1、在此输入您的封面副标题2022-11-292 第五讲第五讲 隐函数微分法隐函数微分法2022-11-293呢呢？怎怎样样求求隐隐函函数数的的导导数数的的我我们们是是学学中中回回忆忆：在在一一元元函函数数微微分分,)(,122xyyyx 确确定定例例如如：得得求求导导两两边边对对,x022 yyx解解出出yxy 这这个个函函数数的的导导数数存存在在。的的函函数数；是是能能确确定定方方程程：设设：实实际际上上这这里里做做了了两两个个假假)2(1)1(22xyyx 2022-11-294的的函函数数呢呢？是是能能确确定定方方程程满满足足什什麽麽条条件件xyyxF0),(,的的解解析析性性质质？研研究
2、究隐隐函函数数如如何何通通过过函函数数)(),(xfyyxF 麽麽？隐隐函函数数的的导导数数公公式式是是什什:问问题题以以上上问问题题的的几几何何意意义义是是2022-11-295),(00yxxzo)(xfy ),(yxFz y交交成成一一条条曲曲线线？与与平平面面曲曲面面满满足足什什麽麽条条件件0),(,zyxFz0),(00 yxF0),(00 yxFy这这条条曲曲线线有有什什麽麽性性质质？2022-11-296),(:1一一个个自自变变量量一一个个方方程程定定理理),(),(,),(),()()3();,()2();,(,0)(,(),()1(),(0),(),(),(0),()3()
3、;()2(;0),()1(:),(),(100000100200baxxfyyxFyxFxfbaCfbaxxfxFxfyxfyyxFbabaxyxFUCFyxFURyxyxFyxy 满满足足唯唯一一确确定定函函数数方方程程上上在在为为中中心心的的区区间间则则存存在在一一个个以以中中有有定定义义且且满满足足条条件件的的某某邻邻域域在在点点设设二二元元函函数数2022-11-297公公式式的的证证明明得得到到求求导导数数两两边边对对,x0 dxdyyFxF),(),(yxFyxFdxdyyx 解出解出 注意注意 做题时，可以直接做题时，可以直接套用公式；也可以利用这种套用公式；也可以利用这种证明公
4、式的方法证明公式的方法。),(,0)(,(baxxfxF 设设已已证证明明2022-11-298.0001的的存存在在性性）点点附附近近隐隐函函数数，在在（考考察察例例 yxeexy解解,00),(）点点附附近近有有定定义义，在在（yxeexyyxF 0)0,0(F连连续续，yyxxexFeyF ,000 ），（yF由由定定理理一一可可知知，存存在在隐隐函函数数,)(1Cxyy yxexeydxdy 且且2022-11-299)2,(:2个个自自变变量量的的情情形形一一个个方方程程定定理理),(0),(,),(0),()3();()2(;0),()1(:),(),(20000010003000
5、yxfzDzyxFDRyxzyxFUCFzyxFURzyxzyxFz 上上能能确确定定函函数数在在方方程程的的一一个个邻邻域域则则存存在在点点中中有有定定义义且且满满足足条条件件的的某某邻邻域域在在点点设设三三元元函函数数2022-11-2910),(),(),(),(),()3();()2(;),(,0),(,(),()1(1000yxfzzyxFzyxFyzzyxFzyxFxzDCfDyxyxfyxFyxfzzyzx 满足满足2022-11-2911公公式式的的证证明明0),(,(yxzyxF得得到到求求偏偏导导数数两两边边对对,x0 xzzFxF),(),(yxFyxFxzzx 解出解出
6、得得到到求求偏偏导导数数两两边边对对,y0 yzzFyF),(),(yxFyxFyzzy 解出解出2022-11-2912.,),(022xxyxzxyzzzyxzzeze 的的偏偏导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程例例解解法法一一得得求求偏偏导导数数方方程程两两边边对对,x)1(02 xzxxyzezye2 zxyxeyez解出解出2 zxyyexez得得求求偏偏导导数数式式两两边边再再对对,)1(x)2(0)(2)(22 xxzxzxxxyzezezey322)2()2(zzzxyxyxxeeeeeyz解解出出)02(ze)02(ze2022-11-2913解解法法二二z
7、xyezezyxF 2),(记记xyxyezyxF ),(xyyxezyxF ),(zzezyxF 2),(2),(),(zxyzxxeyezyxFzyxFz于是于是2),(),(zxyzyyexezyxFzyxFz)2(zxyxxeyexz322)2()2(zzzxyxyeeeeey2022-11-2914.,),(),(),(,;),(,:看看成成独独立立的的自自变变量量将将是是时时当当我我们们求求三三个个偏偏导导数数在在解解法法二二中中的的二二元元函函数数看看成成是是要要将将求求偏偏导导数数时时或或对对当当我我们们在在方方程程两两边边对对在在解解法法一一中中注注意意zyxzyxFzyxF
