1、 3.1.2 3.1.2 导数的概念导数的概念引入：在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为度称为瞬时速度瞬时速度.又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平
2、均速度tthththv 9.41.13)2()2(t0时时,在在2,2+t 这段时这段时间内间内1.139.4tv1.139.4tv051.13v当t=0.01时,149.13v当t=0.01时,0951.13v当t=0.001时,1049.13v当t=0.001时,09951.13v当t=0.0001时,10049.13v当t=0.0001时,099951.13vt=0.00001,100049.13vt=0.00001,0999951.13vt=0.000001,1000049.13vt=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上
3、的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth 当当 t 趋近于趋近于0时时,即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边,还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时,平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.1.13 )2()2(lim0ththt 从物理的角度看从物理的角度看,时间间隔时间间隔|t|无限变小时无限变小时,平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.因此因此,运动员在运动员在 t=2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.v表示表
4、示“当当t=2,t趋近于趋近于0时时,平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.v从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度tthv9.41.13探探 究究:1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xyxxfxxfxx lim
5、)()(lim 0000称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 ,即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3说明：说明：)(xf0 x0 xxyxy0 x（1）函数）函数在点在点处可导，是指处可导，是指时，时，有极限如果有极限如果不存在极限，就说函数在不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数处不可导，或说无导数点点x是自变量是自变量x在在0 x处的改变量，处的改变量，0 x，而，而
6、y是函数值的改变量，可以是零是函数值的改变量，可以是零（2）由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数 y=f(x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2.求平均变化率求平均变化率3.求值求值);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxfxxfxy一差、二比、三极限一差、二比、三极限 例例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热.如果第如果第 x h时时,原油的温度原油的温度(单单位位:)为为 f(x)=x2 7x+15(0 x8)
7、.计算第计算第2h和第和第6h,原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.C解解:在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是)2(f).6(f 和和xfxf)2()2(根据导数的定义根据导数的定义,37)(42xxxxx所以所以,.3)3(limlim)2(00 xxffxx同理可得同理可得.5)6(f 在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5.它说它说明在第明在第2h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以3 /h的速率下降的速率下降;在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油
8、温度大约以5 /h的速率上升的速率上升.CC例例2 物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为：其其中位移单位是中位移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求：(1)物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度；(2)物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度；(3)物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度.221gts 解解:)(21_tggttsvs ss(2+t)Os(2)(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得:./5.2005.2_smgv (2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得:
9、./05.20005.2_smgv 的的极极限限为为：从从而而平平均均速速度度当当_,22,0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt 即物体在时刻即物体在时刻t0=2(s)的的瞬时速度瞬时速度等于等于20(m/s).当时间间隔当时间间隔t 逐渐变小时逐渐变小时,平均速度就越接近平均速度就越接近t0=2(s)时的时的瞬时速度瞬时速度v=20(m/s).练习:1.求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求y=f(x)-f()=6x+(x)2 再求再求6yxx0lim6xyx练习：2质量为kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，（）求运动开始后s时物体的瞬时速度；（）求运动开始后s时物体的动能。21()2Emv小结：1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量s=s(t+t)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限;svt00()().limlimxxss tts ttt 2由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限yx00()limxyf xx
