1、9.16 分组分解法整式乘法整式乘法 (a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bnam+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)定义：定义：这种把多项式分成几组来分解因式的方法这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫叫分组分解法分组分解法。注意：如果把一个多项式的项分组并提注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。法来分解因式。因式分解因式分解新知学习新知学习【注意】(1)把有公因式的各项归为一组，并使
2、组之间产生新把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性方案是否有效要有预见性.(2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单使分解过程简单.(3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“”号的括号时，括号内每项的符号都要改变号的括号时，括号内每项的符号都要改变.(4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的直接达到分解的目的方法
3、分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 按字母分组按系数分组符合公式的两项分组三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 典例讲析典例讲析例：因式分解：例：因式分解：ayaxyx22解:原式=这个多项式的前两项用平方差公这个多项式的前两项用平方差公式分解后与后两项有公因式式分解后与后两项有公因式(x+y)可可继续分解继续分解,这也是分组分解法中常见这也是分组分解法中常见的情形的情形.)()(yxayxyx)(ayxyx典例讲析典例讲析例：因式分解：例：因式分解：2
4、222cbaba解:原式=如果把一个多项式分组后各组都如果把一个多项式分组后各组都能分解因式能分解因式,且在各组分解后且在各组分解后,各组之各组之间又能继续分解因式间又能继续分解因式,那么那么,这个多项这个多项式就可以用分组分解法分解因式式就可以用分组分解法分解因式.22)(cba)(cbacba例例 把把 a2-ab+ac-bc 分解因式分解因式分析：分析：把这个多项式的前两项与后两项分成把这个多项式的前两项与后两项分成两组，分别提出公因式两组，分别提出公因式a与与c后，另一个因后，另一个因式正好都是式正好都是a-b，这样就可以提出公因式，这样就可以提出公因式a-b 。解：解：a2-ab+a
5、c-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)分组分组组内提公因式组内提公因式提公因式提公因式还有其他分组还有其他分组的方法吗？的方法吗？解法二解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a+c)(a-b)例例 把把2ax-10ay+5by-bx分解因分解因式式分析：把这个多项式的前两项与后两项分分析：把这个多项式的前两项与后两项分 成两组，然后从两组分别提出公因式成两组，然后从两组分别提出公因式 2a与与-b，这时，另一个因式正好都是这时，另一个因式正好都是 x-5y，这样全式就可以提出公因式，这样
6、全式就可以提出公因式x-5y。解解：2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx)=(2ax-10ay)+(-bx+5by）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)还有其他分组还有其他分组的方法吗？的方法吗？解法二解法二：2ax-10ay+5by-bx=(2ax-bx)+(5by-10ay)=x(2a-b)-5y(2a-b)=(2a-b)(x-5y)=(2ax-bx)+(-10ay+5by）例例3 把把am+bm+ancm+bncn分解因式分解因式.分析：把这个多项式的含的项和含的项组分析：把这个多项式的含的项和含的项组合分成两组，或把这个多项式的含
7、的合分成两组，或把这个多项式的含的项、含的项和含项分别组合分成三项、含的项和含项分别组合分成三组，然后在组内提取公因式后再分解组，然后在组内提取公因式后再分解.解法一解法一：am+bm+an-cm+bn-cn=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)=m(a+b-c)+n(a+b-c)=(a+b-c)(m+n)解法二解法二：am+bm+ancm+bncn =(am+an)+(bm+bn)(cm+cn)=(m+n)(a+bc)=a(m+n)+b(m+n)c(m+n)在有公因式的前提下，按对应项系数成在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，或按对应项的次数成比例分组。比例分组，或按对应项的次
8、数成比例分组。(1)(1)分组；分组；(2)(2)在各组内提公因式；在各组内提公因式；(3)(3)在各组之间进行因式分解；在各组之间进行因式分解；(4)(4)直至完全分解。直至完全分解。分组规律：分组规律：分解步骤：分解步骤：把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q)(3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)解解：原式原式=20(x+y)+(x+y)=21(x+y)解解：原式原式=(p-q)+k(p-q)=(p-q)(1+k)解解：原式原式=5m(a+b)-(a+b)=(a+b)(5m-1)解解：原式原式=2(m-n)-
9、4x(m-n)=2(m-n)(1-2x)(5)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy解解：原式原式=(2by-2ay-2cy)+(ax+cx-bx)=-2y(a-b+c)+x(a-b+c)=(a-b+c)(x-2y)还有其他分组还有其他分组的方法吗？的方法吗？(6)x2-x2y+xy2-x+y-y2解解：=(x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y)=(x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-xy-1)=(x-y)(x-xy)+(y-1)=(x-y)x(1-y)-(1-y)=(x-y)(1-y)(x-1)应如何分组？应如何分组？要保证分组能要保证分组能再分解再分
10、解.由由b2+2ab=c2+2ac,得得 b2+2ab+a2=c2+2ac+a2 即，（即，（a+b)2=(a+c)2 因为因为a0，b0，c0，所以所以 a+b0，a+c0 所以所以a+b=a+c，得，得b=c 所以所以ABC为等腰三角形为等腰三角形.学科综合应用学科综合应用 已知已知a,b,c是是ABC的三边长，（的三边长，（1）当）当b2+2ab=c2+2ac时，试判断时，试判断ABC的形状；的形状；（2）试判断多项式）试判断多项式a2-b2+c2-2ac的值与的值与0的大的大小关系，并说明理由小关系，并说明理由.由由b2+2ab=c2+2ac,得得 b2+2ab-c2-2ac=0 （b
11、2-c2)+(2ab-2ac)=0 (b+c)(b-c)+2a(b-c)=0 (b-c)(b+c+2a)=0 因为因为a0，b0，c0 所以所以b+c+2a0 所以所以b-c=0,即即b=c 所以所以ABC为等腰三角形为等腰三角形.解（解（1）解法一：解法一：解法二：解法二：学科综合应用学科综合应用 已知已知a,b,c是是ABC的三边长，（的三边长，（1）当）当b2+2ab=c2+2ac时，试判断时，试判断ABC的形状；的形状；（2）试判断多项式）试判断多项式a2-b2+c2-2ac的值与的值与0的大的大小关系，并说明理由小关系，并说明理由.a2-b2+c2-2acc，b+ca 所以所以(a+
12、b)-c0,a-(b+c)0 所以所以(a+b)-ca-(b+c)0 即，即，a2-b2+c2-2ac0,co,a+4c0，a-b=0 即即a=b，所以所以ABC为等腰三角形为等腰三角形.=0练习：已知练习：已知a2+b2-6a+2b+10=0,求求a,b的值的值.1.若,则解解:a2+b2-6a+2b+10=0a2-6a+9+b2+2b+1=0(a-3)2+(b+1)2=0a=3,b=-11练练 习习3)3(mma把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：)1)(3(am3223babbaa2)(22babababa24183218222 34343()().abab3练练 习习把下列各式分解
13、因式：把下列各式分解因式：2222babax4)(baxbax3223babbaa)(22baba522144yxx6).12)(12(yxyx练练 习习把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：81qppq7)1)(1(pq46922nmm)32)(32(mnmn9.x2-y2+ax+ay(x+y)(x-y+a)练练 习习把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：10.(z(z2 2-x-x2 2-y-y2 2)2 2-4x-4x2 2y y2 210324 mm)2)(5(22mm1321)3(10)3(2baba)73)(33(baba14练练 习习把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：153x211x10 3x211x10 22442436mmaam练练 习习把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：16)26)(26(22mammam2222244)12(mbmbmm17)1)(14(mbbmm