8、zyxFyxzyxzyx 2022-11-2915.,0),(3yzxzzyyxF 求求设设例例解解),(,),(,yxzzyxzF 即即的的二二元元函函数数是是确确定定件件满满足足隐隐函函数数存存在在定定理理条条假假定定得得求求偏偏导导数数方方程程两两边边对对,x0)()(21 xxzyFyxF021 xzFF)0(221 FFFxz解得解得可可求求得得求求偏偏导导数数方方程程两两边边对对,y)0(2212 FFFFyz2022-11-2916雅柯比行列式雅柯比行列式),(),(det:.),(,),(,212121212121212221212111nnnnuFuFuFuFuFuFuFuF
9、uFnnnuuuFFFuuuFFFRuuuFFFnnnnnn 记记作作的的雅雅柯柯比比行行列列式式关关于于为为称称的的函函数数均均为为设设2022-11-2917)(:3方方程程组组的的情情形形定定理理方方程程组组的的一一个个邻邻域域则则存存在在点点满满足足条条件件中中有有定定义义且且的的某某邻邻域域在在点点与与设设函函数数,),(0),(),(det)3(;,)2(;0),(,0),()1(:),(),(),(200),(21121000020000100000210000DRyxvuFFCFFvuyxFvuyxFUvuyxMvuyxFvuyxFvuyx 2022-11-2918);(),(
10、),()2(;0),(),(,(),(,0),(),(,(),(),()1(:),(),(0),(,0),(12100000021DCyxvvyxuuyxvyxuyxFDyxyxvyxuyxFyxvvyxuuyxvvyxuuDvuyxFvuyxF 满足条件满足条件唯一确定两个函数唯一确定两个函数上上在在2022-11-2919),(),(),(),(),(),(),(),(21212121detdetdetdetvuFFxuFFvuFFvxFFxvxu ),(),(),(),(),(),(),(),(21212121detdetdetdetvuFFyuFFvuFFvyFFyvyu )3(202
11、2-11-2920公公式式的的证证明明 0),(),(,(0),(),(,(21yxvyxuyxFyxvyxuyxF得得到到求求偏偏导导数数两两边边对对,x 00222111xvvFxuuFxFxvvFxuuFxF2022-11-2921),(),(),(),(212122112211detdetvuFFvxFFvFuFvFuFvFxFvFxFxu ),(),(),(),(212122112211detdetvuFFxuFFvFuFvFuFxFuFxFuFxv 00222111xvvFxuuFxFxvvFxuuFxF2022-11-2922.,),()(432504222dxdzdxdyxzz
12、xyyxzyzyxzyx求求：和和隐隐函函数数的的是是与与确确定定设设方方程程组组例例 解解法法一一50),(2221 zyxzyxF记记432),(2 zyxzyxFzFxFzFxFzxFF 2211),(),(det21)3(23122zxzx xFyFxFyFxyFF 2211),(),(det21)2(21222xyxy 2022-11-2923于是得于是得)23(23222zyzy ),(),(),(),(2121detdetzyFFzxFFdxdy zyxz233 zyyx232 zFyFzFyFzyFF 2211),(),(det21),(),(),(),(2121detdetz
13、yFFxyFFdxdz 2022-11-2924解解法法二二得得求求偏偏导导数数方方程程组组两两边边对对,x 03210222dxdzdxdydxdzzdxdyyx解解得得zyxzzyzxdxdy23332223122 zyyxzyxydxdz23232221222 43250222zyxzyx2022-11-2925.,),(),(533xvxuyxvvyxuuxyuvyxvu 的的偏偏导导数数和和所所确确定定的的隐隐函函数数求求程程组组例例解解得得求求偏偏导导数数方方程程组组两两边边对对,x 130322xxxxuyvvvvxuu2022-11-2926 130322xxxxuyvvvvx
14、uuxyvuxvvyxuvxvxu 223222933331xyvuyvuvyxuyvuxv 223222933313解解得得2022-11-2927:,0,0),(),(),(6试试求求且且均均为为一一阶阶连连续续可可微微函函数数并并假假定定已已知知例例 yhhgfyxhyxgzzyxfu解解)(0),(,0,),(xyyyxhyhyxh 确确定定了了隐隐函函数数可可知知且且连连续续可可微微由由)(,(),(,),(xyxgxyxfzyxfu 故故有有.)(),(),(而成的复合函数而成的复合函数复合复合和和这是由这是由xyyyxgzzyxfu 隐函数隐函数dxdu2022-11-2928可可得得函函数数微微分分法法由由复复合合函函数数微微分分法法和和隐隐,dxdzzfdxdyyfxfdxdu )(dxdyygxgzfdxdyyfxf yhxhygzfyfxgzfxf
