1、在此输入您的封面副标题2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-11-2922022-11-293条件极值条件极值 第九讲第九讲 2022-11-294 0),(),(max)min(zyxgzyxf或或使使得得求求),(000zyx目目标标函函数数f约约束束条条件件0),(zyxg0),(),(min),(000 zyxgzyxfzyxf问题问题1 1条件极值2022-11-295方法方法构造构造(拉格朗日拉格朗日)辅助函数辅助函数,1),(0000的的解解是是条条件件极极值值问问题题如如果果zyxM.),(000是是拉拉格格朗朗日日函函数数的的驻驻点点则则 zyx之之后后求
2、求出出),(000zyx是是不不是是条条件件极极值值判判定定),(000zyxf义义可可以以根根据据问问题题的的实实际际意意),(),(),(zyxgzyxfzyxL 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法 0),(),(max)min(zyxgzyxf或或问问题题1 12022-11-296求辅助函数的驻点求辅助函数的驻点 xL0),(),(yzyxgyzyxfyL 0),(),(zzyxgzzyxfzL 0),(zyxgL ,:000zyx可可以以求求出出由由这这四四个个方方程程乘子乘子拉格朗日拉格朗日称为称为 xzyxf ),(0),(xzyxg 2022-11-297体体积积最最大大使使其其内内
3、嵌嵌入入长长方方体体在在椭椭球球例例,1222222 czbyax),(zyx卦卦限限中中的的交交点点是是设设长长方方体体与与椭椭球球在在第第一一xyzzyxV8),(:体体积积 xyzzyxL8),()1(222222 czbyax解解问问题题条条件件极极值值于于是是问问题题化化为为求求解解下下列列 18),(max222222czbyaxxyzzyxV令令xyz2022-11-298 长方体的最大体积一定存在，且拉格朗日长方体的最大体积一定存在，且拉格朗日函数的驻点唯一，故体积最大值必在该驻点函数的驻点唯一，故体积最大值必在该驻点取得。取得。338),(maxabczyxV 令令0282
4、xayzxL 0282 ybxzyL 0282 zcxyzL 3,3,3czbyax 解得解得01222222 czbyaxL 2022-11-299),(0),(yxzzzyxg 可可以以确确定定隐隐函函数数假假定定方方程程:,一一个个合合理理的的条条件件是是为为了了保保证证隐隐函函数数存存在在0)(0 Mg),(:yxzz 例例如如解解出出现在我们分析现在我们分析,上面的方法是怎样得到的？上面的方法是怎样得到的？思路思路1:1:化为无条件极值化为无条件极值,用老方法用老方法),(zyxx 或者或者),(xzyy 或者或者.),(的的无无条条件件极极值值问问题题问问题题转转化化为为求求yxF
5、),(),(,(),(,yxFyxzyxfzyxf 于于是是2022-11-29100),(00 yxFx根根据据极极值值的的必必要要条条件件0),(00 yxFy分分法法可可得得由由复复合合函函数数及及隐隐函函数数微微 ),(),(000000zyxgzyxfxx ),(),(000000zyxgzyxfyy),(),(000000zyxgzyxfzz ),(),(000000zyxgzyxfxx 记记满满足足及及点点则则),(000zyx2022-11-29110 xxgf 0),(zyxg0 yygf 0 zzgf 这这正正是是函函数数),(),(),(zyxgzyxfzyxL 所所满满
6、足足的的方方程程的的驻驻点点),(000 zyx2022-11-2912 0),(),(max)(minzyxgzyxf或或:2思思路路Szyxg看看作作一一个个曲曲面面将将0),(.)(:值值大大极极小小的的上上求求函函数数在在曲曲面面问问题题就就转转化化为为fS:于于是是转转而而讨讨论论下下述述问问题题,),(上上限限制制在在曲曲面面如如果果将将Szyx?),(000应应当当满满足足什什么么条条件件zyx,)(),(0000值值大大取取得得极极小小在在点点函函数数zyxMf2022-11-2913值值大大也也取取得得极极小小在在点点则则)(),(0000zyxMf考虑一个更加简单的问题考虑
