1、北师大版八年级数学上册第一章全部课件第一章第一章 勾股定理勾股定理1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理 第第1 1课时课时 认识勾股定理认识勾股定理1课堂讲解课堂讲解u勾股定理勾股定理u勾股定理与图形的面积勾股定理与图形的面积2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 相传相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？看看你能发现什么
2、？A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？ABC让我们一起探索这个古老的定理吧！让我们一起探索这个古老的定理吧！1知识点知识点勾股定理勾股定理知知1 1导导 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾勾，较长的，较长的直角边称为直角边称为股股，斜边称为，斜边称为弦弦.图图1称为称为“弦图弦图”，最早是由，最早是由三国时期的数学家赵爽在为三国时期的数学家赵爽在为周髀算经周髀算经作法时给出的作法时给出的.弦弦股股勾勾图图1知知1 1导导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积图中每个小方格代表一个单位
3、面积)图图2-1图图2-2(1)观察图观察图2-1 正方形正方形A中含有中含有 个个 小方格，即小方格，即A的面积的面积 是是 个单位面积个单位面积.正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积.正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积.99918知知1 1导导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积图中每个小方格代表一个单位面积)图图2-1图图2-21=43 32 分分“割割”成成若干个直角边为若干个直角边为整数的三角形整数的三角形=18(单位面积单位面积)S正方形正方形c知知1 1导导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积图中每个小方格代表一个单位面积)图图2
4、-1图图2-2(2)在图在图2-2中，正方形中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？它们的面积各是多少？(3)你能发现图你能发现图2-1中中三个正方三个正方 形形A，B，C的面积之间有的面积之间有 什么关系吗？什么关系吗？SA+SB=SC 即：两条直角边上即：两条直角边上的正方形面积之和等于的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积.知知1 1导导A AB BC Ca ac cb bS Sa a+S+Sb b=S=Sc c观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边
5、与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2知知1 1讲讲a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方.勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理(毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理)知知1 1讲讲定义：定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果用如果用a，b和和c分别表示直角三角形的两直角边分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么和斜边，那么a2b2c2.数学表达式：数学表达式：在在RtABC中，中，C90，ABc，ACb，BCa，则
6、，则a2b2c2.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）例例1 在在RtABC中，中，C90，AB10 cm，BC8 cm，求，求AC的长的长 解：解：由题意易知，由题意易知，AC2BC2AB2，所以所以AC2AB2BC21028236.所以所以AC6 cm.总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）利用勾股定理求直角三角形边长的方法：利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般都要经过一般都要经过“一分二代三化简一分二代三化简”这这“三步曲三步曲”：即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二代：代入代：代入a2b2c2；三化简；三化简知知1 1练练
7、（来自（来自典中点典中点）1 若一个直角三角形的两直角边的长分别为若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为斜边长为c，则下列关于，则下列关于a，b，c的关系式中不正的关系式中不正确的是确的是()Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2 2a2b2C知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2 (中考中考淮安淮安)如图，在边长为如图，在边长为1个单位长度的小正个单位长度的小正 方形组成的网格中，点方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段都是格点，则线段 AB的长度为的长度为()A5 B6 C7 D25A2知识点知识点勾股定理与图形的面积勾股定理与图形的面积知知2 2讲讲
8、 例例2 新疆新疆如图，分别以直角三角形的三边为直径如图，分别以直角三角形的三边为直径 作半圆，其中两个半圆的面积作半圆，其中两个半圆的面积S1 ，S2 2，则，则S3_25898知知2 2讲讲导引：导引：如图，由圆的面积公式得如图，由圆的面积公式得 所以所以c225，a216.根据勾股定理，得根据勾股定理，得 b2c2a29.所以所以21125,228cS2212,22aS223119=.2288bSb（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：边形、圆都具有相同
