1、2020数学湘教版七年级下册第3章因式分解3【知识再现知识再现】公式法公式法:把乘法公式从把乘法公式从_到到_地使用地使用,就可以就可以把某些形式的多项式进行把某些形式的多项式进行_,_,这种这种_的方法叫做公式法的方法叫做公式法.右右左左因式分解因式分解因式分因式分解解【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P65P65【动脑筋动脑筋】和和【例题例题】,解决下面的问题解决下面的问题,并归纳结论并归纳结论:1.1.计算下列各题计算下列各题:(1)(x+3)(1)(x+3)2 2=_.=_.(2)(2-3a)(2)(2-3a)2 2=_.=_.x x2 2+6x+9+6x+94-12a+9a4-12
2、a+9a2 2(3)x(3)x2 2+6x+9=_.+6x+9=_.(4)4-12a+9a(4)4-12a+9a2 2=_=_ (x+3)(x+3)2 2(2-3a)(2-3a)2 22.2.观察上述各式和计算结果观察上述各式和计算结果,我发现的规律是我发现的规律是:(1)(1)完全平方公式可以进行逆应用完全平方公式可以进行逆应用,就可以把具备完全就可以把具备完全平方式的三项式进行因式分解平方式的三项式进行因式分解.(2)(2)完全完全平方公式因式分平方公式因式分解解:语言叙述语言叙述:两个数的平方和两个数的平方和_(_(或或_)_)这两个数的积的这两个数的积的_倍倍,等于这两个数的等于这两个
3、数的_(_(或或_)_)的平方的平方.用字母表示用字母表示:a:a2 22ab+b2ab+b2 2=_.=_.加上加上减去减去2 2和和差差(a(ab)b)2 2【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!1.1.下列各式中下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是能用完全平方公式进行因式分解的是()A.xA.x2 2-xy+y-xy+y2 2B.2xB.2x2 2+4x+1+4x+114A AC.2xC.2x2 2+4xy+y+4xy+y2 2D.xD.x2 2-y-y2 2+2xy+2xy2.2.多项式多项式x x2 2+ax+4+ax+4能用完全平方公式分
4、解因式能用完全平方公式分解因式,则则a a的值的值是是 _._.3.3.因式分因式分解解:x x2 2-x+.-x+.4 414解解:原式原式=x=x2 2-x+-x+=.=.21()221(x)2知识点一知识点一 用完全平方公式进行因式分解用完全平方公式进行因式分解(P65(P65例例5 5、6 6、7 7拓展拓展)【典例典例1 1】因因式分式分解解:(1)4x(1)4x2 2-12xy+9y-12xy+9y2 2.(2)(x-y)(2)(x-y)4 4-2(x-y)-2(x-y)2 2+1.+1.(3)(x(3)(x2 2+2x)+2x)2 2+2(x+2(x2 2+2x)+1.+2x)+
5、1.【思路点拨思路点拨】题目题目(1)(1)可直接利用完全平方公式进行因可直接利用完全平方公式进行因式分解式分解.题目题目(2)(2)注意要把注意要把(x-y)(x-y)看成整体看成整体,并且要分解到每个因并且要分解到每个因式都不能再分解为止式都不能再分解为止.题目题目(3)(3)要两次运用完全平方公式进行因式分解要两次运用完全平方公式进行因式分解.【自主解答自主解答】(1)4x(1)4x2 2-12xy+9y-12xy+9y2 2=(2x-3y)=(2x-3y)2 2.(2)(x-y)(2)(x-y)4 4-2(x-y)-2(x-y)2 2+1+1=(x-y)=(x-y)2 2-1-12 2
6、=(x-y+1)=(x-y+1)2 2(x-y-1)(x-y-1)2 2.(3)(x(3)(x2 2+2x)+2x)2 2+2(x+2(x2 2+2x)+1+2x)+1=(x=(x2 2+2x+1)+2x+1)2 2=(x+1)=(x+1)4 4.【学霸提醒学霸提醒】完全平方公式因式分解的方法规律完全平方公式因式分解的方法规律1.1.先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后然后再根据公式因式分解再根据公式因式分解.2.2.公式中的公式中的a,ba,b可以是单项式可以是单项式,也可以是多项式也可以是多项式.3.3.对一个三项式对一个三项式,如果发现它
