1、1.理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题；重点2.经历探索三角形全等的几种判定方法的过程，能进行合情推理;难点3.培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值难点学习目标导入新课导入新课回忆与思考问题1 判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？(1)“SAS:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(2)“ASA:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(3)“SSS:三边对应相等的两个三角形全等；(4)“AAS:两角及其一角对边对应相等的两个三角形全等；(5)“HL:斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.问题2 全等三角形有什么性质？(1)全等三角形对应角相等、对应边相
2、等；(2)全等三角形的面积、周长相等.思考：结合全等三角形的性质及全等三角形的判定，你能说说如何证明两条线段或角)相等？讲授新课讲授新课灵活选用合适的方法证明三角形全等一例1 如图，BCEC，BCEACD，要使ABC DEC，那么应添加的一个条件为_ (答案不唯一)解析：根据可知两个三角形已经具备有一角与一边对应相等，所以根据全等三角形的判定方法，可以添加一边或一角都可以得到这两个三角形全等假设根据“SAS判定时，那么可以添加ACDC；假设根据“ASA判定时，那么可以添加BE；假设根据AAS判定时，那么可以添加AD.或ADACDC或BE1一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或ASA判定全
3、等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用SAS判定全等假设添加另一边即这个角的对边，符合SSA的情形，不能判定三角形全等；2添加条件时，应结合判定图形和四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA的情形方法归纳例2：如图，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE.多次运用三角形全等的判定二DCABEF12证明 在ABC和CDA中，AB=CD,()BC=DA,()CA=AC,(公共边)ABC CDASSS)1=2全等三角形的对应角相等在ABC和CDA中例2：如图，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE.DC
4、ABEF12BC=DA,()1=2,()CF=AC,()BCF DAESAS)BF=DE全等三角形的对应角相等例3 证明：全等三角形对应边上的高相等.：如图，ABC ABC，AD、A D 分别是ABC 和ABC的高.求证：AD AD.ABCDA B C D 解：因为ABC ABC，所以AB=AB全等三角形对应边相等，ABD=ABD全等三角形对应角相等.因为ADBC，ADBC，所以ADB=ADB.在ABD和ABD中，ADB=ADB已证，ABD=ABD已证，AB=AB已证，所以ABDABD.所以AD=AD.ABCDA B C D 例4 如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCDC，E为AC上的一动
5、点(不与A重合)，在点E移动的过程中BE和DE是否相等？假设相等，请写出证明过程；假设不相等，请说明理由解：相等理由如下：在ABC和ADC中，ABAD，ACAC，BCDC，ABCADC(SSS)，DAEBAE.在ADE和ABE中，ABAD，DAEBAE，AEAE，ADEABE(SAS)，BEDE.此题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件此题要特别注意“SSA不能作为全等三角形一种证明方法使用方法总结例5 如图，CA=CB,AD=BD，M，N分别是CA，CB
6、的中点，求证：DM=DN.在ABD与CBD中证明:CA=CB (已知）AD=BD （已知）CD=CD （公共边）ACD BCDSSS连接CD，如下图；A=B又M，N分别是CA，CB的中点，AM=BN在AMD与BND中AM=BN (已证）A=B （已证）AD=BD （已知）AMD BNDSASDM=DN.当堂练习当堂练习 1.如图，AC=DB，ACB=DBC，那么有ABC ，理由是 ，且有ABC=，AB=；ABCDDCBSASDCBDC2.：如图，AB=AC,AD是ABC的角平分线，求证：BD=CD.证明：AD是ABC的角平分线，BAD=CAD，在ABD和ACD中，AB=ACBAD=CADAD=
7、AD ABD ACDSAS.(，(已证，(已证，BD=CD.：如图，AB=AC,BD=CD，求证：BAD=CAD.变式变式1证明：BAD=CAD，在ABD和ACD中，ABD ACDSSS.AB=ACBD=CDAD=AD(已知），(公共边），(已知），：如图，AB=AC,BD=CD，E为AD上一点，求证：BE=CE.变式变式2证明：BAD=CAD，在ABD和ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD(已知），(公共边），(已知），BE=CE.在ABE和ACE中，AB=ACBAD=CADAE=AE(已知），(公共边），(已证），ABD ACDSSS.ABE ACESAS.3.如图，CDAB于D点，B
8、EAC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分BAC.求证：OBOC.证明：BEAC，CDAB，ADCBDCAEBCEB90.AO平分BAC，12.在AOD和AOE中，AODAOE(AAS).OD=OE.ADC=AEB12OA=OA BDC=CEBBODCOEOD=OE 在BOD和COE中，BODCOE(ASA).OB=OC.3.如图，CDAB于D点，BEAC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分BAC.求证：OBOC.情境引入学习目标1.理解并掌握三角形的外角的概念2.能够在能够复杂图形中找出外角.难点3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和及三角形的内角和重点4.会利用三角形的
9、外角性质解决问题.导入新课导入新课复习引入1.在ABC中，A=80,B=52,那么C=.3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？48 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，它们的和是180.2.如图，在ABC中，A=70,B=60,那么ACB=，ACD=.ABCD50 130BDCAO40 70？问题：发现懒洋洋单独在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼那么直接在A处拦截懒洋洋，BAC=40，ABC=70.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？利用“三角形的内角和为180来求BCD，你会吗？思考：像BCD这样的角有什么特征吗