9、的结论：两直角边上图形面积的两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积和等于斜边上图形的面积本例考查了勾股定理及半本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理到勾股定理知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1 如图，字母如图，字母B所代表的正方形的面积是所代表的正方形的面积是()A12 B13 C144 D194C知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2如图，直线如图，直线l上有三个正方形上有三个正方形a，b，c，若，若
10、a，c的的 面积分别为面积分别为3和和4，则，则b的面积为的面积为()A16 B12 C9 D7D1.勾股定理的适用条件：勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角直角三角形；它反映了直角 三角形三边关系三角形三边关系2由勾股定理的基本关系式：由勾股定理的基本关系式：a2b2c2可得到一些可得到一些 变形关系式：变形关系式：c2a2b2(ab)22ab(ab)2 2ab；a2c2b2(cb)(cb)等等1.必做：完成教材必做：完成教材P4，习题，习题T1-T42.补充：请完成补充：请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第一章第一章 勾股定理勾股定理1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理
11、第第2 2课时课时 验证并应用验证并应用 勾股定理勾股定理1课堂讲解课堂讲解u勾股定理的验证勾股定理的验证 u勾股定理的应用勾股定理的应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理勾股定理.在下图中，分别以直角三角形的三条边为边在下图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.1知识点知识点勾股定理的验证勾股定理的验证知知
12、1 1导导做一做做一做为了计算图为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后得到图适当割补后得到图2、图、图3.图图1图图2图图3知知1 1导导 （1）将所有三角形和正方形的面积用）将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式的关系式 表示出来；表示出来；（2）图图2、图、图3中正方形中正方形ABCD的面积分别是多少？的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用图）你能分别利用图2、图、图3验证勾股定理吗？验证勾股定理吗？知知1 1讲讲1.常用方法：通过拼图法利用求面积来验证常用方
13、法：通过拼图法利用求面积来验证这种这种 方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的 知知1 1讲讲2用拼图法验证勾股定理的思路：用拼图法验证勾股定理的思路：(1)图形经过割补、拼接后，只要图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空没有重叠，没有空 隙隙，面积不会改变；，面积不会改变；(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形利用等式性质验证结论成立，即拼出图形写出写出 图形面积
14、的表达式图形面积的表达式找出等量关系找出等量关系恒等变形恒等变形 推导结论推导结论知知1 1讲讲议一议议一议观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.知知1 1讲讲 例例1 如如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为的全等的直角三角形和一个边长为 c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定 理正确性的图形理正确性的图形 (1)画出拼成的这个图形的示意图；画出拼成的这个图形的示意图；(2)说明勾股定理的正确
15、性说明勾股定理的正确性 知知1 1讲讲导引：导引：可以以边长为可以以边长为c的正方形为基础，一在形外的正方形为基础，一在形外补拼补拼(不不 重叠重叠)成新的正方形；二在形内成新的正方形；二在形内叠合叠合成新的正方形成新的正方形解：方法一解：方法一(补拼法补拼法)：(1)如图如图.(2)因为大正方形的面积可以表示为因为大正方形的面积可以表示为(ab)2，也可以表示为也可以表示为c24 ab，所以所以(ab)2c24 ab，a2b22abc22ab.1212知知1 1讲讲导引：导引：可以以边长为可以以边长为c的正方形为基础，一在形外的正方形为基础，一在形外补拼补拼(不不 重叠重叠)成新的正方形；二
16、在形内成新的正方形；二在形内叠合叠合成新的正方形成新的正方形解：方法一解：方法一(补拼法补拼法)：(1)如图如图.(2)因为大正方形的面积可以表示为因为大正方形的面积可以表示为(ab)2，也可以表示为也可以表示为c24 ab，所以所以(ab)2c24 ab，a2b22abc22ab.1212知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）所以所以a2b2c2，即直角三角形两直角边的平方和即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方等于斜边的平方方法二方法二(叠合法叠合法)：(1)如图如图.(2)因为大正方形的面积可以表示为因为大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为也可以表示为 ab4(ba)2，所以所
17、以c2 ab4(ba)2，c22abb22aba2.所以所以a2b2c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方1212总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法面积法验证的关键是要找到一些特殊图形验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、如直角三角形、正方形、梯形正方形、梯形)的面积之
