1、 北京金企鹅文化发展中心北京金企鹅文化发展中心目录页第 2 页目录页第六章 常微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的二阶微分方程*第四节 二阶线性微分方程目录页第 3 页目录页第一节 微分方程的基本概念 一、引例 二、微分方程的基本概念LOGO第 4 页第一节 微分方程的基本概念一引例第六章 常微分方程解解：如果一曲线上任意一点（如果一曲线上任意一点（x,y）处的切线斜率等于）处的切线斜率等于2x，且该曲线通过点，且该曲线通过点(1,2)，求该曲线的方程，求该曲线的方程例1设所求曲线为设所求曲线为y=f(x)，由导数的几何意义可知，由导数的几何意义可知，y
2、=f(x)满足关系式满足关系式又因曲线经过点又因曲线经过点(1,2)，即所求曲线应满足，即所求曲线应满足d2dyxx1|2xy（1）（2）对式（对式（1）两边积分，得）两边积分，得22 d()yx xxCC为任意常数（3）把条件（把条件（2）代入式（）代入式（3），得），得1C 将将C=1代入式（代入式（3）得所求方程为）得所求方程为21yx（4）可以看出，解可以看出，解决此问题的方法决此问题的方法:（1）首先建立一个）首先建立一个含有未知函数的导含有未知函数的导数的方程，数的方程，（2）然后通过此方）然后通过此方程求出满足所给附加程求出满足所给附加条件的未知函数条件的未知函数LOGO第 5
3、页二微分方程的基本概念第一节 微分方程的基本概念第六章 常微分方程微分方程的定义1 表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程称为表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程称为微分方程微分方程在微分方程中，自变量及未知函数在微分方程中，自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数必可以不出现，但未知函数的导数必须出现须出现微分方程偏微分方程常微分方程 例如：例如：22ddd222dddyssxsxtt，本章我们只介绍常微分方程的有关知识，故后面所述的微分方程都指常微分方本章我们只介绍常微分方程的有关知识，故后面所述的微分方程都指常微分方程程LOGO第 6 页二微分方程的基本概念
4、第一节 微分方程的基本概念第六章 常微分方程123一般地，一阶微分方程的一般形式为一般地，一阶微分方程的一般形式为二阶微分方程的一般形式为二阶微分方程的一般形式为n阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为微分方程的阶2()yf x y，()0F x yy，或或()yf x y y，()0F x y yy，或或()(1)()nnyf xyyy，()()0nF xyyyy，或或LOGO第 7 页二微分方程的基本概念第一节 微分方程的基本概念第六章 常微分方程微分方程的解3定义1 如果函数如果函数y=f(x)满足一个微分方程，则称它是该微分方程的满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解解求微分求
5、微分方程的解的过程，称为解微分方程方程的解的过程，称为解微分方程 若微分方程的解中含有相互独立的若微分方程的解中含有相互独立的任意常数，并且任意常数的个数等于该任意常数，并且任意常数的个数等于该微分方程的阶数，则这个解称为该微分微分方程的阶数，则这个解称为该微分方程的方程的通解通解 通解中的任意常数，根据某些条件通解中的任意常数，根据某些条件确定下来后，对应的解称为该微分方程确定下来后，对应的解称为该微分方程的一个的一个特解特解用于确定通解中任意常数的条用于确定通解中任意常数的条件称为件称为初始条件初始条件 从几何上说，微分方程通解的图形是一族曲线，即积分曲线族，而微分方程的特解是积分从几何上
6、说，微分方程通解的图形是一族曲线，即积分曲线族，而微分方程的特解是积分曲线族的一条积分曲线曲线族的一条积分曲线目录页第 8 页目录页第二节 一阶微分方程 一、最简单的一阶微分方程的解法 二、可分离变量的微分方程 三、齐次型微分方程 四、一阶线性微分方程LOGO第 9 页一最简单的一阶微分方程的解法第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程最简单的一阶微分方程的解法最简单的一阶微分方程的解法形如形如d()dyf xx的方程是最简单的一阶微分方程它的右端是自变量的已知函数，其解法很简单，将上式的方程是最简单的一阶微分方程它的右端是自变量的已知函数，其解法很简单，将上式改写成微分式，即改写成微分式，即d