7、一个更加简单的问题,),(上上限限制制在在曲曲线线若若Lzyx上上在在曲曲面面0),(:zyxgSLzyxM的的曲曲线线任任意意取取一一条条经经过过点点),(0000?),(000应应当当满满足足什什么么条条件件这这时时zyx2022-11-2914)(),(),(:tzztyytxx 假假设设曲曲线线参参数数方方程程,),(上上限限制制在在曲曲线线如如果果将将Lzyx就就变变成成一一元元函函数数),(zyxf,)(),(0000值值小小取取得得极极大大在在点点zyxMf值值小小取取得得极极大大在在等等价价于于)()(0ttt )(00t )(00txxfM )(00tyyfM )(00tzz
8、fM )(),(),()(tztytxft 2022-11-2915的的梯梯度度向向量量是是函函数数 fzfyfxfT),(的的切切向向量量是是曲曲线线 LtztytxT)(),(),(上上任任意意取取的的是是在在曲曲面面由由于于0),(:zyxgSL的的切切平平面面垂垂直直在在点点与与所所以以00)(,MSMgradf的的法法向向量量共共线线在在点点与与从从而而00)(MSMgradf由此又推出由此又推出的的切切向向量量垂垂直直与与LMgradf)(0共线共线与与即即)()(00MgradgMgradf2022-11-2916不不是是零零向向量量因因为为),(000zyxgradg使得使得所
9、以存在常数所以存在常数,),(),(000000zyxgradgzyxgradf ,xgxf ,ygyf ,zgzf 再加上约束条件再加上约束条件0),(zyxg 上述四个方程恰好是拉格朗日函数的上述四个方程恰好是拉格朗日函数的四个偏导数等于零。四个偏导数等于零。2022-11-2917 0),(0),(),(max(),(min21zyxgzyxgzyxfzyxf或或:2问题问题:几何意义几何意义上面的讨论已经指出上面的讨论已经指出的法平面上的法平面上属于曲线在点属于曲线在点必然必然于是于是MMf)(,0),(0),(:21上上在曲线在曲线 zyxgzyxgL.),(的极值的极值求求zyxf
10、上上限限制制在在曲曲线线将将函函数数Lf取极值取极值在在如果如果LMf 00M则则在在点点)(0Mfgrad的的切切向向量量正正交交与与L2022-11-2918)()(0201MgMgT 曲曲线线的的切切向向量量是是张张成成的的法法平平面面由由则则)(),(0201MgMgL 线性无关线性无关假定两个向量假定两个向量)(),(0201MgMg 线线性性表表示示和和可可以以由由于于是是)()()(02010MgMgMf 使使得得即即存存在在两两个个常常数数,其中包括其中包括三个方程三个方程xgxgxf 2211 zgzgzf 2211 ygygyf 2211 也就是下面三个方程也就是下面三个方
11、程)()()(0220110MgMgMf 2022-11-29190),(0),(21 zyxgzyxg再加上两个再加上两个约束方程约束方程21000,55 zyx个个未未知知量量个个方方程程可可以以解解出出 0),(),(),(0),(),(),(0),(),(),(221122112211zzyxgzzyxgzzyxfyzyxgyzyxgyzyxfxzyxgxzyxgxzyxf 2022-11-2920在在椭椭圆圆另另有有一一个个单单位位负负电电荷荷处处位位于于坐坐标标原原点点设设有有一一个个单单位位正正电电荷荷例例,2 122zyxyxz?,.何何时时最最小小时时最最大大问问两两电电荷荷
12、之之间间的的引引力力何何上上移移动动解解,),(,时时当当负负电电荷荷在在点点由由库库仑仑定定律律知知zyx两两电电荷荷之之间间的的引引力力为为222),(zyxkzyxff )(为为常常数数k2022-11-2921条条件件极极值值问问题题于于是是问问题题化化为为求求解解下下列列 1),(max22222min)(zyxyxzzyxkzyxf及及 1),(min22222max)(zyxyxzzyxzyxg及及或或者者2022-11-2922 01),(0),(020220222221212211212211212211zyxzyxzyxzyxzzzzgyyyyygxxxxxg 2022-1
