1、1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【知识提炼知识提炼】1.1.多面体的表面积多面体的表面积(1)(1)多面体的表面积多面体的表面积.各个面各个面展开图展开图(2)(2)旋转体的表面积旋转体的表面积.rr2 22r2rl2r2rl+2r+2r2 2rr2 2rrlrrl+r+r2 2rr2 2rr2 2l(r+r)(r+r)(r(r2 2+r+r2 2+r+rl+r+rl)2.2.体积公式体积公式(1)(1)柱体柱体:柱体的底面面积为柱体的底面面积为S,S,高为高为h,h,则则V=_.V=_.(2)(2)锥体锥体:锥体的底面面积为锥体的底面面积为S,S,高为高
2、为h,h,则则V=_.V=_.(3)(3)台体台体:台体的上台体的上,下底面面积分别为下底面面积分别为S,S,S,S,高为高为h,h,则则V=V=_._.1Sh31(SSSS)h3ShSh【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题:(1)(1)如何求圆锥的侧面展开图的弧长如何求圆锥的侧面展开图的弧长?提示提示:圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长.(2)(2)求圆柱、圆锥、圆台的表面积时求圆柱、圆锥、圆台的表面积时,要求的关键量是什么要求的关键量是什么?提示提示:求圆柱、圆锥的表面积时求圆柱、圆锥的表面积时,关键是求其母线长与底面的半径关键
3、是求其母线长与底面的半径;求求圆台的表面积时圆台的表面积时,关键是求其母线长与上、下底面的半径关键是求其母线长与上、下底面的半径.(3)(3)简单组合体分割成几个几何体简单组合体分割成几个几何体,其表面积如何变化其表面积如何变化?其体积呢其体积呢?提示提示:表面积变大了表面积变大了,而体积不变而体积不变.2.2.棱长为棱长为3 3的正方体的表面积为的正方体的表面积为()A.27 B.64 A.27 B.64 C.54 C.54 D.36 D.36【解析解析】选选C.C.根据表面积的定义根据表面积的定义,组成正方体的表面共组成正方体的表面共6 6个个,且每个都且每个都是边长为是边长为3 3的正方
4、形的正方形.从而从而,其表面积为其表面积为6 63 32 2=54.=54.3.3.圆台的上、下底面半径分别为圆台的上、下底面半径分别为3 3和和4,4,母线长为母线长为6,6,则其表面积等于则其表面积等于 ()A.72 B.42 A.72 B.42 C.67 C.67 D.72 D.72【解析解析】选选C.SC.S表表=(3(32 2+4+42 2+3+36+46+46)=676)=67.4.4.一个高为一个高为2 2的圆柱的圆柱,底面周长为底面周长为2.2.该圆柱的该圆柱的表面积为表面积为.【解析解析】由底面周长为由底面周长为22可得底面半径为可得底面半径为1.1.S S底底=r=r2 2
5、=,S=,S侧侧=2r=2rh=4,h=4,所以所以S S表表=2S=2S底底+S+S侧侧=6.=6.答案答案:665.5.若一个几何体的三视图如图所示若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为则此几何体的体积为.【解析解析】由三视图可判断该几何体为直六棱柱由三视图可判断该几何体为直六棱柱,其底面积为其底面积为4,4,高为高为1,1,所以体积为所以体积为4.4.答案答案:4 4【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积观察如图所示内容观察如图所示内容,回答下列问题回答下列问题:问题问题1:1:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积各是什么棱柱、棱锥
6、、棱台的侧面积和表面积各是什么?问题问题2:2:旋转体的侧面积和表面积应如何求解旋转体的侧面积和表面积应如何求解?【总结提升总结提升】1.1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,其侧面展开图分别是平行四边形、其侧面展开图分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形,侧面展开图的面积就是侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积棱柱、棱锥、棱台的侧面积.(2)(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的棱柱、棱锥、棱台的表面积等于
7、它们的侧面积与各自的底面积的和和.2.2.旋转体的侧面积与表面积的求解旋转体的侧面积与表面积的求解(1)(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式可直接使用公式.但像但像圆台的表面积公式比较复杂圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆不要求记忆,因此因此,表面积的求解方法是表面积的求解方法是最重要的最重要的.(2)(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母应根据条件计算旋转体的母线长和底面圆的半径长线长和底面圆的半径长.(3)(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路这些公式的
8、推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要主要通过空间观念等有关知识通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题将立体几何问题转化为平面几何问题.知识点知识点2 2 柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积观察图形观察图形,回答下列问题回答下列问题:观察以下几何体的体积表达式观察以下几何体的体积表达式:问题问题1:1:等底、等高的两个柱体的体积有什么关系等底、等高的两个柱体的体积有什么关系?等底、等高的圆柱等底、等高的圆柱和圆锥呢和圆锥呢?问题问题2:2:柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?【总结提升总结提升】对柱体、锥体、台
9、体的体积公式的四点说明对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)(1)等底、等高的两个柱体的体积相同等底、等高的两个柱体的体积相同.(2)(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出,等等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3 3倍倍.(3)(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)(4)求台体的体积转化为求锥体的体积求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行根据台体的定义进行“补形补形”,还原为锥体还原为锥体,采用采用“大锥体大锥体”减去减
10、去“小锥体小锥体”的方法求台体的体积的方法求台体的体积.【题型探究题型探究】类型一类型一 柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积【典例典例】1.(20151.(2015陕西高考陕西高考)一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示,则该几则该几何体的表面积为何体的表面积为()A.3 B.4 A.3 B.4 C.2+4 C.2+4 D.3+4 D.3+42.(20152.(2015潍坊高一检测潍坊高一检测)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则则等边圆锥的侧面积是底面积的等边圆锥的侧面积是底面积的()A.4A.4倍倍 B.3B.3倍倍 C.C.
