1、2.7 二次根式第二章 实数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 二次根式及其化简学习目标1.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点）2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点）导入新课导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河复习引入问题1 什么叫做平方根?一般地，如果一个数的平方等于a
2、，那么这个数叫做a的平方根.问题2 什么叫做算术平方根?如果 x2=a（x0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.(0)a a 问题3 什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_m；若面积为S m2，则边长为_m(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m 图图2S3（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2，如果用含有h 的式子表示
3、t，那么t为_5h问题1 这些式子分别表示什么意义？5h分别表示2，S，3，的算术平方根 上面问题中，得到的结果分别是：，2S35h讲授新课讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一根指数都为2;被开方数为非负数.问题2 这些式子有什么共同特征？归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.(0)aa 两个必备特征外貌特征：含有外貌特征：含有“”内在特征：被开方数内在特征：被开方数a 0注意：a可以是数，也可以是式.例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？23(1)32;(2)6;(3)12;(4)-0(5),;(6)1;(7)5.m mxy x ya；异号 解：(1)(
4、4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析例2 当x是怎样的实数时,在实数范围内有 意义?2x解：由x-20，得x2.当x2时，在实数范围内有意义.2x【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？111x（）；解：由题意得x-10，x1.3(2).1xx解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1.要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根
5、式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.归纳【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？2(1)21;xx2(2)23.xx解：(1)无论x为何实数，当x=1时，在实数范围内有意义.(2)无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，无论x为何实数，在实数范围内都无意义.221xx223xx 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳222110 xxx ，(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；A(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：.ABN00.0ABN；(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A0；
6、BA(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A0且B0.1AB归纳总结1.下列各式：.一定是二次根式的个数有 （）2233;5;112721axxxx；;A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_;12x (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是_.12xxx 1 x 0且x2 练一练问题1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？2x3x前者x为全体实数；后者x为正数和0.当a0时，表示a的算术平方根，因此 0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a0时，0.aaaaa问题2 二次根式 的被开方数
7、a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？a二次根式的双重非负性二 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：a（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知 0.aa二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结例3 若 ，求a-b+c的值.223(4)0abc解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析例4 已知y
8、=,求3x+2y的算术平方根.338xx解：由题意得 x=3，y=8，3x+2y=25.25的算术平方根为5，3x+2y的算术平方根为53 030 xx，【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长3264baa解：由题意得a=3，b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=1130260aa，若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳yaab已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根24xy解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根
9、为3.练一练二次根式的性质及化简三（1），；，；，；，662020949425162516949425162516填一填填一填有何发现？，6.480 ；（2）用计算器计算：，6.4800.92550.925576767676有何发现？要点归纳（a0，b0），（a0，b0）baabbaba商的算术平方根等于算术平方根的商积的算术平方根等于算术平方根的积例5：化简解：(1)(2)(3)（1）；（2）；（3）.6481 625 95;65625625728964816481359595最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.要点归纳例6
10、：化简：(1)5025 22525 2;解:22271(2)14;777771131(3)3.333321(1)50(2)(3).73；例7.化简:2217-25)00(42baba，202832616934原式解：21484217-25(1725）（原式baba242原式 最简二次根式的条件：是二次根式；被开方数中不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式要点归纳当堂练习2.式子 有意义的条件是 （）236xA.x2 B.x2 C.x2 D.x23.若 是整数，则自然数n的值有 （）A.7个 B.8个 C.9个 D.10个95nD1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CDa CA4.当x
11、_，在实数范围内有意义解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x30和分母x10，解得x3且x1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零113xx4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？(1)1;(2)23;2(3);(4).5aaaa(1)-101.aa解：，3(2)230.2aa，(3)00.aa，(4)505.aa，5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围222mmm解：由题意得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，m2(2)无论x取任何实数，代数式
12、都有意义，求m的取值范围26xxm解：由题意得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.(x+3)20，m-90，即m9.6.若x，y是实数，且y ,求 的值.1112xx 11yy解：根据题意得，x=1.y ,y ，.1112xx 1211111yyyy 1 010 xx，7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)0由乘法法则得解得x1 或x0即当x1 或x0时，有意义.1x x 001 01 0 xxxx，或，1x x 能力提升：体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？221xx解：由题意得则 解得x2或x ，即当x2或x 时，有意义2021xx，202021 021 0 xxxx，或，1212221xx课堂小结课堂小结二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式 中,a0且 0aa最简二次根式同学们,加油！2005年11月7日7时33分
