1、4.2.14.2.2对数运算对数运算对数对数运算法则运算法则一二三四一、对数的概念1.你会求下列方程吗?(1)2x=8;(2)2x=1;(3)3x=2.提示:(1)(2)易求,满足2x=8的x=3;满足2x=1的x=0;但满足3x=2的x没法立即写出的,但根据前面所学零点及指数函数知识,可以确定方程3x=2存在唯一实根,但鉴于所学知识,现无法表示出来,因此需要引入本节课将要学习的“对数”.一二三四2.填空.(1)一般地,对于指数式ab=N,我们把“以a为底N的对数b”记作logaN,即b=logaN(a0,且a1).其中,数a称为对数的底数,N称为对数的真数,读作“b等于以a为底N的对数”.(
2、2)以10为底的对数称为常用对数,即log10N,记作lg N.(3)以无理数e(e=2.718 28)为底的对数称为自然对数,即logeN,记作ln N.一二三四3.为什么规定在对数logaN中,a0,且a1呢?(2)当a=0,N0时,不存在实数x使ax=N成立,无法定义logaN.当a=0,N=0时,任意非零正实数x,有ax=N成立,logaN不确定.(3)当a=1,N1时,不存在实数x,使ax=N,logaN无意义.当a=1,N=1时,ax=N恒成立,logaN不能确定.一二三四一二三四二、对数的性质1.为什么零和负数没有对数?提示:因为x=logaN(a0,且a1)ax=N(a0,且a
3、1),而当a0,且a1时,ax恒大于0,即N0.故0和负数没有对数.2.填写下表:3.做一做:使对数式log5(3-x)有意义的x的取值范围是()A.(3,+)B.(-,3)C.(0,+)D.(-,2)(2,3)答案:B一二三四三、积、商、幂的对数一二三四2.填写下表:一二三四3.做一做:下列各等式中,正确运用对数运算性质的是(其中x,y,z0)()答案:D 一二三四四、对数的换底公式1.填空.通过换底公式可推导出两个重要的结论:(1)logablogba=1(a0,a1,b0,b1);一二三四答案:D 探究一探究二探究三探究四思维辨析对数式与指数式的互化对数式与指数式的互化例例1完成下表指数
4、式与对数式的转换.答案:(1)lg 1 000=3(2)32=9(3)2x=10(4)ln x=3解析:(1)103=1 000log101 000=3,即lg 1 000=3.(2)log39=232=9.(3)log210=x2x=10.(4)e3=xlogex=3,即ln x=3.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟对数式与指数式的关系由对数的定义知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式,其关系如下表:当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析对数基本性质的对数基本性质的应用应用 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感
5、悟1.对数恒等式 的应用(1)能直接应用对数恒等式的求值.(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.2.利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化(1)logax=1x=a(a0,且a1).(2)logax=0 x=1(a0,且a1).我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练变式训练2求下列各式的值:当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析 对数对数运算法则的应用运算法则的应用例3化简下列各式:分析:利用对数的运算法则,将所给式子转化为积、商、幂的对数.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟对数运算法则的使用技巧及注意
6、事项1.“收”:同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等,然后化简求值,如log24+log25=log220.2.“拆”:将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值,如 .3.各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于0且不等于1,真数大于0.4.注意“同底”这个化简的方向,因为同底的对数才可能利用对数的运算法则.5.要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义.6.不仅要会正向运用对数的运算法则,还要学会其“逆用”和“变形用”.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四
7、思维辨析对数换底公式的对数换底公式的应用应用 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.应用换底公式表示已知对数的两个策略当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析2.利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式(1)技巧:“化异为同”,即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算.(2)常见的三种处理方式:借助运算性质:先利用对数的运算法则及性质进行部分运算,最后再换成同底求解.借助换底公式:一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值.利用对数恒等式或常见结论:有时可熟记一些常见结论,这样能够提高解题效率.当堂检测探究一探究二探究三
8、探究四思维辨析延伸探究 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析对数方程的求解方法化归转化法典例典例解下列方程:(2)lg x+2log10 xx=2;当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析方法方法点睛点睛解对数方程可将其转化为同底数或换元转化为一元二次方程求解,注意在转化的过程中未知数的取值范围,解对数方程必须把所求的解代入检验.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.已知3m=7,则有()A.3=log7mB.7=log3mC.m=log73D.m=log37答案:D解析:由于ax=Nx=logaN,则3m=7m=log37.探究一探究
9、二探究三探究四思维辨析当堂检测2.(多选)有下列说法:任何一个指数式都可以化成对数式;以a(a0,且a1)为底1的对数等于0;以3为底9的对数等于2;其中错误的为()A.B.C.D.答案:ACD解析:正确,错误,如(-2)2=4,(-1)2=1等不能化成对数式;因为log39=log332=2,所以错误;因为log3(-5)无意义,所以错误.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于()答案:B4.已知4a=2,logax=2a,则正实数x=.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:2 6.计算下列各式的值:(1)(lg 2)2+lg 5lg 2+lg 5;(2)(1-log63)2+log62log618log64.解:(1)(lg 2)2+lg 5lg 2+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2lg 10+lg 5=lg 2+lg 5=lg 10=1.(2)(1-log63)2+log62log618log64=(log62)2+(log62)2+log622log632log62=log62+log63=1.
