC斜边斜边ABAB上的中线，则可得到哪些上的中线，则可得到哪些相等的线段？相等的线段？3030B BC CA AD D2.2.由由A=30A=30可知可知B B等于多少度？等于多少度？3.
11、3.CBDCBD是什么三角形是什么三角形?CD=BD=ADCD=BD=ADB=60B=60等边三角形等边三角形 现在你能说出直角边现在你能说出直角边BCBC与斜边与斜边ABAB的关系，并写出推理过程吗？的关系，并写出推理过程吗？在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于3030，那那么它所对的直角边等于斜边的一半。么它所对的直角边等于斜边的一半。性质定理：性质定理：问题：试着把上述性质的条件与结论调换，问题：试着把上述性质的条件与结论调换，仍然成立吗？仍然成立吗？3030B BC CA AD D小结归纳小结归纳如图，在如图，在RtRtABCABC中，如果中，如果BC=AB
12、BC=AB，那么，那么A A等于多少？等于多少？12B BC CA AD D如图，取线段AB的中点D，连接CDCD是RTABC斜边AB上的中线CD=AB=BDBCA=90，且A=30，B=60CBD是等边三角形，BC=BD=AB1212 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于边的一半，那么这条直角边所对的角等于3030.归纳小结归纳小结提问：提问：A A岛可以看成一个点，轮船航行的路线可以看岛可以看成一个点，轮船航行的路线可以看成一条线成一条线.点到线的距离，什么最短？点到线的距离，什么最短？例：在例：在A A岛周围岛周围2
13、020海里（海里（1 1海里海里=1852m=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O O处时，发现处时，发现A A岛在北偏东岛在北偏东6060的方向，且与轮船相距的方向，且与轮船相距 海里，如图所示海里，如图所示.该船该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？30 3举举例例O OB BD DA A北北东东606030 3解：由题意得，解：由题意得，AOD=30AOD=30，在，在RtRtAODAOD中，中，AO=AO=海里，海里，AD=AO=AD=AO=海里海里2020海里，海里，该船如果保持航行不变，无触暗礁的
14、危险该船如果保持航行不变，无触暗礁的危险.21330315ACB 1.Rt1.RtABC中，中，C=90=90，B=2=2A，B和和A各是多少度？边各是多少度？边AB与与BC之间之间有什么关系？有什么关系？随堂训练随堂训练首页首页 2.2.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植.如果如果C=90=90，B=30=30，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来着分一分，在图上画出来.BAC1.1.直角三角形中，如果有一个锐角等于直角三角形中
15、，如果有一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于斜边的，那么它所对的直角边等于斜边的一半；一半；2.2.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.课堂小结课堂小结首页首页课后作业课后作业 见本课见本课“课后巩固提升课后巩固提升”1.2 直角三角形的性质和判定（）第1课时 勾股定理情景情景引入引入合作合作探究探究课堂课堂小结小结随堂随堂训练训练八八年级数学年级数学下（下（湘教湘教版）版）XJXJ全册精品教学课件全册精品教学课件1 1、回顾直角三角形的有关定义、回顾直角三角形的有关定义.2 2、我们曾经
16、利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？、我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？单项式乘多项式：单项式乘多项式：a(b+c+d)=_a(b+c+d)=_bacd多项式乘多项式：多项式乘多项式：(a+b)(c+d)=_(a+b)(c+d)=_bacdab+ac+adac+ad+bc+bd情景引入情景引入首页首页平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b(a+b)(a-b)=_)=_abab完全平方公式完全平方公式 =_ =_abab2b2aa ba b)(2baa2-b2a2+2ab+b21 1、如图，邮票图案的三个正方形小方格中间是一个、如图，邮票图案的三个正方形
17、小方格中间是一个直角三角形，如果直角三角形，如果1 1个小方格为个小方格为1 1个单位面积，那么个单位面积，那么直角三角形的两直角边长分别是直角三角形的两直角边长分别是_和和_，斜边长是，斜边长是_；2.2.三个正方形的面积分别是三个正方形的面积分别是_、_和和_._.43516925合作探究合作探究首页首页3 3、把上题三个正方形的面积关系，转化为直角三角形三边的关系，、把上题三个正方形的面积关系，转化为直角三角形三边的关系，则得到什么结论？则得到什么结论？结论：直角三角形两直角边的结论：直角三角形两直角边的_等于等于_.命题命题1 1（勾股定理）（勾股定理）如果直角三角形的两条直角边长分别
18、为如果直角三角形的两条直角边长分别为a a，b b，斜边长为斜边长为c c，那么，那么_.平方的和斜边的平方a2+b2=c2设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.解：由勾股定理得62+b2=102 b=8b=8解：由勾股定理得52+122=102 c=13解：由勾股定理得a2+152=252 a=20acb1 1、赵爽弦图利用了、赵爽弦图利用了_关系进行勾股定理的证明关系进行勾股定理的证明.2 2、剪、剪4 4个全等的直角三角形，拼成如图图形，其中直个全等的直角三角形，拼成如图