7、()dyf xx两边积分两边积分()dyf xx便得通解便得通解()yF xC（其中（其中F(x)是是f(x)的一个原函数）的一个原函数）LOGO第 10 页二可分离变量的微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能化成如果一个一阶微分方程能化成的形式，也就是说，微分方程可化成一端只含的形式，也就是说，微分方程可化成一端只含y的函数和的函数和dy的乘积，而另一端只含的乘积，而另一端只含x的函的函数和数和dx的乘积，那么原方程就称为可的乘积，那么原方程就称为可分离变量的微分方程分离变量的微分方程()d()dg yyf xx12可分离
8、变量的微分方程的解法称为可分离变量的微分方程的解法称为分离变量法分离变量法其步骤如下：其步骤如下：分离变量：分离变量：()d()dg yyf xx两边求不定积分：两边求不定积分：得通解得通解()d()dg yyf xx()()G yF xCLOGO第 11 页二可分离变量的微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程例1解解：求方程求方程 的通解的通解2lnlnyxyx 分离变量得分离变量得原方程可化为原方程可化为 ，它是可分离变量的微分方程，它是可分离变量的微分方程2d(1)lndyyxx2dln d1yx xy两边积分得两边积分得2dln d1yx xy计算积分可得原方程的通解为计算积分
9、可得原方程的通解为 ，即，即arctanlnyxxxCtan(ln)yxxxCLOGO第 12 页二可分离变量的微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程例2解解：这是可分离变量的微分方程这是可分离变量的微分方程求微分方程求微分方程 的通解的通解d2dyxy x分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即1d2 dyx xy1d2 dyx xy21ln|yxC2211|eeexCCxy21eeCxy 若令若令 ，它仍是任意常数，便得所给微分方程的通解，它仍是任意常数，便得所给微分方程的通解 1eCC 2exyCLOGO第 13 页三齐次型微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程齐次型
10、微分方程齐次型微分方程 形如形如 的微分方程称为的微分方程称为齐次型微分方程齐次型微分方程它的解法是它的解法是变量替换法变量替换法ddyyfxx 令令 ，则，则 ，代入上式，得到关于未知函数，代入上式，得到关于未知函数u、自、自变量变量x的微分方程的微分方程 该方程是可分离变量方程，因此可求其通解，进而求得齐次型微分方该方程是可分离变量方程，因此可求其通解，进而求得齐次型微分方程的解程的解yuxddddyuyxuuxxx，d()duuxf uxLOGO第 14 页三齐次型微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程例3解解：求微分方程求微分方程 的通解的通解dtandyyyxxx令令 ，则，
11、则 ，将其代入原方程，得，将其代入原方程，得分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得将将 回代，得原方程的通解为回代，得原方程的通解为 yuxddddyuyxuuxxx，dtanduuxuux1cot ddu uxx1cot ddu uxxlnsinlnlnuxCsinuCxyuxsinyCxxLOGO第 15 页四一阶线性微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程 形如形如的方程称为的方程称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程，其中，其中p(x),Q(X)为已知连续函数为已知连续函数)()(xQyxpy （1）当）当Q(X)=0时，方程变为时，方程变为称为称
12、为一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程()0yp x y （2）当）当Q(X)0时，对应的微分方程称为时，对应的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程LOGO第 16 页四一阶线性微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程一阶线性齐次微分方程的解法1 对于这种方程，可以用分离变量法求出通解对于这种方程，可以用分离变量法求出通解 分离变量分离变量 两边积分两边积分d()dyp xxy 1d()dyp xxyln()dlnyp xxC 故一阶线性齐次微分方程故一阶线性齐次微分方程 的通解为的通解为()0yp x y()dep xxyCLOGO第 17 页四一阶线性微分方程