18、和等于整个图形的面积，从的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的而达到验证的目的总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法面积法验证的关键是要找到一些特殊图形验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、如直角三角形、正方形、梯形正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的而达到
19、验证的目的知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）1用四个边长均为用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如的直角三角板，拼成如 图所示的图形，则下列结论中正确的是图所示的图形，则下列结论中正确的是()Ac2a2b2 Bc2a22abb2 Cc2a22abb2 Dc2(ab)2A知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2历史上对勾股定理的一种证法采用了如图的图形，历史上对勾股定理的一种证法采用了如图的图形，其中两个全等直角三角形的边其中两个全等直角三角形的边AE，EB在一条直线在一条直线上证明中用到的面积相等关系是上证明中用到的面积相等关系是()ASEDASCEB BSEDASCEBSCDE
20、 CS四边形四边形CDAES四边形四边形CDEB DSEDASCDESCEBS四边形四边形ABCDD2知识点知识点勾股定理的应用勾股定理的应用知知2 2导导 例例2 我方侦察员小王在距离东西向公路我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距后，汽车与他相距500m,你能你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？帮小王计算敌方汽车的速度吗？分析：分析：根据题意，可以画出右图，根据题意，可以画出右图，其中点其中点A表示小王所在位
21、置，表示小王所在位置，点点C、点、点B表示两个时刻敌方表示两个时刻敌方 汽车的位置汽车的位置.知知2 2导导 由于小王距离公路由于小王距离公路400m，因此，因此C是直角，这样就可以由勾是直角，这样就可以由勾 股定理来解决这个问题了股定理来解决这个问题了.解：解：由勾股定理，可以得到由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是也就是5002=BC2+4002,所以所以BC=300.敌方汽车敌方汽车10s行驶了行驶了300m，那么它那么它1h行驶的距离为行驶的距离为300660=108000（m）,即它行驶的速度为即它行驶的速度为108km/h.知知2 2讲讲1.勾股定理是一个重要的数学定
22、理，它将图形勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形(直角三直角三 角形角形)与数量关系与数量关系(三边关系三边关系)有机结合起来；在几何及有机结合起来；在几何及 日常生活中都有着广泛的应用日常生活中都有着广泛的应用2运用勾股定理进行计算分三步：运用勾股定理进行计算分三步：第一步：注意应用的第一步：注意应用的 前提，即看是不是直角三角形；第二步：分清求解的前提，即看是不是直角三角形；第二步：分清求解的 对象，即看是求直角边长，还是斜边长或者两种均有对象，即看是求直角边长，还是斜边长或者两种均有 可能；第三步：运用勾股定理进行计算可能；第三步：运用勾股定理进行计算知知2 2讲讲 例例3 实际应用题
23、实际应用题两棵树之间的距离为两棵树之间的距离为8 m，两棵，两棵 树的高度分别是树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的，一只小鸟从一棵树的 树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多 少米？少米？导引：导引：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直 角三角形，再利用勾股定理求解角三角形，再利用勾股定理求解知知2 2讲讲解：解：根据题意画出示意图，如图所示，根据题意画出示意图，如图所示，两棵树的高度分别为两棵树的高度分别为AB8 m，CD2 m，两棵树之间的距离两棵树之间的距离BD8 m，过点过点C作
24、作CEAB，垂足为，垂足为E，连接，连接AC.则则BECD2 m，ECBD8 m，AEABBE826(m)在在RtACE中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得AC2AE2EC2，即即AC26282100，所以，所以AC10 m.答：答：这只小鸟至少要飞这只小鸟至少要飞10 m知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1如图，一个长为如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚()A0.2 m B0.4 m C2 m D4 mC知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2 (中考中考安顺安顺)如图，
25、有两棵树，一棵高如图，有两棵树，一棵高10 m，另一，另一棵高棵高4 m，两树相距，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行()A8 m B10 m C12 m D14 mB 用拼图验证勾股定理的方法：用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理图形进行代数变形即可推导出勾股定理 它一般都经过以下几个步骤：它一般都经过以下几个步骤：拼出图形拼出图形写出图写出图形面积的表达
26、式形面积的表达式找出相等关系找出相等关系恒等变形恒等变形导出勾导出勾股定理股定理1.必做：完成教材必做：完成教材P6-7，习题，习题T1-T42.补充：请完成补充：请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第一章第一章 勾股定理勾股定理1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗1课堂讲解课堂讲解u由边的数量关系判定直角三角形由边的数量关系判定直角三角形u勾股数勾股数2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升问题问题1：在一个直角三角形中三条边满足什么样在一个直角三角形中三条边满足什么样 的关系呢？的关系呢？答：答：在一个直角三角形中两直角边的平方和在一个直