13、1-2923解解出出代代入入后后两两个个方方程程由由前前两两个个方方程程得得,yx ,231 yx32 z从从而而求求得得两两个个驻驻点点)32,231,231(1 P)32,231,231(2 P,359)(1 Pg359)(2 Pg2022-11-2924.,.,),(,最最小小值值显显然然是是存存在在的的最最大大值值故故其其距距离离的的平平方方椭椭圆圆上上任任意意一一点点到到原原点点就就是是约约束束的的值值函函数数从从几几何何上上看看zyxg.),(,),(,2121值值分分别别达达到到最最大大值值和和最最小小处处和和在在点点从从而而点点和和最最大大值值点点的的最最小小值值就就是是函函数
14、数因因此此驻驻点点PPzyxfzyxgPP.,21时时为为最最小小在在点点为为最最大大两两电电荷荷间间的的引引力力时时当当单单位位负负电电荷荷在在点点即即PP2022-11-2925 0),.,(.0),.,(0),.,(),.,(min(max)2121221121xxxgxxxgxxxgxxxfnmnnn)()(010MggradMgradfimii 一般情况一般情况2022-11-29260,21nxxx例例3求证求证nnnxxxxxxn121121)()111(解解 证明思路证明思路c对对于于任任意意正正数数),(),(2121nnxxxgxxxf欲证欲证只需证明只需证明时时当当cxx
15、xfn),(21cxxxgn),(21于是考虑条件极值问题于是考虑条件极值问题nnnxxxaxxxn12121)min(1)111(axxxxxxnn1)111()min(2121 2022-11-2927拉拉格格朗朗日日函函数数 nnxxxxxxL2121),(1)111(21axxxn 021321 xxxxxLn 列方程列方程022312 xxxxxLn 02121 nnnxxxxxL naxxxn21nnnaxxx)()min(21naxxxnn121)min(121)111(nxxxn2022-11-2928,)(是是实实对对称称阵阵设设nnijMaA求求双双线线性性函函数数njij
16、iijnxxaxxfxf1,1),.,()(:中单位球面中单位球面在在nR1)(:122 niinnxxRxS.上上的的最最大大值值与与最最小小值值 01)(min(max)121,niinjijiijxgxxaf 例例442022-11-2929gfL:辅辅助助函函数数gf 0L等价于等价于:于于是是解解方方程程组组0 L也就是也就是 0)(.2.0.)(22211121211111nnnnnnnnnxaxaxaxgxfxaxaxaxgxf 的特征值时的特征值时为矩阵为矩阵当且仅当当且仅当A!的特征向量的特征向量并且非零解就是矩阵并且非零解就是矩阵 A方程组有非零解方程组有非零解2022-1
17、1-2930的条件是的条件是因此因此max(min),1,njijiijxxa.1),.,(的的特特征征向向量量是是矩矩阵阵 AxxxTn 0)(.0.)(0.)(221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa ,个方程个方程乘以下述方程组的乘以下述方程组的用用ixi njijiijxxa1,这说明这说明的特征值的特征值的极值是矩阵的极值是矩阵 Af最大最大(小小)值等值等于最大于最大(小小)的的特征值特征值 .然后相加得到然后相加得到2022-11-2931垂垂线线最最短短向向该该平平面面引引直直线线外外一一点点平平面面,M 思考题思考题：（利：（利用条件极值）用条件极值）不经过原点的曲面不经过原点的曲面是是设设30),(:RzyxFS,MS 上上距距原原点点最最近近的的点点是是?什什么么关关系系与与SOM相切相切与平面与平面使椭球使椭球确定正数确定正数1003232,222zyxazyxa确确定定由由方方程程已已知知隐隐函函数数0),(),(zyxFyxfz?),(的极值的极值如何用条件极值方法求如何用条件极值方法求yxf