19、图形，其中直角三角形的两直角边分别是角三角形的两直角边分别是a a、b b，则中间的小正方形，则中间的小正方形的边长为的边长为_，利用面积证明勾股定理，利用面积证明勾股定理.S S大正方形大正方形4S4S直角三角形直角三角形+S+S小正方形小正方形4 4_+_+（_ _ ）2 2_又又S S大正方形大正方形C C2 2_2 2+_+_2 2=_=_2 2面积面积b-ab-ab-ab-a2ab+b2ab+b2 2-2ab+a-2ab+a2 2a a2 2+b+b2 2a ab bc c如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12
20、，求最大正方形E的面积.ABCDEFGKH解：如图所示 正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12,设直角三角形的斜边长为c,由勾股定理知122+162=c2，c=20，即正方形F边长为20，同理可得，正方形G的边长为15，故直角三角形的两直角边分别为20，15，设它的斜边长为k，由勾股定理知202+152=k2k=25 正方形E的边长为25，S正方形E=2525=625 1、在直角三角形中，两直角边的长分别为、在直角三角形中，两直角边的长分别为33，44，求斜边的长，求斜边的长.2、在直角三角形中，两边的长为、在直角三角形中，两边的长为5，4，求第三边的平方，求第三边的平方.解解:
21、设斜边长为设斜边长为x,由勾股定理得由勾股定理得x =33 +44 =55 所以所以 x=55解：解：1.如果如果5为斜边，设第三边为为斜边，设第三边为x5 =x +4 所以所以x =92.如果如果5为直角边，设第三边为为直角边，设第三边为xx=5 +4 所以所以 x =41随堂训练随堂训练首页首页3、如图，、如图，ABC中，中，C=90，CDAB 于于D，AC=12，BC=9，求：求：CD的长的长.BACD解：在三角形解：在三角形ABC中中AC=12 ，BC=9由勾股定理得：由勾股定理得：AB =12 +9 所以所以 AB=25由三角形由三角形ABC的面积的面积=AC*BC/2=AB*CD/
22、2即即：12*9=25*CD所以所以 CD=4.321.1.勾股定理；勾股定理；2.2.至少了解一种勾股定理的验证方法；除了掌握勾股定理外，还应初步至少了解一种勾股定理的验证方法；除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理学会构造直角三角形，以便应用勾股定理.课堂小结课堂小结首页首页课后作业课后作业 见本课见本课“课后巩固提升课后巩固提升”第2课时 勾股定理的实际应用复习引入合作探究课堂小结随堂训练1.2 直角三角形的性质和判定（）八八年级数学年级数学下（下（湘教湘教版）版）XJXJ全册精品教学课件全册精品教学课件勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方abcA
23、BC如果在RtABC中，C=90,那么222.abc下面，我们用面积计算来证明这个定理。复习引入首页首页 请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。abc用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。D合作探究首页首页邮递员从车站O正东1km的邮局A出发，先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该邮递员与邮局的距离为多少km？ABCDO下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积15厘米17厘米解：设正方形的边长为x厘米,则x2=172-152x2=64答：正方形的面积是64
24、平方厘米。在RtABC中,ACB=90，AC=4,BC=3.求RtABC斜边上的高 ABCD随堂训练首页首页如图，已知：ABC中，AD是中线，AEBC于E.若AB=12，BC=10，AC=8,求：DE的长度.ACEDB如图，已知：ABC中，AD是中线，AEBC于E.求证：AB2-AC22BCDE.ACEDB在一个内腔长30cm、宽40cm、高50cm的木箱中放一根笔直的细玻璃管，这根玻璃管的长度至多为多少cm？ACBD在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？CDA.B.应用勾股定理解决实际问题的思路：（1）深刻理解题意；（2）画出简图；（3）将图画转化为直角三
25、角形，并利用勾股定理进行计算.课堂小结首页首页课后作业 见本课“课后巩固提升”第3课时 勾股定理的逆定理情景情景引入引入合作合作探究探究课堂课堂小结小结随堂随堂训练训练1.2 直角三角形的性质和判定（）八八年级数学年级数学下（下（湘教湘教版）版）XJXJ全册精品教学课件全册精品教学课件直角三角形有哪些性质？直角三角形有哪些性质？(1)(1)有一个角是直角；有一个角是直角；(2)(2)两个锐角的和为两个锐角的和为9090(互余互余 )；(3)(3)两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方.反之反之,一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢一个三角形满足什么条件才能是直角三角形
26、呢?情景引入情景引入首页首页(1)(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)(2)有两个角的和为有两个角的和为9090的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形；(3)(3)如果一个三角形的三边如果一个三角形的三边a,b,c满足满足a2 2+b2 2=c2 2,那么这个三角形是直角三角形吗？那么这个三角形是直角三角形吗？一个三角形满足什么条件才能是直角三角形一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?合作探究合作探究首页首页试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什