7、不能直接用完全平方公式如果发现它不能直接用完全平方公式分解时分解时,要仔细观察它是否有公因式要仔细观察它是否有公因式,若有公因式应先若有公因式应先提取公因式提取公因式,再考虑用完全平方公式因式分解再考虑用完全平方公式因式分解.4.4.如果三项中有两项能写成两数或两式的平方如果三项中有两项能写成两数或两式的平方,但符号但符号不是不是“+”+”时时,可以先提取可以先提取“-”,-”,然后再用完全平方公然后再用完全平方公式因式分解式因式分解.【题组训练题组训练】1.1.下列各式中下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是能用完全平方公式进行因式分解的是()A.4xA.4x2 2-4x+1-4x+1
8、B.9xB.9x2 2+3x+1+3x+1C.xC.x2 2+4x+2y+4x+2y2 2D.xD.x2 2+5xy+25y+5xy+25y2 2A A2.2.下列各式中下列各式中,不是多项式不是多项式2x2x2 2-4x+2-4x+2的因式的是的因式的是()A.2A.2B.2(x-1)B.2(x-1)C.(x-1)C.(x-1)2 2D.2(x-2)D.2(x-2)D D3.3.已知已知9x9x2 2-2mxy+16y-2mxy+16y2 2能用完全平方公式分解因式能用完全平方公式分解因式,则则m m的值为的值为_._.4.4.多项式多项式(a+b)(a+b)2 2-4(a-4(a2 2-b
9、-b2 2)+4(a-b)+4(a-b)2 2分解因式的结分解因式的结果是果是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号5.5.分解因式分解因式:世纪金榜导学号世纪金榜导学号1212(3b-a)(3b-a)2 2(1)16x(1)16x2 2y y2 2-40 xy+25.-40 xy+25.(2)x(2)x4 4+16y+16y4 4+8x+8x2 2y y2 2.(3)-4m(3)-4m2 2+12mn-9n+12mn-9n2 2.(4)(a-2b)(4)(a-2b)2 2-12(a-2b)+36.-12(a-2b)+36.解解:(1)(1)原式原式=(4xy)=(4xy)2 2-40 xy+5
10、-40 xy+52 2=(4xy-5)=(4xy-5)2 2.(2)(2)原式原式=(x=(x2 2)2 2+2x+2x2 24y4y2 2+(4y+(4y2 2)2 2=(x=(x2 2+4y+4y2 2)2 2.(3)(3)原式原式=-(4m=-(4m2 2-12mn+9n-12mn+9n2 2)=-(2m-3n)=-(2m-3n)2 2.(4)(4)原式原式=(a-2b-6)=(a-2b-6)2 2.知识点二知识点二 综合运用提公因式法、公式法进行因式分解综合运用提公因式法、公式法进行因式分解(P66(P66例例8 8拓展拓展)【典例典例2 2】(1)(1)因式分因式分解解:a a4 4
11、b-6b-6a a3 3b+9ab+9a2 2b.b.世纪金榜导世纪金榜导学号学号(2)(2)已知已知a-b=5,ab=3,a-b=5,ab=3,求代数式求代数式a a3 3b-2ab-2a2 2b b2 2+ab+ab3 3的值的值.【自主解答自主解答】(1)a(1)a4 4b-6ab-6a3 3b+9ab+9a2 2b b=a=a2 2b(ab(a2 2-6a+9)-6a+9)=a=a2 2b(a-3)b(a-3)2 2.(2)a(2)a3 3b-2ab-2a2 2b b2 2+ab+ab3 3=ab(a=ab(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)=ab(a-b)=ab(a-b)2 2
12、.把把a-b=5,ab=3a-b=5,ab=3代入原式代入原式,得得3 35 52 2=75.=75.【学霸提醒学霸提醒】因式分解的技巧因式分解的技巧1.1.首选提取公因式法首选提取公因式法:即首先观察多项式中各项有没有即首先观察多项式中各项有没有公因式公因式.若有若有,则先提取公因式则先提取公因式,再考虑其他方法再考虑其他方法.2.2.当多项式各项无公因式或已提取公因式时当多项式各项无公因式或已提取公因式时,应观察各应观察各多项式的项数多项式的项数.(1)(1)当项数为两项或可看作两项时当项数为两项或可看作两项时,考虑利用平方差公考虑利用平方差公式式a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a