13、第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程一阶线性非齐次微分方程的解法2 求一阶线性非齐次微分方程求一阶线性非齐次微分方程 的通解，可采用的通解，可采用“常数常数变易法变易法”，即将上述一阶线性齐次微分方程通解中的常数即将上述一阶线性齐次微分方程通解中的常数C换成待定函数换成待定函数C(x)，设，设微分方程微分方程 的解具有形式的解具有形式)()(xQyxpy)()(xQyxpy()d()ep xxyC x于是于是 将将y,y代入代入 ，得，得()d()d()e()()ep xxp xxyC xC xp x)()(xQyxpy()d()e()p xxC xQ x两边积分得两边积分得()d()e()
14、dp xxC xQ xxC 于是可得于是可得()d()dee()dp xxp xxyQ xxCLOGO第 18 页四一阶线性微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程12一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程的通解的通解一阶线性非齐次微分方一阶线性非齐次微分方程通解中程通解中C=0时的特解时的特解分析一阶线性非齐次微分方程分析一阶线性非齐次微分方程 的通解结构的通解结构将其通解展开，得将其通解展开，得()d()d()deee()dp xxp xxp xxyCQ xxLOGO第 19 页四一阶线性微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程例4解解：求方程求方程 的通解的通解222(1)
15、2(1)xyxyx将原方程改写成将原方程改写成22211xyyxx 方法一：常数变易法方法一：常数变易法2201xyyx（1）先求出对应齐次方程）先求出对应齐次方程 的通解的通解分离变量得分离变量得2d2d1yxxyx两边积分得两边积分得2d2d1yxxyx2lnln(1)lnyxC所以通解为所以通解为2(1)yCx（2）设非齐次方程的解）设非齐次方程的解为为 ，代入原方程得，代入原方程得积分可得积分可得2()(1)yC xx22222()(1)2()()(1)11xC xxxC xC xxxx()1C x()C xxC由此得原方程的通解为由此得原方程的通解为2(1)()yxxCLOGO第 2
16、0 页四一阶线性微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程接上页解解：方法二：公式法方法二：公式法因原方程为因原方程为22211xyyxx 此时此时222()()11xp xQ xxx，所以原方程的通解为所以原方程的通解为2222dd211ee(1)dxxxxxxyxxC22ln(1)21ed1xxxCx2(1)()xxCLOGO第 21 页四一阶线性微分方程第二节 一阶微分方程第六章 常微分方程例5解解：根据公式可得方程的通解为根据公式可得方程的通解为求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 的特解的特解23exyy 0|0 xy由题意可知，由题意可知，2()3()exp xQ x，3d3
17、d233eeedee de(e)xxxxxxxyxCxCC将初始条件将初始条件 代入通解，得代入通解，得C=-10|0 xy23eexxy所以，所求的特解为所以，所求的特解为目录页第 22 页目录页第三节 可降阶的二阶微分方程 一、型()yf x 二、型()yf xy，三、型()yf yy，LOGO第 23 页第三节 可降阶的二阶微分方程一第六章 常微分方程()yf x 型型 微分方程微分方程 的右端是仅含自变量的右端是仅含自变量x的函数其解法是逐次积的函数其解法是逐次积分，每积分一次，方程降低一阶，经过两次积分，便得含有两个任意常分，每积分一次，方程降低一阶，经过两次积分，便得含有两个任意常
18、数的通解数的通解()yf x 例1求求 的通解的通解 cosyxx 解解：积分一次得积分一次得1cos dsincosyxx xxxxC 再积分一次得所给方程的通解为再积分一次得所给方程的通解为112(sincos)dcos2sinyxxxCxxxxC xC LOGO第 24 页二第三节 可降阶的二阶微分方程第六章 常微分方程型型()yf xy，此类方程的特点是：方程中不显含未知函数此类方程的特点是：方程中不显含未知函数y 其解法是：设其解法是：设y=p(x)，代入原方程得，代入原方程得 ，这是关于自，这是关于自变量变量x、未知函数、未知函数p=p(x)的一阶微分方程求出其通解的一阶微分方程求