11、倍倍 D.2D.2倍倍23.(20153.(2015重庆高二检测重庆高二检测)某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示,则该几何体的则该几何体的表面积为表面积为()A.180 B.200 A.180 B.200 C.220 C.220 D.240 D.240【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中几何体是什么几何体中几何体是什么几何体?提示提示:此几何体为半个圆柱体此几何体为半个圆柱体.2.2.典例典例2 2中等边圆锥的母线和底面半径有什么关系中等边圆锥的母线和底面半径有什么关系?提示提示:等边圆锥的母线长是底面半径的等边圆锥的母线长是底面半径的2 2倍倍.3.3.典例典例3 3中该几
12、何体是什么几何体中该几何体是什么几何体?提示提示:结合三视图可知该几何体为四棱柱结合三视图可知该几何体为四棱柱,且侧棱和底面垂直且侧棱和底面垂直.【解析解析】1.1.选选D.D.该几何体为圆柱体的一半该几何体为圆柱体的一半,可得上下两个半圆的表面可得上下两个半圆的表面积积S S1 1=r=r2 2=,=,侧面积侧面积S S2 2=2=22+2+2r2r2=2+4,2=2+4,所以此几何体的所以此几何体的表面积表面积S=SS=S1 1+S+S2 2=+2+4=3+4.=+2+4=3+4.2.2.选选D.D.由已知得由已知得l=2r,=2r,122Sr2.Srr侧底 ll3.3.选选D.D.几何体
13、为直四棱柱几何体为直四棱柱,其高为其高为10,10,底面是上底为底面是上底为2,2,下底为下底为8,8,高为高为4 4的等腰梯形的等腰梯形,所在底面面积为所在底面面积为 (2+8)(2+8)4 42=40.2=40.四个侧面的面积和为四个侧面的面积和为(2+8+5(2+8+52)2)10=200.10=200.所以四棱柱的表面积为所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.S=40+200=240.12【方法技巧方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧空间几何体的表面积的求法技巧(1)(1)多面体的表面积是各个面的面积之和多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)(2)组合体的表面积应注意重合部
14、分的处理组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.【变式训练变式训练】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 3倍倍,母线长为母线长为3,3,圆台的侧面积为圆台的侧面积为84,84,则圆台较小底面的半径为则圆台较小底面的半径为()A.7 B.6 A.7 B.6 C.5 C.5 D.3 D.3【解析解析】选选A.A.设圆台较小底面的半径为设圆台
15、较小底面的半径为r,r,则另一底面半径为则另一底面半径为3r.3r.由由S=(r+3r)S=(r+3r)3=84,3=84,解得解得r=7.r=7.类型二类型二 柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积【典例典例】1.1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是侧面积是16 ,16 ,则圆则圆锥的体积是锥的体积是()264128A.B.C.64 D.128 2332.2.已知一个三棱台的两底面是边长分别为已知一个三棱台的两底面是边长分别为20cm20cm和和30 cm30 cm的正三角形的正三角形,侧侧面是全等的等腰梯形面是全等的等腰梯形,且其侧面积等于两底面面积
16、之和且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高和求棱台的高和体积体积.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中求圆锥体积的关键是什么中求圆锥体积的关键是什么?提示提示:求圆锥体积的关键是知道圆锥的底面半径和高求圆锥体积的关键是知道圆锥的底面半径和高.2.2.典例典例2 2中中,要求三棱台的体积要求三棱台的体积,应先求出哪些量应先求出哪些量?提示提示:三棱台的高与上、下底面的面积三棱台的高与上、下底面的面积.【解析解析】1.1.选选A.A.设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为l,底面半径为底面半径为r,r,高为高为h(h(如图所示如图所示),),则由题意得则由题意得l=r,h=r,=r,h=r,因
17、为因为S S圆锥侧圆锥侧=r=rl=r=r r=16 ,r=16 ,所以所以r=4,r=4,l=h=r=4,=h=r=4,所以所以V V圆锥圆锥=r=r2 2h=h=4 42 24=.4=.22213136434 2，2.2.如图所示如图所示,三棱台三棱台ABC-ABCABC-ABC中中,O,O,O,O为两底面的中心为两底面的中心,D,D、DD是是BCBC、BCBC的中点的中点,则则DDDD是梯形是梯形BCCBBCCB的高的高,所以所以S S侧侧=(20+30)=(20+30)DDDD3=75DD.3=75DD.又又AB=20,AB=30,AB=20,AB=30,则上、下底面面积之和为则上、下
