1、11.2 与三角形有关的角与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角三角形的内角 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，你凭什么度数最大，我也要和你一样大！我也要和你一样大！”“”“不行啊！不行啊！”老大说：老大说：“这这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了了”“”“为什么？为什么？”老二很纳闷。老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？同学
2、们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争内角三兄弟之争我们已经知道,任意一个三角形的内角和等于180.怎么验证这个结论呢?方法一方法一：度量法度量法 通过具体的通过具体的度量，验证三角形的内角和为度量，验证三角形的内角和为180.想想一一想想l方法二方法二：拼合法拼合法 把三个角拼在把三个角拼在一起试试看一起试试看？l方法三方法三：推理证明法推理证明法拼拼一一拼拼三角形的三个内角和是三角形的三个内角和是180.可以用拼合的办法来验证。可以用拼合的办法来验证。从刚才拼角的过程你从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗能想出证明的办法吗?想一想想一想问题问题：有什么方法可以得到有什么方法可以得到180
3、 平角的度数是平角的度数是180两直线平行，同旁内两直线平行，同旁内角的和是角的和是180 从刚才拼角的过程你能想出从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗证明的方法吗?3、邻补角的和是、邻补角的和是180 为什么要证明 按照上面的方法按照上面的方法,已经可以验证三角形的内角和是已经可以验证三角形的内角和是180,但是由于形状不同的三角形有无数多个但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不我们不可能通过上面的办法一一验证可能通过上面的办法一一验证.再加上其验证过程中可再加上其验证过程中可能存在误差能存在误差,不能保证其有效性不能保证其有效性.所以我们需要一种能证所以我们需要一种能证明任意一个三角形
4、的内角和等于明任意一个三角形的内角和等于180的方法的方法.这个方这个方法就是法就是证明证明.一个命题是否正确一个命题是否正确,需要经过使人信服的推理论证需要经过使人信服的推理论证才能才能得出结论得出结论.而而证明是证明是可以用推理证明的办法来验证。可以用推理证明的办法来验证。CBA已知已知，求证：，求证：A+B+C=180三角形内角和定理:三角形内角和等于180.证证明明证法：证法：过过A作作EFBA，B=2(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)C=1(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)又又2+1+BAC=180B+C+BAC=180F21ECBA三角形的内角和等于三角形的
5、内角和等于1800.证法：证法：延长延长BCBC到到D D，过，过C C作作CEBACEBA，A=1 A=1(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)B=2B=2(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)又又1+2+ACB=1801+2+ACB=180A+B+ACB=180A+B+ACB=18021EDCBA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.证法证法3：过过A作作AEBC，B=BAE(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)EAB+BAC+C=180(两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)B+C+BAC=180CBEA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1
6、800.在这里，为了证明的需要，在原来在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做的图形上添画的线叫做辅助线辅助线。在平面。在平面几何里，辅助线通常画成几何里，辅助线通常画成虚线虚线。思路总结思路总结 为了证明三个角的和为为了证明三个角的和为1800,转转化为一个平角或同旁内角互补化为一个平角或同旁内角互补,这这种种转化思想转化思想是数学中的常用方法是数学中的常用方法.你真行！(3)在在ABC中中,A=40 A=2B，则，则C。看谁做得又对又快！102 40 120比一比，赛一赛比一比，赛一赛 （1）在）在ABC中，中，A=35，B=43 ，则则 C=.(2)在在ABC中，中，C=90，
7、B=50 则则A。X+2X+90=180X+X+X=180 图（1）图（2）（4）求出图中）求出图中x的值。的值。2 80 60 40 C （1）在）在ABC中，中，A=5，B=43 则则A CB=._ （2）A+B+C+D+E+F=.（）在（）在ABC中，中，A:B:C=2:3:4 则则A=B=C=.BAABCDEF360（1）一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角？为什么？个直角？为什么？（2）一个三角形中最多有）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？个钝角？为什么？（3）一个三角形中至少有）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？个锐角？为什么？（4）任意）任意 一个三角形中，最大的一个
8、角的度数至一个三角形中，最大的一个角的度数至少为少为 .60211例1 如图，在ABC中，BAC=40，B=75，AD是ABC的角平分线.求ADB的度数.解：由解：由BAC=40，AD是是ABC的角平分线，得的角平分线，得BAD=1/2BAC=20在在ABD中，中，ADB=180-B-BAD=180-75-20=85例例2 如图，如图，C岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东50方向，方向，B岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东80 方向，方向，C岛在岛在B岛的北岛的北偏西偏西40 方向。从方向。从C岛看岛看A、B两岛的视角两岛的视角ACB是多少度？是多少度？北北.AD北北.CB.东东E=-50=30+=1
9、80=180-=100=-=60=180-=180-60-30=90,60,ADBEBADABEABEBADABCABEEBCABCACBABCCABBA CABCCA B解：CAB BAD-CAD 80由，得所以在中，答：从 岛看两岛的视角是，从岛看两岛的视角ACB是90例例3 如图，如图，C=D=90，AD，BC相交于点相交于点E.CAE与与DBE有什有什么关系？为什么？么关系？为什么？解：在RtACE中，CAE=90-AEC.在RtBDE中，DBE=90-BED.AEC=BED，CAE=DBE.1、如图、如图,某同学把一块三角形的玻某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片璃打碎成三片,现在他要
10、到玻璃店去现在他要到玻璃店去配一块形状完全一配一块形状完全一 样的玻璃样的玻璃,那么那么最省事的办法是最省事的办法是 ()(A)带带去去(B)带带去去(C)带带去去(D)带带和和去去C考考自己?2:在在ABC中中,A=80,B=C,求求C的度数。的度数。解：在解：在ABC中中,A+B+C=180，A=80 B+C=100 B=C B=C=50ABC考考自己?3:已知三角形三个内角的度数之比为已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。求这三个内角的度数。解：设三个内角度数分别为：解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.由题意得：由题意得：x+3x+5x=180 x=20答：三个内角度数分别为答：三个内角度数分别为20,60,100。谢谢！