27、角三角形中两直角边的平方和 等于斜边的平方等于斜边的平方.问题问题2：如果一个三角形中有两边的平方和等于第如果一个三角形中有两边的平方和等于第 三边的平方，那么这个三角形是否就是直三边的平方，那么这个三角形是否就是直 角三角形呢？角三角形呢？1知识点知识点由边的数量关系判定直角三角形由边的数量关系判定直角三角形知知1 1导导做一做做一做 下面的每组数分别是一个三角形的三边长下面的每组数分别是一个三角形的三边长a,b,c,而且都满足而且都满足a2+b2=c2：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25.分别以每组数为三边长画出三角形，它们都是分别以每组数为三边长画出三角形，它们都
28、是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流.知知1 1讲讲1.直角三角形的判定：直角三角形的判定：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形知知1 1讲讲2利用边的关系判定直角三角形的步骤：利用边的关系判定直角三角形的步骤：(1)比较比较三边长三边长a，b，c的大小，的大小，找出找出最长边最长边(2)计算计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方两短边的平方和，看它是否与最长边的平方 相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对 的
29、角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三 角形角形知知1 1讲讲 例例1 一个零件的形状如图一个零件的形状如图1所示，按规定这个零所示，按规定这个零 件中件中A和和DBC都应为直角都应为直角.工人师傅量得工人师傅量得 这个零件各边尺寸如图这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符所示，这个零件符 合要求吗？合要求吗？图图2图图1知知1 1讲讲（来自教材）（来自教材）解：解：在在ABD中，中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以所以ABD是直角三角形，是直角三角形，A是直角是直角.在在BCD中，中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以所
30、以BCD是直角三角形，是直角三角形，DBC是直角是直角.因此，这个零件符合要求因此，这个零件符合要求.知知1 1讲讲 例例2 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在在ABC中，中，A25，C65；(2)在在ABC中，中，AC12，AB20，BC16；(3)一个三角形的三边长一个三角形的三边长a，b，c满足满足b2a2c2.导引：导引：判断一个三角形是不是直角三角形，如果条件与角判断一个三角形是不是直角三角形，如果条件与角 相关，则考虑用定义判断，如果条件与边相关，相关，则考虑用定义判断，如果条件与边相关，则考虑用边的关系判断第则考虑用边的关
31、系判断第(1)题可以直接根据直题可以直接根据直 角三角形的定义判断；第角三角形的定义判断；第(2)(3)题可以依据边的关题可以依据边的关 系判断系判断知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：(1)在在ABC中，因为中，因为ABC180，所以所以B180256590.所以所以ABC是直角三角形是直角三角形 (2)在在ABC中，因为中，因为AC2BC2122162202AB2，所以所以ABC是直角三角形，且是直角三角形，且C为直角为直角 (3)因为三角形的三边长满足因为三角形的三边长满足b2a2c2，即，即b2a2c2，所以此三角形是直角三角形，且所以此三角形是直角三角形，且b是斜边长是斜边长
32、警示：警示：判断一个三角形的形状时，除考虑是否为直角三角形判断一个三角形的形状时，除考虑是否为直角三角形 外，还要考虑是否为等腰三角形外，还要考虑是否为等腰三角形总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：(1)利用定义利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三，即如果已知条件与角度有关，可借助三 角形的内角和判断；角形的内角和判断；(2)利用直角三角形的判定条件利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有，即若已知条件与边有 关，一般通过计算得出三边的数量关系来判断，看关，一般通过计算得出三边的数量关系来
33、判断，看 是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方 知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）(中考中考淮安淮安)下列四组线段中，能组成直角三角形的下列四组线段中，能组成直角三角形的 是是()Aa1，b2，c3 Ba2，b3，c4 Ca2，b4，c5 Da3，b4，c512已知已知ABC的三边长分别为的三边长分别为5，12，13，则，则ABC 的面积为的面积为()A30 B60 C78 D无法确定无法确定DA知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3 如图，每个小正方形的边长均为如图，每个小正方形的边长均为1，则，则ABC是是()A直角三角形直角三角形 B
34、锐角三角形锐角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D等腰三角形等腰三角形A2知识点知识点勾股数勾股数知知2 2讲讲1.勾股数：勾股数：满足满足a2b2c2的的三个正整数三个正整数，称为勾股数，称为勾股数 常见的勾股数有：常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.知知2 2讲讲2判断勾股数的方法：判断勾股数的方法：(1)确定是不是三个正整数；确定是不是三个正整数；(2)确定最大数；确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方3易错警示：易错警示：勾股数勾股数必须同时满足两个条件必须同时满
