1、 1、根据中学所学的情况，不定积分、定积分的概念与性质、直接积分法，可作简单的复习介绍；2、重点介绍第一换元法、第二换元法、定积分的换元法、分部积分法、有理式的积分、广义积分；3、归纳总结积分方法.建议授课时数：约12学时第四章第四章 积分学积分学我们称一边在坐标轴上，两边垂直于该边，第四边为曲边的四边形（如下图）为曲边梯形.()yf xy0121nnxx xxx inx第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质一.定积分的概念定积分的概念1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形面积的求法：(1)分割：用n-1个分点把闭区间 分成n个小闭区间每一个小区间的长度为012axxx1nnxx
2、b ,a b ，01,x x12,x x1,nnxx1kkkxxx ，相应的曲边梯形被分割成 个小曲边梯形.(1,2,k,)nn(2)近似：在每一个小区间上任取一点 ，k用小矩形面积 近似代替第k个小曲边梯形面积，()kkfx 作和式，即得到曲边梯形面积的近似值，即 1()nnkkkSfx(3)取极限：令小区间长度的最大值趋于零（即 ），1max0kk nx 取极限，得曲边梯形的面积01lim()nkkkfxs假设函数在 在闭区间 上连续，当和式极 在闭区间 上的定积分(简称为积分).记作 01lim()nkkkfx()f x,a b()baf x dx 01lim().nkkkfx即其中 称
3、为积分变量，与 分别称为积分的下限与上限，函数 称为被积函数，区间 称为积分区间，称为积分号.xab()f x,a b定义定义4.1.1 存在时，则称极限值为函数时，则称极限值为函数限,a b()baf x dx()f x2.定积分的定义定积分的定义例例4.1.1（阿基米德问题）.120 x dx解解 把 n等分，则 ；0,11kxn取 ，那么 ；因此kkn2()()kkfn1()nnkkkSfx211()nkknn120 x dx limnnS limn31(1)(21)6n nnn13定积分 的几何意义为：()baf x dx 由 曲线，直线 及x轴所围成图形的各部分面积的代数和()yf
4、x,xa xb12()baf x dxSSyxoa1s2s(1)，；（简单性质）;()0aaf x dx()baf x dx()abf x dxbadxba(2)（和差性质）;()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx(3)（c为常数）()()bbaacf x dxc f x dx3.定积分的定义定积分的定义(数乘性质）;(4)；（分段性质）()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx(5)若在区间 上有 ，则有 ；（可比性质）,a b()()f xg x()()bbaaf x dxg x dx例例4.1.3 比较定积分 的大小.解解 在区间1，2上
5、，由性质（5）知22211xdxx dx和2xx22211xdxx dx（6）设M和m分别是f(x)在a,b上的最大值和最小值，则有（最值性质）()()()bam baf x dxM ba例例4.1.4 估计 的值.解解 令 =，求导得 .221xe dx()f x2xe2()2xfxxe令 ，得 .()0fx0 x()1(1)f ofe由，44(2)1.feMem，最大值 ，最小值 211dx21mdx221xe dx213Mdx241e dx所以 .224133xe dxe(7)若 在区间 上连续，那么在区间 上至少存在一点 使,a b,a b,a b()()()baf x dxfba .
6、（中值性质）定义4.1.2 在开区间I内，若可导函数的导函数为,即，则称函数 为函数 的一个原函数.()()F xf x()F x()f x定义4.1.3 函数 为函数 的一个原函数,则称表示式 为 的不定积分记为.()F xc()f x dx()f x()F x()f x dx()F xc（C为任意的常数）.其中称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，C称为积分常数，“”称为积分号.()f xx()f x dx()F x()f x()f x即例例4.1.5 求求解解 ，的一个原函数.2 2xx（）=22xx是函数则 +C表示了函数 所有的原函数，+C是 的不定积分.2x2x2x2x即 +
7、C.2xdx 2x2xdx注意：注意：(1)原函数、所有原函数表示式、不定积分三个概念之间的关系.(2)求不定积分，归结为求出它的一个原函数，再加上一个任意常数C，切记要“+C”，否则，求出的只是一个原函数而不是不定积分.()f x dx(3)可以用求导的方法验证所求不定积分是否正确.(4)若 =，=，则有 .从而有 即同一个函数的原函数间仅差一个常数.1()Fx()f x2()Fx()f x12()()0F xF x 12()()F xF xC()baf x dx()baF x()()F bF a这就是牛顿莱布尼兹公式，由牛顿与莱布尼兹两位数学家而得名。注意:计算定积分 ，实际上只要求得一个原函数 ，即可转化为求 的函数值的求法问题.()baf x dx()F x()F x若 是有限区间 上连续函数 的一个原函数,则有()F x()f x,a b例例4.1.7求 (即阿基米德的面积问题).解解 ，120 x dx31()3x 2x2313x dxxC1123001133x dxx ，它的求法较之前面显然简便多了.例例4.1.8 .解解 ，20sin xdx(cos)sinxx ，sincosxdxxc .2200sincos|1xdxx 今后，求定积分可按程序：求 的一个原函数 ，再求值 .()f x()F x()baF x