27、么形状的三角形？（按角分类）角形？（按角分类）（1 1）3 3，4 4，4 4（2 2）2 2，3 3，4 4（3 3）3 3，4 4，5 5请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形3 32 24 42 2 4 42 22 22 23 32 2 4 42 23 32 24 42 2 =5=52 2勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么 .a2 2+b2 2=c2 2
28、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足满足 ，那么这个，那么这个三角形是直角三角形三角形是直角三角形.a2 2+b2 2=c2 2反过来反过来判断由线段判断由线段a a、b b、c c 组成的三角形是不是直角三角形：（组成的三角形是不是直角三角形：（1 1）a=15,b=8,c=17 a=15,b=8,c=17 （2 2）a=13,b=14,c=15a=13,b=14,c=15。形这个三角形是直角三角222222178152891728964225815解：解：（1 1）。角形这个三角形不是直角三2222221514132251536519616
29、91413（2 2）能够成为直角三角形三条边长的三个能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数正整数，称为勾股数.以小组为单位，每位同学自己找一组以小组为单位，每位同学自己找一组勾股数，那一组找的最快最多就算获胜。勾股数，那一组找的最快最多就算获胜。3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，419，12，15；10，24，26；1.1.下面以下面以a,b,c为边长的为边长的ABC是不是直角三角形？是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？如果是那么哪一个角是直角？(1)(1)a=6 6 b=8 8 c=10 _ _;=10 _ _;(2)(2
30、)a=12 =12 b=8 =8 c=15 _;=15 _;(3)(3)a=8 =8 b=6 =6 c=5 _;=5 _;是是 不是不是不是不是 是是C=90=900 0B=90=900 0(4)(4)a=1=1 b=2 =2 c=_ _;=_ _;3随堂训练随堂训练首页首页2.已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD中，中，B900，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形求四边形ABCD的面积的面积.ABCD3 34 4121213135 53.满足下列条件满足下列条件ABC,不是直角三角形的是不是直角三角形的是()A、b2=a2-c2 B、a:b:c=3:4:5 C、C=B-A
31、D、A:B:C=3:4:5D1.1.勾股定理的逆定理的内容；勾股定理的逆定理的内容；.判定一个三角形是直角三角形的方法（从角、边两个方面来考虑）；判定一个三角形是直角三角形的方法（从角、边两个方面来考虑）；.勾股定理与它的逆定理之间的关系；勾股定理与它的逆定理之间的关系；.数形结合的数学思想数形结合的数学思想.课堂小结课堂小结首页首页课后作业课后作业 见本课见本课“课后巩固提升课后巩固提升”1.3 直角三角形全等的判定情景情景引入引入合作合作探究探究课堂课堂小结小结随堂随堂训练训练八八年级数学年级数学下（下（湘教湘教版）版）XJXJ全册精品教学课件全册精品教学课件（1）说出判断一般三角形全等的
32、方法有哪些？它们有什么共同点？说出判断一般三角形全等的方法有哪些？它们有什么共同点？情景引入情景引入首页首页判判 断断（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等.（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（3）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.AAS或者ASASASABCABC（A）（C）（B）如图在如图在RtRtABC和和RtRtABC中中,已知已知AB=AB,AC=AC,ACB=ACB=90=90,那么那么RtRtABC和和RtRtABC全等吗全等吗?合作探究合作探究首页首页解解:因为因为ACB=90=90ACB=ACB=90=90所以所以BCB=ACB+ACB=180=
33、180 故故B，C（C），），B在同一直线上在同一直线上因为因为AB=AB=AB所以所以B=B（等边对等角）（等边对等角）在在RtRtABC和和RtRtABC中中B=B（已证）（已证）AB=AB（已知）（已知）所以所以RtRtABCRtRtABC（AASAAS）BA（A）C(C)B如图如图,已知已知AB=AB,AC=AC,ACB=ACB=90=90那么那么RtRtABC和和RtRtABC全等吗？全等吗？斜边、直角边公理斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”斜边、直角边公理
34、斜边、直角边公理 (HL)(HL)ABCA BC 在RtABC和Rt 中AB=BC=RtABCCBABACB(HL)CBARtC=C=90有斜边和一条直角边对应相等的两个有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等直角三角形全等.几何语言几何语言举举例例例例1 如图，如图，BD，CE分别是分别是ABC的高，且的高，且BE=CD.求证：求证：RtBEC RtCDB.证明：证明：BD，CE是是ABC的高，的高，BEC=CDB=90.在在RtBEC和和RtCDB中，中，BC=CB，BE=CD，RtBEC RtCDB（HL）.1 1如图如图ADDB，BCCA，AC、BD相交于相交于点点O，如果，如果
