1、第12章 一次函数12.1 函数第1课时变量与函数万物皆变 行星在宇宙中的位置随时间而变化情境引入气温随海拔而变化汽车行驶里程随行驶时间而变化 为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.变量与函数一 我们生活在一个变化的世界，通常会看到在同一变化过程中，有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化,那我们如何来研究各种运动变化呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.问题1 如图，用热气球探测高空气象.当t=3min，h为650m 设热气球从海拔500m处的某地升空，它上升后到达的海拔高度h m与上升时间t min
2、的关系记录如下表：时间t/min01234567海拔高度h/m500550600650700750800850当t=2min，h为600m当t=1min，h为550m当t=0min，h为500m（1）计时一开始，热气球的高度是多少？（2）热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？（3）你能总结出h与t的关系吗？500m50m150m50m2=100m50m3=150m50m4=200m50mt=50tmh=500+50t（4）哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？保持不变的量（常量）热气球原先所在的高度500m气球上升的速度50m/min不断变化的量热气球升空的时间tmin气球升空的高度h
3、m（变量）因别人变化而变化的量_.自我发生变化的量_；（5）热气球上升的高度h与时间t，这两个变量之间有关系吗？th结论：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.时间t/min01234567海拔高度h/m500550600650700750800850典例精析例1 指出下列事件过程中的常量与变量(1)某水果店橘子的单价为5元千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是 ，变量是 ；(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C2r，其中常量是 ，变量是 ；(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是 ，变量是 ；5a，m
4、2，C，r注意：是一个确定的数，是常量52Sh52S，h指出下列变化过程中的变量和常量：（1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x L，车主加油付油费为 y 元；（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平均每天所看的页数为 n；（3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2 （4）若直角三角形中的一个锐角的度数为，则另一个锐角(度)与间的关系式是=90.练一练例2 阅读并完成下面一段叙述：某人持续以a米分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是,变量是.s米的路程不同的人以不同的速度a米分各需跑的时间为t分，其中常量是,变量是.3.根据上
5、面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：.在不同的条件下，常量与变量是相对的at，ssa,t 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.方法 问题2 下图是某市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线.O(1)你发现哪些变量？哪个是自变量？哪个是因变量？为什么？(3)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在 什么时刻达到的？(2)任意给出这一天中的某一时刻，如4.5h、20h，你能找到这 一时刻的用电负荷y MW（兆瓦）是多少吗？说明了什么？时间、负荷时间负荷因为负荷随时间的变化而变化.能，分别为10000MW、15000MW，说明t的值一确定，y的
6、值就唯一确定了.这一天的用电高峰在13.5h达到18000MW，用电低估在4.5h达到10000MW.问题3 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离.刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.2562vs (1)式中哪个量是常量？哪个量是变量？哪个量是自变 量？哪个量是因变量？某型号的汽车在平整路面上的刹车距离sm与车速vkm/h之间有下列经验公式：(2)当刹车时车速v 分别是40、80、120km/h时，相应的 滑行距离s分别是多少？当v40km/h时，s6.25m；当 v80km/h时，s25m；当 v120km/h时，s56.25m.256；s,
7、v；v；s.一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.要点归纳典例精析例3 下列关于变量x，y 的关系式：y=2x+3；y=x2+3；y=2|x|；y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.方法yx 一个x值有两个y 值与它对应例4 已知函数42.1xyx(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
8、解：（1）当x=2时，y=;当x=3时，y=;当x=-3时，y=7;（2）令 解得x=即当x=时，y=0.5212把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.42-2=22+142=01xx，121.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中，是常量，是变量，是 的函数.60s=60t t和sst2.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 .1302Qt3.写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数.（1）运动员在200米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的
9、时间t（秒）与跑步的速度v(米/秒)的关系式；（2）n边形的对角线条数s与边数n之间的关系式.解：（1），其中200是常量，v、t是变量，v是自变量，t是v的函数；（2），其中 ，-3是常量，s、n是变量，n是自变量，s是n的函数.vt2002)3(nns214.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；（2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积 y（单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化 解：（