19、出其通解 ，即，即 后，对其再积分一次就能得到原方程的通解后，对其再积分一次就能得到原方程的通解d()dppf x px，1()pxC，1()yxC，LOGO第 25 页二第三节 可降阶的二阶微分方程第六章 常微分方程例2解解：解方程解方程 0 xyy原方程是原方程是 型型令令y=p(x)，则，则y=p，将其代入原方程得，将其代入原方程得此方程为可分离变量方程，分离变量得此方程为可分离变量方程，分离变量得两边积分，得其通解为两边积分，得其通解为()yf xy，0 xpp11ddpxpx1pC x从而有从而有 ，再积分可得原方程的通解为，再积分可得原方程的通解为1yC x21212yC xCLO
20、GO第 26 页三第三节 可降阶的二阶微分方程第六章 常微分方程型型()yf yy，此类方程的特点是：方程中不显含自变量此类方程的特点是：方程中不显含自变量x 其解法是：设其解法是：设y=p(y)，则有，则有 ，于是原方程，于是原方程可化为一阶微分方程可化为一阶微分方程 ，这是关于，这是关于y,p的一阶微分方程求其的一阶微分方程求其通解通解p后，根据后，根据 ，再解一个一阶微分方程，就可得到原方程的通，再解一个一阶微分方程，就可得到原方程的通解解d()dddddddp ypypypxyxy d()dppf ypy，ddypxLOGO第 27 页三第三节 可降阶的二阶微分方程第六章 常微分方程例
21、3解解：解方程解方程 2()yyy原方程是原方程是 型型令令y=p(y)，则，则 ，将其代入原方程得，将其代入原方程得即即可解得可解得 解这个一阶微分方程得原方程的通解为解这个一阶微分方程得原方程的通解为()yf yy，ddpypy 2ddpyppyddpypy1pC y即即1ddyC yx12eC xyCLOGO第 28 页三第三节 可降阶的二阶微分方程第六章 常微分方程代换代换所用代换所用代换，只换未知函数，不换只换未知函数，不换自变量，故有自变量，故有 型型()yf xy，()yp x()xxxyyp 所用代换所用代换，不仅换了未知函数不仅换了未知函数，而且换了自变量，而且换了自变量，因
22、此因此型型()yf yy，()yp y d()dddddddp ypypypxyxy 目录页第 29 页目录页求微分方程 的通解当p2-4q0时，r1,r2是不相等的两个实根；（2）然后通过此方程求出满足所给附加条件的未知函数（其中F(x)是f(x)的一个原函数）当p2-4q0时，r1,r2是不相等的两个实根；求一阶线性非齐次微分方程 的通解，可采用“常数变易法”，因此，方程 的通解为故求y*的步骤是：首先依据条件设出y*，然后将y*代入方程（2）确定Qm(x)中的m+1个待定系数因=1不是特征方程的单根，故设方程的特解为此类方程的特点是：方程中不显含自变量x当p2-4q=0时，r1,r2是相
23、等的两个实根；比较两边 的同次幂系数，得当p2-4q0时，时，r1,r2是不相等的两个实根；是不相等的两个实根；当当p2-4q=0时，时，r1,r2是相等的两个实根；是相等的两个实根；当当p2-4q0时，时，r1,r2是不相等的两个实根；是不相等的两个实根；当当p2-4q=0时，时，r1,r2是相等的两个实根；是相等的两个实根；LOGO第 35 页LOGO一第四节 二阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第六章 常微分方程1当当p2-4q0时，时，r1,r2是不相等的两个实根；是不相等的两个实根；若若r1,r2是不相等的两个实根，则方程是不相等的两个实根，则方程 的两个特解是的两个特解是0y
24、pyqy1212eer xr xyy，且且12()12errxyy常数因此，方程因此，方程 的通解为的通解为0ypyqy121212ee()r xr xyCCCC，为常数LOGO第 36 页LOGO一第四节 二阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第六章 常微分方程2当当p2-4q=0时，时，r1,r2是相等的两个实根；是相等的两个实根；（1）若）若r1,r2是相等的两个实根，则是相等的两个实根，则 ，得到方程，得到方程 的一个特解为的一个特解为 122prr 0ypyqy11er xy （2）为了求通解，还需求另一个与）为了求通解，还需求另一个与y1线性无关的解线性无关的解y2设设 ，其中