35、ADBC，那么图中还有哪些相等，那么图中还有哪些相等的线断，请证明的线断，请证明.（DBAC就不要证明了）就不要证明了）随堂训练随堂训练OADBC首页首页2.2.如图在如图在ABC中，中，D是是BC的中点，的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E、F，且，且DEDF，求证，求证ABC是等腰三角形是等腰三角形.EFBEAC3.3.如图，如图，ABD=ACD=90=90，1=21=2，则，则AD平分平分BAC.请说明理由请说明理由.2 21 1BCAD4.4.如图，如图，ACCB，BDBC，AB=DC，AB与与CD平行吗？为什么？平行吗？为什么？1 1.判定直角三角形全等的特殊判定判定
36、直角三角形全等的特殊判定“HL”定理：定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等等.（可简写成（可简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”）2.2.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法还有直角三角形特殊的判定方法“HL”.”.课堂小结课堂小结首页首页课后作业课后作业 见本课见本课“课后巩固提升课后巩固提升”情景引入合作探究课堂小结随堂训练八八年级数学年级数学下（下（湘教湘教版）版）XJXJ全
37、册精品教学课件全册精品教学课件生活中有很多数学问题：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看.P暖气天然气情景引入首页首页如图1-26，在AOB的平分线OC上任取一点P，作PDOA，PEOB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？图1-26合作探究首页首页你能证明吗？将AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等.图1-26PDOA，PEOB，PDO=PEO=90.在PDO和PEO中，PDO=PEO，DOP=
38、EOP，OP=OP，PDO PEO.PD=PE.我们来证明这个结论.图1-26图1-26结论角的平分线上的点到角的两边的距离相等.由此得到角平分线的性质定理：动脑筋角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图1-27，点P在AOB的内部，作PDOA，PEOB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在AOB的平分线上吗？图1-27在RtPDO和RtPEO中，OP=OP，PD=PE，RtPDO RtPEO.PDOA，PEOB，PDO=PEO=90.如图1-27，过点O，P作射线OC.AOC=BOC.OC是AOB的平分线，即点P在AOB的平分线OC上.图1-27结论角的内部到角的两边
39、距离相等的点在角的平分线上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：举例例1如图1-28，BAD=BCD=90，1=2.（1）求证：点B在ADC的平分线上；（2）求证：BD是ABC的平分线.图1-28证明：在ABC中，1=2，BA=BC.又BAAD，BCCD，点B在ADC的平分线上.图1-28（1）求证：点B在ADC的平分线上；图1-28证明：在RtBAD和RtBCD中，BA=BC，BD=BD，RtBAD RtBCD.ABD=CBD.BD是ABC的平分线.（2）求证：BD是ABC的平分线.随堂训练首页首页课堂小结1.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.到一个角的两边距离相等的点，在这个
40、角的平分线上.首页首页课后作业 见本课“课后巩固提升”第1章 直角三角形小结与复习八八年级数学年级数学下（下（湘教湘教版）版）XJXJ全册精品教学课件全册精品教学课件一、直角三角形的性质1.直角三角形的两个锐角_.2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_.3.在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的_.4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_.互余一半一半a2+b2=c2二、直角三角形的判定1.有一个角是_的三角形是直角三角形.2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足_，那么这个三角形是直角三角形.直角a2+b2=c2【思维诊断】(打“”或“”
41、)1.有两个角互余的三角形是直角三角形.()2.任何一个三角形都具有两条边长的平方和等于第三条边长的平方.()3.一个三角形中，30角所对的边等于最长边的一半.()热点考向一 直角三角形的性质【例1】如图，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若F=30，DE=1，则BE的长是.【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余，求得DBF，从而求得A的度数.在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，求得AE的长；再由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，即可求得BE的长.【自 主 解 答】在 R t F D B 中，F=3 0 ，DBF=