18、底面面积之和为S S上上+S+S下下=(20=(202 2+30+302 2)=325 .)=325 .由由S S侧侧=S=S上上+S+S下下得得,75DD=325 ,75DD=325 ,所以所以DD=.DD=.1234313333在直角梯形在直角梯形OODDOODD中中,OD=5OD=5 ,OD=,OD=,ODOD,ODODOO=OO=4=4即棱台的高为即棱台的高为h=4h=4 cm.cm.由棱台的体积公式由棱台的体积公式,可得棱台的体积为可得棱台的体积为V=V=(S+S+(S+S+)=310 3322D D(ODO D)2213 310 3()5 3)33(h3SS2234 3333(20
19、3020 30)1 900 cm344433【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)典例典例1 1中将条件中将条件“侧面积是侧面积是16 ”16 ”改为改为“若其体积为若其体积为 ”,”,求此圆锥的侧面积是多少求此圆锥的侧面积是多少?23【解析解析】设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为l,底面半径为底面半径为r,r,高为高为h,h,则由题意得则由题意得l=r,h=r,=r,h=r,因为因为V V圆锥圆锥=r=r2 2h=rh=r2 2r=,r=,所以所以r=,r=,l=,=,所以所以S S圆锥侧圆锥侧=r=rl=21313336363 2.2.(2.(变换条件变换条件
20、)典例典例1 1中若将中若将“侧面积侧面积”改为改为“底面积底面积”,求此圆锥的体求此圆锥的体积是多少积是多少?【解析解析】设底面半径为设底面半径为r,r,高为高为h,h,由题意得由题意得h=r.h=r.因为因为S S底底=r=r2 2=16 ,=16 ,所以所以h=r=4 ,h=r=4 ,所以所以V=SV=S底底h h=16 16 4 =.4 =.242131324246483【方法技巧方法技巧】求几何体体积的常用方法求几何体体积的常用方法(1)(1)公式法公式法:直接代入公式求解直接代入公式求解.(2)(2)等积法等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面例如四面体的任何一个面都可以作为
21、底面,只需选用底面只需选用底面积和高都易求的形式即可积和高都易求的形式即可.(3)(3)补体法补体法:将几何体补成易求解的几何体将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱如棱锥补成棱柱,棱台补成棱台补成棱锥等棱锥等.(4)(4)分割法分割法:将几何体分割成易求解的几部分将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积分别求体积.【补偿训练补偿训练】如图如图,已知底面半径为已知底面半径为r r的圆柱被一个平面所截的圆柱被一个平面所截,剩下部剩下部分母线长的最大值为分母线长的最大值为a,a,最小值为最小值为b,b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是那么圆柱被截后剩下部分的体积是.【解题指南解题指南】解答本题可
22、采用补体代入体积公式求解解答本题可采用补体代入体积公式求解.【解析解析】两个同样的该几何体能拼接成一个高为两个同样的该几何体能拼接成一个高为a+ba+b的圆柱的圆柱,则拼接成则拼接成的圆柱的体积的圆柱的体积V=rV=r2 2(a+b),(a+b),所以所求几何体的体积为所以所求几何体的体积为 .答案答案:2rab22rab2类型三类型三 简单组合体的体积与表面积简单组合体的体积与表面积【典例典例】1.(20151.(2015重庆高考重庆高考)某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示,则该几何则该几何体的体积为体的体积为()A.+B.A.+B.+C.C.+2+2 D.D.+2+21323
23、13232.2.如图所示如图所示,一圆柱内挖去一个圆锥一圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的顶点是圆柱底面的圆心圆锥的顶点是圆柱底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的另一个底面圆锥的底面是圆柱的另一个底面.圆柱的母线长为圆柱的母线长为6,6,底面半径为底面半径为2,2,则则该组合体的表面积等于该组合体的表面积等于.【解题探究解题探究】典例中几何体分别是什么典例中几何体分别是什么?【提示提示】典例典例1 1中的几何体是三棱锥和半个圆柱构成的组合体中的几何体是三棱锥和半个圆柱构成的组合体;典例典例2 2中的几何体为一个圆柱中挖去一个圆锥的组合体中的几何体为一个圆柱中挖去一个圆锥的组合体.【解析解析】1.1.选选A.