35、足两个条件：(1)三个数都是正整数；三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方两个较小数的平方和等于最大数的平方知知2 2讲讲 例例3 下面四组数中是勾股数的一组是下面四组数中是勾股数的一组是()A6，7，8 B5，8，13 C1.5，2，2.5 D21，28，35导引：导引：根据勾股数的定义：满足根据勾股数的定义：满足a2b2c2的三个正的三个正 整数整数a，b，c称为勾股数称为勾股数 A627282，不是勾股数，故错误；，不是勾股数，故错误；B5282132，不是勾股数，故错误；，不是勾股数，故错误；C1.5和和2.5不是整数，所以不是勾股数，故错误；不是整数，所以不是勾股
36、数，故错误；D212282352，是勾股数，故正确，是勾股数，故正确 D（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）确定勾股数的方法：确定勾股数的方法：首先看首先看这三个数是不是正整数；这三个数是不是正整数；然后看然后看较小较小两个数的平方和是否等于最大数的平方记住常两个数的平方和是否等于最大数的平方记住常见的勾股数见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度可以提高解题速度知知2 2讲讲例例4 观察下面的表格所给出的三个数观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中，其中 abc.(1)试找出它们的共同点，并说明你的结论；试
37、找出它们的共同点，并说明你的结论；(2)当当a21时，求时，求b，c的值的值3，4，53242525，12，13521221327，24，25722422529，40，4192402412a，b，ca2b2c2知知2 2讲讲导引：导引：只要能够发现每组三个数之间的规律即可，这就只要能够发现每组三个数之间的规律即可，这就 需从不同的角度去观察、分析，运用从特殊到一需从不同的角度去观察、分析，运用从特殊到一 般的思想来解答般的思想来解答 解：解：(1)各组数的共同点：各组数的共同点：各组数均满足各组数均满足a2b2c2；最小数最小数a是奇数，其余的两个数是奇数，其余的两个数b，c是连续的是连续的
38、正整数；正整数；最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和知知2 2讲讲 由以上特点可猜想并说明这样一个结论：由以上特点可猜想并说明这样一个结论：设设x为大于为大于1的奇数，将的奇数，将x2拆分为两个连续正整数之和，拆分为两个连续正整数之和，即即x2y(y1)，则，则x，y，y1就能构成一组勾股数就能构成一组勾股数 理由：理由：因为因为x2y(y1)(x为大于为大于1的奇数的奇数)，所以所以x2y2y(y1)y2y22y1(y1)2.所以所以x，y，y1是一组勾股数是一组勾股数(2)运用以上结论，当运用以上结论，当a21时，时，212441220221.所
39、以所以b220，c221.（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）寻找与大于且等于寻找与大于且等于3的奇数组成勾股数的一种方法：的奇数组成勾股数的一种方法：先选一个大于先选一个大于1的奇数，然后把这个数的平方写成的奇数，然后把这个数的平方写成两个连续正整数的和，则这个奇数和分成的两个连续正两个连续正整数的和，则这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，如整数就构成了一组勾股数，如4522 0251 0121 013，则则45，1 012，1 013就是一组勾股数，运用此法可以得就是一组勾股数，运用此法可以得到许多组勾股数到许多组勾股数.知知2 2练练（来自（
40、来自典中点典中点）1 下列各组数中，不是勾股数的是下列各组数中，不是勾股数的是()A5，12，13 B7，24，25 C8，12，15 D3k，4k，5k(k为正整数为正整数)C知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）(中考中考眉山眉山)如图，每个小正方形的边长为如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则是小正方形的顶点，则ABC的度数为的度数为()A90 B60C45 D302C1.如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.2.勾股数：勾股数：满足满足a2+b2=c2的三个的三个正整数正整数
41、，称为，称为 勾股数勾股数.1.必做必做:完成教材完成教材P10-11，习题，习题 T1-T42.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第一章第一章 勾股定理勾股定理1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用1课堂讲解课堂讲解u利用勾股定理及直角三角形判定利用勾股定理及直角三角形判定求最值求最值u勾股定理及直角三角形的判定的勾股定理及直角三角形的判定的实际应用实际应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1、勾股定理的内容是什么？、勾股定理的内容是什么？2、勾股定理的逆定理是什么？、勾股定理的逆定理是什么？复复习习提提问问1知识点知识点利用
42、勾股定理及直角三角形判定求最值利用勾股定理及直角三角形判定求最值知知1 1导导如图所示，有一个圆柱，它的高等于如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的，底面上圆的周长等于周长等于18cm.在圆柱下底面的点在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点到上底面上与点A相对的点相对的点B处的食处的食 物，物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1）自己做一个圆柱，尝试从点）自己做一个圆柱，尝试从点A到到 点点B沿圆柱侧面画出几条路线，沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？你觉得哪条路线最短呢？知知1 1导导（2）如图所示，将圆
43、柱侧面剪开展成一个长方形，从点）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点 A到点到点B的最短路线是什么？你画对了吗？的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从点）蚂蚁从点A出发，想吃到点出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧处的食物，它沿圆柱侧 面爬行的最短路程是多少？面爬行的最短路程是多少？知知1 1讲讲求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：先将圆柱的侧面展开，确定两点的位置，两先将圆柱的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短路线，再在直角三角形中点连接的线段即为最短路线，再在直角三角形中，利用勾股定理求其长度即可利用勾股定理求其长度即可知知