42、60.在RtABC中，ACB=90，ABC=60，A=30.在RtAED中，A=30，DE=1，AE=2.DE垂直平分AB，BE=AE=2.答案：2【规律方法】直角三角形斜边上中线的作用1.直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系是研究线段倍、分问题的重要依据之一.2.联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决.3.重要辅助线(1)遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线.(2)构造直角三角形，凸显斜边上的中线.【真题专练】1.如图，一副分别含有30角和45角的两个直角三角板，拼成如图所示图形，其中C=90，B=4
43、5，E=30，则BFD的度数是()A.15B.25C.30D.102.如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为()A.20B.18C.14D.13【知识拓展】直角三角形的两个结论(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30.(2)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.热点考向二 勾股定理【例2】如图，在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为.【思路点拨】利用勾股定
44、理求出BC=4，设BE=x，则CE=4-x，在RtBEC中，利用勾股定理解出x的值即可.【自主解答】，由折叠的性质得BE=BE，AB=AB，设BE=x，则BE=x，CE=4-x，BC=AC-AB=AC-AB=2，在RtBEC中，BE2+BC2=EC2，即x2+22=(4-x)2，解得：x=.答案：22BCACAB43232【规律方法】勾股定理的应用1.在直角三角形中，已知一边长和另外两边的关系时，常借助勾股定理列出方程求解，在解决折叠问题时，边长的计算经常用到上述方法.2.作长度 为(n为正整数)的线段.注意：在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，必须分清直角边和斜边，在条件不明确的
45、条件下，要分类讨论.n【真题专练】1.如图，点E在正方形ABCD内，满足AEB=90，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是()A.48B.60C.76D.802.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行m.热点考向三 勾股定理的逆定理【例3】如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将ABE绕点B顺时针旋转90到CBE的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则BEC=度.【解题探究】(1)BE是由BE旋转多少度得到？BE与BE什么关系？提示：BE是由BE旋转90得到的，BEBE且BE=BE.(2)若连接EE
46、，得到的EBE是一个什么特殊的三角形？提示：EBE是等腰直角三角形.(3)EEC是直角三角形吗？若是，是怎样得到的？提示：EEC是直角三角形，根据勾股定理的逆定理得之.【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤1.确定三角形的最长边.2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和.3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.【知识归纳】判定直角三角形的两种方法(1)当已知条件是“三条边”或三边的比时，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形.(2)如果三角形某一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角
47、形.命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题【例】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A处，则AE的长为.【审题视点】创创新新点点图形的折叠与勾股定理的应用：图形的折叠与勾股定理的应用：(1)(1)由图形折叠，得到直角三角形由图形折叠，得到直角三角形(2)(2)利用勾股定理建立方程求解，体现数形结合思想利用勾股定理建立方程求解，体现数形结合思想与方程思想的应用与方程思想的应用切切入入点点(1)(1)由折叠知由折叠知AE=AE，于是求，于是求AE的长的长(2)(2)在在RtRtABD中，由勾股定理求中，由勾股定理求BD的长的
48、长(3)(3)在在RtRtAEB中，利用勾股定理建立方程，求中，利用勾股定理建立方程，求AE的长的长【规律方法】解图形折叠问题的思路1.寻找出折叠前后的不变量(即相等线段，相等角).2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理.3.利用勾股定理建立方程求解.【巧思妙解】巧用面积，事半功倍【典例】在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是()A.B.C.D.3651225943 34【解法对比】本题的“常规解法”既证明相似三角形，又两次用到勾股定理，并且在求CD时计算比较复杂，容易出错；“巧妙解法”巧用两种不同的形式表示同一个三角形的面积，非常轻巧地求出了点C到AB的距离.【技巧点拨】面积法是一种重要的处理几何问题方法，用不同形式表示同一个图形的面积，把已知量与未知量有机结合起来，轻松求出未知量，解题思路清晰，起到了事半功倍的效果.课后作业 见见“本章热点专练本章热点专练”