25、，其中，将其代入方程整理得，将其代入方程整理得21()yC x y21()yC xy 常数12111e()(2)()()()0r xCxrp Cxrprq C x 因为因为 ，r1是方程（是方程（1）的重根，故有）的重根，故有 ，因，因此可得此可得C=0 1e0r x21110 20rprqrp，对上式积分两次，得对上式积分两次，得1212()()C xC xCCC，为常数 可令可令 ，取，取C(x)=x，由此得到方程，由此得到方程 的另一个解的另一个解 1210CC，12er xyx 所以，方程所以，方程 的通解为的通解为1212()e()rxyCC xCC，为常数LOGO第 37 页LOG
26、O一第四节 二阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第六章 常微分方程3当当p2-4q0时，时，r1,r2是一对共轭虚根；是一对共轭虚根；若若r1,r2是一对共轭虚根，可根据欧拉公式是一对共轭虚根，可根据欧拉公式将将y1,y2改写为改写为ecosisini(i)i1ee ee(cosisin)xxxxyxx(i)i2ee ee(cosisin)xxxxyxx取方程取方程 另两个特解为另两个特解为0ypyqy1121()ecos2xyyyx2121()esin2ixyyyx且且 ，则方程，则方程 的通解为的通解为12cotyxy 常数0ypyqy12e(cossin)xyCxCxLOGO第 3
27、8 页LOGO一第四节 二阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第六章 常微分方程步骤1步骤2步骤3综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下：综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下：写出特征方程写出特征方程20rprq求出特征根求出特征根12rr，由特征根的情况写出其通解由特征根的情况写出其通解LOGO第 39 页LOGO一第四节 二阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第六章 常微分方程例1解解：该方程的特征方程为该方程的特征方程为解出特征根为解出特征根为求微分方程求微分方程 的通解的通解430yyy2430rr因为因为，故所求方程的通解为，故所求方程的通解为1
28、213rr，312eexxyCCLOGO第 40 页LOGO一第四节 二阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第六章 常微分方程例2解解：求微分方程求微分方程 满足初始条件满足初始条件 的一个特的一个特解解 20yyy00|1|3xxyy，所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为 ，特征根为，特征根为r1=r2=1，所以，该，所以，该微分方程的通解为微分方程的通解为2210rr12()exyCC x将将 代入得代入得C1=1；对上式求导有；对上式求导有122()exyCC xC 01xy将将 代入得代入得C2=2；0|3xy所以原微分方程的特解为所以原微分方程的特解为(12)exyxLOGO
29、第 41 页LOGO一第四节 二阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第六章 常微分方程例3解解：求微分方程求微分方程 的通解的通解6130yyy所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为 特征根特征根，因因 ，故所给微分方程的通解是，故所给微分方程的通解是26130rr32ir 32，312e(cos2sin2)xyCxCxLOGO第 42 页二第四节 二阶线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程第六章 常微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构1定理3 若若y*是二阶常系数非齐次线性微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 的一个的一个特解，特解，Y是其对应的齐次方程是其对应的齐次方程