10、1）S 是x的函数，其中x是自变量.（2）y 是n的函数，其中n是自变量.（3）y 不是x的函数.例如，到原点的距离为1的点对应实数1或-1,变量与函数常量与变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量课堂小结函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数1、必做题：见畅言教育本课时配套基础练习2、选做题：见畅言教育本课时配套提高练习和培优练习课后作业第2课时函数的表示方式回顾与思考下列问题中的变量y是不是x的函数？是（1）y=2x（2）y+2x=3是（3）y=不是xy（6
11、）是xy（7）不是x（4）y=x2（5）y2=x（8）y=x+5（9）y=x2+3z是是不是不是(x0)用列表法、解析法与图象法表示函数一回想上一节课研究的三个问题问题1：用热气球探测高空气象时间t/min01234567海拔高度h/m500550600650700750800850问题2：绘制用电负荷曲线问题3：汽车刹车问题22 5 6vs 由此你发现了什么？表示函数的一般方法列表法图象法解析法列表法解析法图象法定义实例优点通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法问题1具体反映了函数随自变量的数值对应关系用数学式子表示函数关系的方法问题3准确地反映了函数随自变量的数量关系用
12、图象来表示两个变量间的函数关系的方法问题2直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律函数三种表示方法的区别自变量的取值范围及求函数值二例1 求下列函数中自变量x的取值范围：（1）y=2x+4；（2）y=2x2；（3）（4）1;2yx3yx.解：（1）x为全体实数;（2）x为全体实数；（3）x2;（4）x3.典例精析（1）解析式是整式时，自变量取全体实数；（2）解析式是分式时,自变量的取值应使分母不为0；（3）解析式是平方根时，自变量取值范围应使被开方数大于 或等于0；（4）解决实际问题时,必须既符合理论又满足实际,特别注意：不要先化简关系式再求取值范围.方法归纳解：（1）当x=3时，y=2x+
13、4=23+4=10；（2）当x=3时，y=2x2=232=18；（3）当x=3时，例2 当x=3时，求下列中函数的函数值：如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.111;232yx30yx.（4）当x=3时，（1）y=2x+4；（2）y=2x2；（3）（4）1;2yx3yx.归纳一:函数关系式中自变量的取值范围一般主要考虑以下四种情况：函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；函数关系式为分式形式：分母0；函数关系式含算术平方根：被开方数0；函数关系式含0指数：底数0例3 一个游泳池内有水300 m3，现打开排水管以每小时25 m3的排出量排水.（1）写出游泳池内剩
14、余水量Q m3与排水时间th间的函数关系式；（2）写出自变量t的取值范围.排水后的剩水量Q m3是排水时间h的函 数，有Q=-25 t+300.池中共有300 m3水，每小时排水25 m3，故全部排完只需 30025=12（h），故自变量 t的取值范围是0t12.（3）开始排水后的第5h末，游泳池中还有多少水？（4）当游泳池中还剩150 m3水时，已经排水多长时间？当t=5，代入上式得Q=-525+300=175（m3），即第5h末池中还有水175 m3当Q=150m3时，由150=-25 t+300，得t=6h，即第6 h末池中有水150m3.【归纳二】实际问题中自变量的取值范围在实际问题中
15、确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：自变量自身表示的意义如时间、耗油量等不能为负数；问题中的限制条件此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围例4 如何作出y=2x+1的图象？解：列表：y=2x+1210-1-2x-3-1153函数的图象三 连线：描点：Oxy12345-4-3-2-131425-2-4-1-3 12xy作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线由函数表达式画图象的一般步骤：1.列表:分析函数自变量的取值范围，取自变量的一些值（间隔相同），算出y的对应值；2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标系内描出相应的 点；3.连线:分析函数图象的发展趋势（是直线还是曲线，有限还是无限）
16、按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线连接所描的各点,即得图象.注意：描出的点越多，图象就越精确.例5 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题：解：由图象可知：（1）小强出发0分钟时，爷爷已经爬山60米，因此小强让爷爷先上60米；（2）山顶离山脚的距离是300米，小强先爬上山；O（1）小强让爷爷先上多少米？（2）山顶高多少米？谁先爬上山顶？（3）因为小强和爷爷路程相等时是8分钟，所以小强用了8分钟追上爷爷；O（3）小强需多少时间追
17、上爷爷？小强爬山300米用了10分钟，速度为30米分，爷爷爬山（300-60）米=240米，用了10.5分钟，速度约为23米分，因此小强的速度大，大7米分.O（4）谁的速度大？大多少？当堂练习1.求下列函数中自变量x的取值范围：xy111xyxy 2xy54xyx0 x-1x0 x为一切实数x232xyx为一切实数2.某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，共用2小时.已知摩托车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（小时）的关系如下图所示.假设这辆摩托车每行驶100千米的耗油量为2升，根据图中提供的信息，这辆摩托车从甲地到乙地共耗油_升，请你用语言简单描述这辆摩托车行驶的过程.0.9解：先以30千米/时速度行驶1小 时，再休息半小时，又以同样速度行驶半小时到达乙地.3.小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20 min到达距离家800 m的公园，他在公园休息了10 min，然后用30 min原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离s（单位：m）与离家的时间t（单位：min）之间的函数关系图象大致是（）D 函数的表示方法列表法、解析法和图象法课堂小结自变量的取值范围使含自变量的等式有意义使实际问题有意义函数的表示方法图象法函数的图象从函数的图象中获取信息画函数图象课后作业1、必做题：见畅言教育本课时配套基础练习2、选做题：见畅言教育本课时配套提高练习和培优练习
