1、初中八年级上册数学-最短路径问题轴对称1-12体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（重点）（重点）能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）（难点）1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？A最短，因为两点之间，线段最短2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PABCPC最短，因为垂线段最短3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？三角形三边关系：两边之和大于第三边；斜边大于直角边.4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？AlA 1、牧马人饮马问题、牧马人饮马问题 “两点的所有连线中，线段最短”“连接
2、直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.ABPlABCD 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成A数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？AC根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.连接AB,与直线 l 相
3、交于一点C.问题问题2 如果点A,B分别是直线l 同侧的两个点，又应该如何解决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？A利用轴对称，作出点B关于直线l 的对称点B.作法：作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求 ABlB C问题问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：证明：如图，在直线l 上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC在ABC中，ABAC
4、+BC，AC+BCAC+BC即 AC+BC 最短ACC 例例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A7.5 B5 C4 D不能确定 解析：ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.B 总结：总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而 后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条 件求解.例例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别
5、为（1，4）和（3，0），点C是 y 轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时点C的坐标是（）A（0，3）B（0，2）C（0，1）D（0，0）解析：作B点关于y 轴对称点B，连接AB，交y 轴于点C，此时ABC的周长最小，然后依据点A与点B的坐标可得到BE、AE的长，然后证明BCO为等腰直角三角形即可BCA 总结：总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固 定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.如图，A和B B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何
6、处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BA2、造桥选址问题、造桥选址问题?B BA AN NM MN NM M 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思考思考方案：方案：（1）把A平移到岸边.（2）把B平移到岸边.（3）把桥平移到和A相连.（4）把桥平移到和B相连.BABAAB（1）把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了（2）把B平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了BA（3）把桥平移到和A相连.（4）
7、把桥平移到和B相连.AMAM+MNMN+BN BN 长度有没有改变呢？解决问题解决问题AA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由理由:另任作桥M1N，连接AM，BN，AN.由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.AM+MN+BN 转化为AA AB，而A M M N BN 转化为AA ANBN.在ANB 中，因为A1N1+BN1A1B.因此AMMNBN AM+MN+BN.AMN证明：证明：由平移的性质，得 BNEM 且且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=
8、AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN，故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.1、如图，直线l是一条河，P、Q是是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQBMCPQlMDDPMQ2、如图，AOB=
9、30，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一点Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是（）A10 B15 C20 D30 A 3、如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.ACBD河4、如图，荆州古城河在CC 处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD,EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短？ADD CCEEB解：解：作AFCD,且AF=河宽，作BG CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E,D.作DD,EE即为桥.理由：由作图法可知，AF/DD，AF=DD，则四边形AFDD为平行四边形，于是AD=FD,同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF最小.CCEEBG原理线段公理和垂线段最短牧马人饮马问题解题方法造桥选址问题关键是将固定线段“桥”平移最短路径问题轴对称知识+线段公理解题方法