30、 的通解，则的通解，则()ypyqyf x0ypyqy*yYy就是方程就是方程 的通解的通解()ypyqyf x 定理定理3表明：求二阶常系数非齐次线性表明：求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，只要求得相应的齐次线性微分方程的通解，只要求得相应的齐次线性方程的通解，再求出非齐次线性方程的一个方程的通解，再求出非齐次线性方程的一个特解即可特解即可LOGO第 43 页二第四节 二阶线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程第六章 常微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的解法21 型 ()e()xmfxPx 设方程设方程 的右端的右端 ，其中，其中，是常数，是常数，Pm(x)是一个已知的是一个已知的
31、x的的m次多项式，则次多项式，则()ypyqyf x()e()xmfxPxe()xmypyqyPx（2）我们假设我们假设 是方程（是方程（2）的特解，其中，）的特解，其中，Qm(x)是与是与Pm(x)同次的多项式，其各项系数待定；同次的多项式，其各项系数待定；k的取值如下：的取值如下：*()ekxmyx Qx012k，当 不是特征根时，当 是特征单根时当 是特征重根时，待定系数法待定系数法:故求故求y*的步骤是：首先依据条件设出的步骤是：首先依据条件设出y*，然后将，然后将y*代入方代入方程（程（2）确定）确定Qm(x)中的中的m+1个待定系数个待定系数LOGO第 44 页二第四节 二阶线性微
32、分方程二阶常系数非齐次线性微分方程第六章 常微分方程例4解解：求微分方程求微分方程 的一个特解的一个特解 263exyyy260rr所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为 ，特征根为，特征根为r1=2,r2=-3，因，因=2是特征方程的单根，故设方程的特解为是特征方程的单根，故设方程的特解为则则 代入原方程得代入原方程得解得解得2*exyax22*(2)e*(44)exxyaaxyaax，225 e3exxa35a 所以，原方程的一个特解为所以，原方程的一个特解为23*e5xyxLOGO第 45 页二第四节 二阶线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程第六章 常微分方程例5解解：求微分方程求
33、微分方程 的一个特解的一个特解 23(1)exyyyx所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为 ，特征根为，特征根为r1=-1,r2=3。将将y*代入原方程，经化简得代入原方程，经化简得比较两边比较两边 的同次幂系数，得的同次幂系数，得2230rr因因=1不是特征方程的单根，故设方程的特解为不是特征方程的单根，故设方程的特解为01*()exyb xb01441b xbx011144bb ，因此，该方程的特解为因此，该方程的特解为1*(1)e4xyx LOGO第 46 页二第四节 二阶线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程第六章 常微分方程2 型 ()cossinf xAxBx 可以证明，方程
34、（可以证明，方程（3）的特解为）的特解为 如果方程如果方程 的右端的右端 ，其中，其中 为实数，这时方程为实数，这时方程 成为成为()ypyqyf x()cossinf xAxBxA B，（3）cossinypyqyAxBx*(cossin)kyxaxbx其中，其中，a和和b是待定常数，是待定常数，k是整数，其取值如下：是整数，其取值如下：01irkir，当不是特征根 时，当是特征根 时LOGO第 47 页二第四节 二阶线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程第六章 常微分方程例6解解：求微分方程求微分方程 的通解的通解 3220cos2yyyx所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为 ，特征根为，特征根为r1=-1,r2=-2。故原方程对应的齐次方程的通解为故原方程对应的齐次方程的通解为2320rr212eexxYCC因因 不是特征方程的根，故可设方程的特解为不是特征方程的根，故可设方程的特解为将其代入原方程，整理得将其代入原方程，整理得比较系数可得比较系数可得i2i*cos2sin2yaxbx(26)cos2(26)sin 220cos2abxbaxx 2620260abba解得解得13ab，原方程的特解为原方程的特解为*cos 23sin 2yxx 所以，原方程的通解为所以，原方程的通解为212eecos 23sin 2xxyCCxx
