1、第第7章章 一次方程组一次方程组7.3 三元一次方程组三元一次方程组 及其解法及其解法1课堂讲解课堂讲解三元一次方程三元一次方程(组组)的有关概念的有关概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 一副扑克牌共一副扑克牌共54张，老师将一副扑克牌分给甲、张，老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友乙、丙三名小朋友.甲拿到的牌数是乙的甲拿到的牌数是乙的2倍；若把倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张张.问老师分给甲、乙、丙各几张牌？问
2、老师分给甲、乙、丙各几张牌？1知识点知识点三元一次方程三元一次方程(组组)的有关概念的有关概念 在在7.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在勇士队在“我们的小世界杯我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中足球赛第一轮比赛中胜与平的场数胜与平的场数.在第二轮比赛中，勇士队参加了在第二轮比赛中，勇士队参加了 10场比赛，按场比赛，按同样的计分规则，共得同样的计分规则，共得18分分.已知勇士队在比赛中胜已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？第二轮比赛中胜
3、、平、负的场数各是多少？知知1 1导导知知1 1导导 这个问题可以用多种方法这个问题可以用多种方法(算术方法、列出一元一算术方法、列出一元一次方程或二元一次方程组次方程或二元一次方程组)来解决来解决.小明同学提出了一个新的思路：小明同学提出了一个新的思路：问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为赛中胜、平、负的场数分别为x、y、z，又将怎样呢？，又将怎样呢？分别将已知条件直接分别将已知条件直接“翻译翻译”，列出方程，并将，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得它们写成方程组的形式，得 像这样的方程组称为三元一次方程组像这样的
4、方程组称为三元一次方程组.10,318,.xyzxyxyz+=+=+（来自（来自教材教材）知知1 1讲讲1三元一次方程三元一次方程:含有三个未知数含有三个未知数,并且所含未知并且所含未知 数数的项的次数都是的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次，这样的方程叫做三元一次 方程方程 必备条件：必备条件：(1)是整式方程；是整式方程；(2)含三个未知数；含三个未知数；(3)所含未知数的项的次数都是所含未知数的项的次数都是1.知知1 1讲讲2三元一次方程组：三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一共含有三个未知数的三个一 次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方
5、程 组组 必备条件：必备条件：(1)是整式方程；是整式方程；(2)共含三个未知数；共含三个未知数；(3)三个都是一次方程；三个都是一次方程；(4)联立在一起联立在一起 例例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是下列方程组中，是三元一次方程组的是()A.B.C.D.知知1 1讲讲21,0,2xyyzxz-=+=11,12,16yxzyxz+=+=+=1,2,3abcdacbd+=-=-=18,12,0mnnttm+=+=+=DA选项中选项中，方程方程x2y1与与xz2中有含未知数的中有含未知数的项项的次数为的次数为2的项的项，不符合三元一次方程组的定不符合三元一次方程组的定义，故义，故A选项不是
6、选项不是；B选项中选项中 不是整式，不是整式，故故B B选项不是选项不是;C选项中方程组中共含有四个未知选项中方程组中共含有四个未知数数,故故C选项不是选项不是;D选项符合三元一次方程组的选项符合三元一次方程组的定义故答案为定义故答案为D.知知1 1讲讲1 1 1,xy z，导引：导引：三元一次方程组需满足的条件：三元一次方程组需满足的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是每个方程中所含未知数的项的次数都是1；(3)每个方程均是整式方程每个方程均是整式方程总总 结结知知1 1讲讲1 下列方程是三元一次方程的是下列方程是三元一
7、次方程的是_(填序号填序号)xyz1;4xy3z7；6x4y30.知知1 1练练270;yzx+-=2 其中是三元一次方程组的是其中是三元一次方程组的是_(填序号填序号)知知1 1练练5,237,240;xyzyzxxzw+-=-+=-+=112,114,1110.xyyzzx+=+=+=236,48,35;abbcb+=-=237,8,44;xyzxyzxyz+-=-+=+=7,8,9;xyyzzx=2知识点知识点三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法知知2 2导导 怎样解三元一次方程组呢？怎样解三元一次方程组呢？在上一节中，我们学习了二元一次方程组的解在上一节中，我们学习了二元一次方程组