10、？猜测它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.BDCAO40 70？由三角形内角和易得BCA=180ACBA=70，所以BCD=180BCA=110.讲授新课讲授新课三角形的外角的概念一u定义如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.ACD是ABC的一个外角CBAD问题1 如图，延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外角？DCE是不是ABC的一个外角？E在三角形每个顶点处都有两个外角.ACD 与BCE为对顶角，ACD=BCE；CBADBCE是ABC的一个外角，DCE不是ABC的一个外角.问题2 如图，ACD与BCE有什么关系？在三角形
11、的每个顶点处有多少个外角？ABC画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢?每一个三角形都有6个外角 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.三角形的外角应具备的条件：角的顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形中一边的延长线.ACD是ABC的一个外角CBAD 每一个三角形都有6个外角总结归纳FABCDE如图,BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪个三角形的外角？EFD是哪个三角形的外角？BEC是AEC的外角;AEC是BEC的外角;EFD是BEF和DCF的外角.练一练三角形的外角ACBD相邻的内角相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质二问题1 如图，ABC的外角BC
12、D与其相邻的内角ACB有什么关系？BCD与ACB互补.问题2 如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(A，B)有什么关系？三角形的外角ACBD相邻的内角相邻的内角不相邻的内角A+B+ACB=180，BCD+ACB=180，A+B=BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？D证明：过C作CE平行于AB，ABC121=B，两直线平行，同位角相等 2=A，两直线平行，内错角相等ACD=1+2=A+B.E：如图，ABC，求证：ACD=A+B.验证结论如图 ，试比较2、1的大小；如图 ，试比较3、2、1的大小.图图解：2=1+B,21.解：2=1+B,3=2+D,321.拓展探究推论3：三角形的外角
13、等于与它不相邻的两个内角的和.推论4：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.ABCDB+C=CADCAD B，CAD C归纳总结u三角形内角和定理的推论练一练：说出以下图形中1和2的度数：ABCD(80 60(21(1)ABC(2150 32(2)1=40,2=140 1=18,2=130 例1 如图,A=42,ABD=28,ACE=18,求BFC的度数.BEC是AEC的一个外角，BEC=A+ACE，A=42，ACE=18，BEC=60.BFC是BEF的一个外角，BFC=ABD+BEF，ABD=28，BEC=60，BFC=88.解：FACDEB典例精析例2 如图，P为ABC内一点，BPC15
14、0，ABP20，ACP30，求A的度数解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出A的度数E解：延长BP交AC于点E，那么BPC，PEC分别为PCE，ABE的外角，BPCPECPCE，PECABEA，PECBPCPCE 15030120.APECABE12020100.【变式题】(一题多解)如图，A=51，B=20，C=30，求BDC的度数.ABCD(51 20 30 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.ABCD(20 30 解法一：连接AD并延长于点E.在ABD中，1+ABD=3，在ACD中，2+ACD=4.因为BDC=3+4，BA
15、C=1+2，所以BDC=BAC+ABD+ACD =51+20+30 =101.E)12)3)4你发现了什么结论？ABCD(51 20 30 E)1解法二：延长BD交AC于点E.在ABE中，1=ABE+BAE，在ECD中，BDC=1+ECD.所以BDC=BAC+ABD+ACD=51+20+30=101.解法三:连接延长CD交AB于点F解题过程同解法二.)2F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.总结三角形的外角和三例3 如图，BAE,CBF,ACD是ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得B
16、AE=2+3，CBF=1+3,ACD=1+2.又知又知1+2+3=180，所以所以BAE+CBF+ACD=2(1+2+3)=360.ABCEFD(213你还有其他解法吗？解法二：如图，BAE+1=180 ，CBF+2=180 ，ACD+3=180 ，又知1+2+3=180，+得BAE+CBF+ACD+(1+2+3)=540，所以BAE+CBF+ACD=540-180=360.ABCEFD(213解法三：过A作AM平行于BC，3 4BC1234A2 BAM，所以 1 2 3 1 4 BAM=360M2 3 4BAM，结论：三角形的外角和等于360.思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？DE
17、F当堂练习当堂练习 1.判断以下命题的对错判断以下命题的对错.1三角形的外角和是指三角形的所有外角的和三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.2三角形的外角和等于它的内角和的三角形的外角和等于它的内角和的2倍倍.3三角形的一个外角等于两个内角的和三角形的一个外角等于两个内角的和.4三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5三角形的一个外角大于任何一个内角三角形的一个外角大于任何一个内角.6三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.2.如图，AB/CD，A37,C63，那么F 等于 FABECDA.
18、26B.63C.37D.60A3.1如图，BDC是_ 的外角,也是 的外角；(2)假设B=45，BAE=36,BCE=20,试求AEC的度数.ABCDEADEADC解：根据三角形外角的性质有ADC=B+BCE,AEC=ADC+BAE.所以AEC=B+BCE+BAE =45+20+36=101.解：因为ADC是ABD的外角.4.如图，D是ABC的BC边上一点,B=BAD,ADC=80，BAC=70，求：1B 的度数；2C的度数.在ABC中，B+BAC+C=180，C=180-40-70=70.所以ADC=B+BAD=80.又因为B=BAD，AB18040,2B所以CDABCDE12FG解：1是FBE的外角,1=B+E,同理2=A+D.在CFG中,C+1+2=180,A+B+C+D+E=180.5.如图，求A+B+C+D+E的度数.能力提升：123BACPNMDEF6.如图，试求出ABCDEF=_.360