44、1 1讲讲 例例1 如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面，底面 周长为周长为18 cm，在杯内离杯底，在杯内离杯底4 cm的点的点C处有一滴处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点与蜂蜜相对的点A处，处，则蚂蚁到蜂蜜的最短路则蚂蚁到蜂蜜的最短路 线长为线长为_15 cm知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）导引：导引：化曲为直，即将圆柱侧面适当展开成平面图形，化曲为直，即将圆柱侧面适当展开成平面图形，再结合轴对称的知识求解具体过程如下：再结合轴对称的知识求解具体过程如下：如图，作如图，
45、作CDFA于于D，作，作A关于关于EF的对称点的对称点A，连接连接AC，与，与EF交于交于B，则，则ABC为最短路线为最短路线 由题意知由题意知DC9 cm，FD8 cm，FA4 cm，在在RtADC中，中，AC2AD2DC2(FAFD)2 DC2(48)292225152，故故AC15 cm.因为因为ABBCABBCAC，所以最短路线长为所以最短路线长为15 cm.知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）1如图，在圆柱的轴截面如图，在圆柱的轴截面ABCD中，中，AB ，BC12，动点动点P从从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中的中 点点S的最短路程为的最短路程
46、为()A10 B12 C20 D14162知识点知识点勾股定理及直角三角形的判定的实际应用勾股定理及直角三角形的判定的实际应用知知2 2讲讲1.求长方体求长方体(或正方体或正方体)表面上两点间的最短路线长的方法表面上两点间的最短路线长的方法：先将长方体先将长方体(或正方体或正方体)的表面展成平面图形，展开时一的表面展成平面图形，展开时一 般要考虑各种可能的情况在各种可能的情况中，分别般要考虑各种可能的情况在各种可能的情况中，分别 确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求 其长度，长度最短的路线为最短路线其长度，长度最短的路线为最短路线知知
47、2 2讲讲 例例2 探究题探究题如图，长方体的高为如图，长方体的高为3 cm，底面是，底面是 正方形，其边长为正方形，其边长为2 cm.现有一只蚂蚁从现有一只蚂蚁从A处出处出 发，沿长方体表面到达发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最处，则蚂蚁爬行的最 短路线的长为短路线的长为()A4 cmB5 cm C6 cm D7 cmB知知2 2讲讲导引：导引：考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情 况，分类讨论求解如图，连接况，分类讨论求解如图，连接AC.在图在图中，中，AC2(22)23225；在图；在图中，中，AC222(3 2)229.因为因为2925，所
48、以蚂蚁爬行的最短路线，所以蚂蚁爬行的最短路线 的长为的长为5 cm.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1如图，正方体的边长为如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁沿正方体的，一只蚂蚁沿正方体的 表面从一个顶点表面从一个顶点A爬行到另一个顶点爬行到另一个顶点B，则蚂蚁，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是爬行的最短路程的平方是()A2 B3 C4 D5D知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2如图如图(单位：单位：dm)，一个三级台阶，它的每一级，一个三级台阶，它的每一级 的长、宽和高分别为的长、宽和高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和和B是这个台阶两个相对的点，是这个台阶两个相对的点，A点有
49、一只蚂蚁，点有一只蚂蚁，想到想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到到B点的最短路程是点的最短路程是_25知知2 2导导做一做做一做 李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边和边BC是否分别是否分别 垂直于底边垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得边）李叔叔量得边AD长是长是30cm，边边AB长是长是40cm,点点B,D之间的距之间的距 离是离是50cm,边边AD垂直于边垂直于边AB吗吗?（3）小明随身只有一个长度为）
50、小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验的刻度尺，他能有办法检验 边边AD是否垂直于边是否垂直于边AB吗？边吗？边BC与边与边AB呢？呢？1.在解一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，首在解一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，首 先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把 实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作直角实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作直角 三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求解三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求解2.在日常生活中，判断一个角是否为直角时，除了用三在日常生活中，判断一个角是否为直