8、的解法，其基本思想是法，其基本思想是:通过通过“消元消元”，消去一个未知，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解数，将方程组转化为一元一次方程求解.方法有代方法有代入消元法和加减消元法入消元法和加减消元法.对于三元一次方程组，同样可以先消去一个对于三元一次方程组，同样可以先消去一个(或或两个两个)未知数，转化为二元一次方程组未知数，转化为二元一次方程组(或一元一次方或一元一次方程程)求解求解.注意到方程中，注意到方程中，x是用含是用含y和和z的代数式来表示的代数式来表示 的，将它分别代人方程、，得到的，将它分别代人方程、，得到这是一个关于这是一个关于y、z的二元一次方程组，解之得的二元
9、一次方程组，解之得将将y=3,z=2代人方程，可以得到代人方程，可以得到x=5.所以这个三元一次方程组的解是所以这个三元一次方程组的解是知知2 2导导2210,4318.yzyz+=+=3,2.yz=5,3,2.xyz=（来自（来自教材教材）试一试试一试 上面的三元一次方程组能否应用加减消元法上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解求解?或者能否利用方程，直接消去方程中或者能否利用方程，直接消去方程中的的y+z?比较一下，哪种方法更简便？比较一下，哪种方法更简便？知知2 2导导1.解三元一次方程组的基本思路是：解三元一次方程组的基本思路是：通过通过“代入代入”或或“加减加减”进行消元，把进行
10、消元，把“三元三元”化为化为“二元二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而 再转化为一元一次方程，用简图表示为：再转化为一元一次方程，用简图表示为：知知2 2讲讲三元一次三元一次方程组方程组二元一次二元一次方程组方程组一元一次一元一次方程组方程组uuuu r消消元元uuuu r消消元元2求解方法：求解方法：加减消元法和代入消元法加减消元法和代入消元法3解三元一次方程组的一般步骤：解三元一次方程组的一般步骤：(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未 知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程
11、组；知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系 数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用符号将求得的三个未知数的值用符号“”合写在一起合写在一起知知2 2讲讲解方程组：解方程组：知知2 2讲讲2343,327,231.xyzxyzxyz-+=-+=
12、+-=例例2由方程由方程，得得z73x+2y.将分别代入和，得将分别代入和，得解：解：234(732)3,23(732)1.xyxyxyxy-+-+=+-+=整理，得整理，得25,5211.xyxy-+=-=解这个二元一次方程组，得解这个二元一次方程组，得 代入，得代入，得 z7-3-6=-2.所以原方程组的解是所以原方程组的解是知知2 2讲讲1,3,2.xyz=-=-（来自教材）（来自教材）1,3.xy=-总总 结结知知2 2讲讲 解三元一次方程组时，消去哪个解三元一次方程组时，消去哪个“元元”都是可都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方
13、程组选择最为简便的解法此题中的方法一最为简便组选择最为简便的解法此题中的方法一最为简便要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元骤和消元方法，不要盲目消元解方程组：解方程组：知知2 2讲讲3433,2322,53422.xyzxyzxyz+-=-=-+=-例例3三个方程中未知数的系数都不是三个方程中未知数的系数都不是1或或-1，用代，用代入消元法比较麻烦入消元法比较麻烦,可考虑用加减消元法来解可考虑用加减消元法来解.分析：分析：-，得，得 3x+6z=-24,即即 x+2z=-8.3+4，得，得17x-17z=17，即即
14、x-z=1.解：解：得方程组得方程组解得解得 将将x-2，z-3.代入方程代入方程，得，得y0.所以原方程组的解是所以原方程组的解是知知2 2讲讲2,0,3.xyz=-=-（来自教材）（来自教材）28,1.xzxz+=-=2,3.xz=-=-总总 结结知知2 2讲讲 当方程组中含有相同未知数的项的系数的绝对当方程组中含有相同未知数的项的系数的绝对值相等或成倍数关系时，通常用加减消元法，消去值相等或成倍数关系时，通常用加减消元法，消去这个未知数这个未知数1 解三元一次方程组解三元一次方程组 先消去先消去_，化化 为关于为关于_、_的二元一次方程组较简便的二元一次方程组较简便2 解方程组解方程组
15、若要使运算简便，消元的若要使运算简便，消元的方方 法应选法应选()A消去消去x B消去消去y C消去消去z D以上说法都不对以上说法都不对知知2 2练练236,1,25,xyzxyxyz+=-=+-=323,2411,751,xyzxyzxyz-+=+-=+-=3知识点知识点三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用知知3 3讲讲列三元一次方程组解决实际问题的步骤：列三元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表 示题目中的数量关系示题目中的数量关系(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；找出能够表达应用题全部