24、A.由三视图可知由三视图可知,该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体组合体.由图中数据可知由图中数据可知,三棱锥的体积为三棱锥的体积为V V1 1=1 12 21=1=,半个圆柱的体积为半个圆柱的体积为V V2 2=1 12 22=2=,所以几何体的体积为所以几何体的体积为 +.13121313122.2.挖去的圆锥的母线长为挖去的圆锥的母线长为 则圆锥的侧面积等于则圆锥的侧面积等于4 .4 .圆柱的侧面积为圆柱的侧面积为222 26=24,6=24,圆柱圆柱的一个底面面积为的一个底面面积为2 22 2=4,=4,所以组合体的表面积为所以组合体的表面积为4 +2
25、44 +24+4=(4 +28).+4=(4 +28).答案答案:(4 +28)(4 +28)22622 10，10101010【方法技巧方法技巧】求组合体的表面积与体积的方法求组合体的表面积与体积的方法(1)(1)分析结构特征分析结构特征.弄清组合体的组成形式弄清组合体的组成形式,找准有关简单几何体的关键量找准有关简单几何体的关键量.(2)(2)设计计算方法设计计算方法.根据组成形式根据组成形式,设计计算方法设计计算方法,特别要注意特别要注意“拼接面拼接面”面积的处理面积的处理.利利用用“切割切割”“”“补形补形”的方法求体积的方法求体积.(3)(3)计算求值计算求值.根据设计的计算方法求值
26、根据设计的计算方法求值.【变式训练变式训练】已知某几何体的三视图如图已知某几何体的三视图如图,其中正其中正(主主)视图中半圆的视图中半圆的半径为半径为1,1,则该几何体的体积为则该几何体的体积为()3A 24B 24C 24D 24232 【解题指南解题指南】先根据三视图判断该几何体的形状后再求体积先根据三视图判断该几何体的形状后再求体积.【解析解析】选选A.A.该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体,其体积等于其体积等于3 32 24-34-3 1 12 2=24-=24-123.2【补偿训练补偿训练】已知一个棱长为已知一个棱长为2 2的正方体的正方体,被一
27、个平面截后所得几何体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示的三视图如图所示,则该几何体的体积是则该几何体的体积是()A.8 B.A.8 B.C.C.D.D.203173143【解析解析】选选C.C.如图所示如图所示,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是分别是AB,ADAB,AD的中的中点点,则该几何体是正方体则该几何体是正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1截取三棱台截取三棱台AEF-AAEF-A1 1B B1 1D D1 1后剩余后剩余的部分的部分,则该几何体的体积则该几何体的体积V=VV
28、=V正方体正方体-V-V三棱台三棱台=2=23 3-2=.2=.1311(22)22173易错案例易错案例 组合体表面积的计算组合体表面积的计算【典例典例】一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示(单位单位:m),:m),则该几何体的表面则该几何体的表面积为积为_m_m3 3.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程分析解题过程,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗?提示提示:解答本题失误的根本原因是未减去圆锥与圆柱重叠部分的面积解答本题失误的根本原因是未减去圆锥与圆柱重叠部分的面积.【自我矫正自我矫正】由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体由三视图可以得到原几何
29、体是一个圆柱与圆锥的组合体.所以其表面积所以其表面积S S=2=21 14+4+1 12 2+2 22 2 +2 22 2-1 12 2=8+4 +4-=12+4 (=8+4 +4-=12+4 (m m3 3).).答案答案:(12+4 (12+4 )2222【防范措施防范措施】1.1.图形的转化图形的转化由三视图转化为直观图在解题中起到关键作用由三视图转化为直观图在解题中起到关键作用,在转化过程中注意图在转化过程中注意图中各个数据的对应关系中各个数据的对应关系,如本例中由三视图中的数据可得出圆锥、圆如本例中由三视图中的数据可得出圆锥、圆柱的高及底面半径柱的高及底面半径.2.2.特殊情况的处理特殊情况的处理在求几何体的表面积时在求几何体的表面积时,要搞清几何体的特征要搞清几何体的特征,注意分割、拼补的技巧注意分割、拼补的技巧,如在本例中几何体的表面积实质上是圆锥的表面积减去圆柱一个底面如在本例中几何体的表面积实质上是圆锥的表面积减去圆柱一个底面的面积加圆柱的侧面积再加圆柱的一个底面积的面积加圆柱的侧面积再加圆柱的一个底面积.
