1、1 1.2 2.1 1空间中的点、直线与空间向量空间中的点、直线与空间向量核心素养 1.理解位置向量、方向向量的概念.(数学抽象,直观想象)2.能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题.(数学运算)3.初步了解两条异面直线的距离的定义.(数学抽象)思维脉络激趣诱思知识点拨一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行.在比赛过程中,裁判员除了说一些必要的语言外,他们更多的借助专用的手势来把控整场比赛.比如,直接任意球要求裁判单臂侧平举,明确批示踢球方向;间接任意球要求裁判单臂上举,掌心向前,此手势应持续到球踢出后,并被场上其他队员触及或成死球时为止.这一规定有着明确的方向性和细节要求,必须进行专
2、业培训才能掌握.在不同领域有不同的“语言”,研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行.同学们,你们知道是如何提炼的吗?提炼出来后又将如何运用呢?直接任意球手势 间接任意球手势 激趣诱思知识点拨1.点的位置向量、直线的方向向量 位置向量一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量方向向量一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作vl微思考空间一条直线的方向向量唯一吗?提示:不唯一
3、.激趣诱思知识点拨2.空间中两条直线所成的角设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为,则=或=-,特别地,sin=sin,cos=|cos|;l1l2=v1v2=0.微练习已知直线a,b的方向向量分别是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若ab,则k=.解析:ab,mn,即mn=0.k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0,k=-2或k=-1.答案:-1或-2激趣诱思知识点拨3.两条异面直线的距离一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,Ml1,Nl2,MNl1,MNl2,则称MN为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存
4、在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离.微思考怎样在空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度?提示:利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组,求出公垂线段对应的向量,准确找出公垂线段在图中的位置,运用向量求出公垂线段的长度.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用向量法判定直线的位置关系利用向量法判定直线的位置关系例1设a,b分别是两条不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系:a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);a=(5,0,2),b=(0,4,0).解:a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),a=-b.ab.
5、l1l2.a=(5,0,2),b=(0,4,0),ab=0.ab.l1l2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 解决直线的位置关系,可用直线对应的方向向量的坐标来刻画,对于此类问题应注意先要进行宏观判断,再合理地选取坐标公式.若直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2).(注:下面的,kR).1.如果l1l2,那么u1u2u1=u2(a1,b1,c1)=(a2,b2,c2);2.如果l1l2,那么u1u2u1u2=0a1a2+b1b2+c1c2=0.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1已知a=(-2,-3,1),b=
6、(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.ac,bcB.ab,acC.ac,abD.以上都不对答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测异面直线所成的角异面直线所成的角例2如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1平面OAB,O1OB=60,AOB=90,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,除此之外还要注意其他方法的要领.(1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,
7、进而构造三角形求解.这种方法灵活技巧性强,强调对夹角定义的挖掘.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测运用向量法常用两种途径:基底法在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法,这是小技巧.在由公式cos=求向量a,b的夹角时,关键是求出ab及|a|与|b|,一般是把a,b用基向量表示出来,再求有关的量.坐标法根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N
8、所成角的余弦值为()探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则 答案:A 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测证明线线垂直问题证明线线垂直问题例3如图,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EFBC.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测证明:由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟
9、证明两直线垂直的基本步骤建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直.对于几何体为三棱锥的情况一定要注意建系的重要性,要使已知数据和所用的点更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准.本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直这一条件.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1MN.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测证明:设AB中点为O,作OO1AA1.以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴建立如图
10、所示的空间直角坐标系Oxyz.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测求异面直线的距离求异面直线的距离例4已知三棱锥S-ABC中,SA=BC=13,SB=AC=14,SC=AB=15,求异面直线AS与BC的距离.分析此题是将不易直接求解的几何体,补成一个易求解的几何体的典型例子,有时还常把残缺形体补成完整形体,不规则形体补成规则形体,不熟悉形体补成熟悉形体等.所以,把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得,故将三棱锥转化为长方体.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:构造如图所示长方体,使得长方体中三个相邻矩形的对角线长分别为13,14,15.设AD=x,BD=y,SD=z,则x
11、2+y2=AB2,y2+z2=SB2,x2+z2=SA2,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测由长方体性质,可知BD平面ADSF,BD平面BGCE,平面ADSF平面BGCE,则BD为平面ADSF和平面BGCE之间的距离.又AS平面ADSF,BC平面BGCE,则BD的长度就是异面直线AS与BC的距离,即异面直线AS与BC的距离为3 .反思感悟 利用定义法和割补法求解异面直线的距离的思路定义法就是先作出公垂线,再求公垂线的长,而本例中的割补法实际上是把所求距离转化为平行平面间的距离问题.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练4已知边长为a的两个正方形ABCD和CDEF成120的二面角
12、,求异面直线CD与AE间的距离.解:由四边形ABCD和CDEF是正方形,得CDAD,CDDE,即CD平面ADE,过点D作DHAE于点H,可得DHAE,DHCD,所以DH是异面直线AE、CD的公垂线.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测易错点易错点因混淆向量夹角与异面直线的夹角而致错因混淆向量夹角与异面直线的夹角而致错案例 如图,已知ABCD中,AB=AC=1,ACD=90,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60角,求B,D间的距离.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测错解:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测错因分析 由异面直线AB与CD成60角得到 所成的角为60,这是错误的.
13、混淆了异面直线所成的角与向量的夹角的定义,从而致误.向量的夹角与向量的方向有关系,且向量的夹角的范围为0;异面直线的夹角与直线的方向没有关系,异面直线的夹角的范围是0 .两者的范围不一样.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是()A.(2,2,6)B.(-1,1,3)C.(3,1,1)D.(-3,0,1)答案:A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1l2,则m等于()A.-2B.2C.10 D.6解析:因为ab,故ab=0,即-23+2(-2)+m=0,解得m=10.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知a,b是异面直线,A,Ba,C,Db,ACb,BDb,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的动点,求证:A1EBD.证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).