16、含义的三个等量关系；(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；根据等量关系列出方程，建立方程组；(4)解出方程组求出未知数的值；解出方程组求出未知数的值；(5)写出答案，包括单位名称写出答案，包括单位名称知知3 3讲讲在等式在等式yax2bxc中，当中，当x1时，时，y2；当；当x2时，时，y8；当；当x5时，时，y158，求，求a，b，c的的值值例例4导引：导引：把把a，b，c看成三个未知数，分别把三组已知的看成三个未知数，分别把三组已知的x，y的值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程的值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出组，解这个方程组即可求出a，b，c的值的值
17、根据题意，得根据题意，得2428255158.abcabcabc ，解：解：，得，得ab2，得，得4ab26，与组成二元一次方程组与组成二元一次方程组解这个方程组，得解这个方程组，得把把a8，b6代入，得代入，得c12.因此因此 即即a，b，c的值分别为的值分别为8，6，12.知知3 3讲讲2426abab ，86.ab-，86,12,abc-=-，知知3 3讲讲某汽车在相距某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行的甲、乙两地往返行驶，行驶中有驶中有一坡度均匀的小山一坡度均匀的小山.该汽车从甲地到乙地该汽车从甲地到乙地需要需要2.5 h,从从乙地到甲地需要乙地到甲地需要2.3 h.假设该
18、汽车假设该汽车在平路、上坡路、下在平路、上坡路、下坡坡路的行驶过程中的时速分路的行驶过程中的时速分别是别是30 km,20 km,40 km，则从甲地到乙地的则从甲地到乙地的过程中过程中,上坡路、平路、下坡路的长上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？度各是多少？例例5导引：导引：题中有三个等量关系：上坡路长度平路长度下坡题中有三个等量关系：上坡路长度平路长度下坡路长度路长度70 km；从甲地到乙地的过程中，上坡时间；从甲地到乙地的过程中，上坡时间平路时间下坡时间平路时间下坡时间2.5 h；从乙地到甲地的过程中，；从乙地到甲地的过程中，上坡时间平路时间下坡时间上坡时间平路时间下坡时间2.3 h.设
19、从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路 的长度分别是的长度分别是x km，y km和和z km.由题意得由题意得 答：答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是平路的长度是54 km，下坡路的长度是下坡路的长度是4 km.70,xyz+=知知3 3讲讲12,54,4.xyz=2.5,203040 xyz+=2.3.203040zyx+=解得解得解：解：总总 结结知知3 3讲讲 解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那
20、么从乙地到甲地如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段时就变成了下坡路段已知单项式已知单项式8a3xyzb12cxyz与与2a2b2xyc6是同类项是同类项，则，则x_，y_，z_已知式子已知式子ax2bxc，当，当x1时，其值为时，其值为4；当；当x2时，其值为时，其值为3；当；当x4时，其值为时，其值为35.当当x3时，其值为时，其值为_知知3 3练练12(中考中考台湾台湾)桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水，先将甲杯的水全部倒入丙杯，原本均装有一些水，先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的此时丙杯
21、的水量为原本甲杯内水量的2倍多倍多40毫升；毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的本乙杯内水量的3倍少倍少180毫升若过程中水没有溢毫升若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？()A80 B110 C140 D220知知3 3练练1 解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问题简单化的一种方法其目的是利用代入法或加减法消去题简单化的一种方法其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数其基程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数其基本过程为：三元本过程为：三元 消消元元转转化化消消元元转转化化二元二元一元一元