13、-b).=(a+b)(a-b).(2)(2)当项数为三项时当项数为三项时,可考虑完全平方公式可考虑完全平方公式.(3)(3)当项数为四项或四项以上时当项数为四项或四项以上时,可考虑对原式进行整可考虑对原式进行整理变形理变形.3.3.以上两种思路无法进行因式分解时以上两种思路无法进行因式分解时,这时考虑展开后这时考虑展开后分解或拆分解或拆(添添)项后再分解项后再分解.【题组训练题组训练】1.1.把多项式把多项式axax3 3-2ax-2ax2 2+ax+ax分解因式分解因式,结果正确的是结果正确的是()A.ax(xA.ax(x2 2-2x)-2x)B.axB.ax2 2(x-2)(x-2)C.a
14、x(x+1)(x-1)C.ax(x+1)(x-1)D.ax(x-1)D.ax(x-1)2 2D D2.2.下列代数式下列代数式3(x+y)3(x+y)3 3-27(x+y)-27(x+y)因式分解的结果正确因式分解的结果正确的是的是()A.3(x+y)(x+y+3)(x+y-3)A.3(x+y)(x+y+3)(x+y-3)B.3(x+y)(x+y)B.3(x+y)(x+y)2 2-9-9C.3(x+y)(x+y+3)C.3(x+y)(x+y+3)2 2D.3(x+y)(x+y-3)D.3(x+y)(x+y-3)2 2A A3.3.多项式多项式m m2 2n-mn+nn-mn+n因式分解的结果为
15、因式分解的结果为_._.4.4.若一个长方形的面积是若一个长方形的面积是x x3 3+2x+2x2 2+x,+x,且一边长为且一边长为x+1,x+1,则其邻边长为则其邻边长为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号x x2 2+x+x1421n(m)25 5.因式分因式分解解:世纪金榜导世纪金榜导学号学号(1)9x(1)9x3 3y y3 3-21x-21x3 3y y2 2+12x+12x2 2y y2 2.(2)x(2)x2 2(x-y)+y(x-y)+y2 2(y-x).(y-x).(3)(a-b)(3)(a-b)2 2-4(a-b)c+4c-4(a-b)c+4c2 2.(4)(m-4)(m
16、+1)+3m.(4)(m-4)(m+1)+3m.解解:(1)(1)原式原式=3x=3x2 2y y2 2(3xy-7x+4).(3xy-7x+4).(2)(2)原式原式=x=x2 2(x-y)-y(x-y)-y2 2(x-y)=(x-y)(x(x-y)=(x-y)(x2 2-y-y2 2)=(x-y)(x-y)(x+y)=(x-y)=(x-y)(x-y)(x+y)=(x-y)2 2(x+y).(x+y).(3)(3)原式原式=(a-b-2c)=(a-b-2c)2 2.(4)(4)原式原式=m=m2 2-3m-4+3m=m-3m-4+3m=m2 2-4-4=(m+2)(m-2).=(m+2)(m
17、-2).【火眼金睛火眼金睛】因式分因式分解解:x x2 2-2x+3.-2x+3.13【正解正解】原式原式=(x=(x2 2-6x+9)-6x+9)=(x-3)=(x-3)2 2.1313【一题多变一题多变】因式分因式分解解:4x4x2 2-12xy+9y-12xy+9y2 2.解解:4x4x2 2-12xy+9y-12xy+9y2 2=(2x)=(2x)2 2-22x3y+(3y)-22x3y+(3y)2 2=(2x-3y)=(2x-3y)2 2.【母题变式母题变式】【变式一变式一】(变换条件和问法变换条件和问法)已知已知xy=3,xxy=3,x2 2-2xy+4y-2xy+4y2 2=10
18、,=10,求求x-2yx-2y的值的值.解解:由由x x2 2-2xy+4y-2xy+4y2 2=10,=10,得得x x2 2-4xy+4y-4xy+4y2 2+2xy=10,+2xy=10,即即(x-2y)(x-2y)2 2+2xy=10.+2xy=10.把把xy=3xy=3代入上式代入上式,得得(x-2y)(x-2y)2 2+6=10.+6=10.所以所以,(x-2y),(x-2y)2 2=4.=4.故故x-2y=x-2y=2.2.【变式二变式二】(变换条件和问法变换条件和问法)若若ab=,a+b=,ab=,a+b=,求多项式求多项式a a3 3b+2ab+2a2 2b b2 2+ab+ab3 3的值的值.1845解解:a a3 3b+2ab+2a2 2b b2 2+ab+ab3 3=ab(a=ab(a2 2+2ab+b+2ab+b2 2)=ab(a+b)=ab(a+b)2 2.把把ab=,a+b=ab=,a+b=代入原式代入原式,得得 =.=.1845162518225
