1、2.2.3待定系数法1.了解待定系数法的概念.2.掌握用待定系数法求函数的解析式.3.理解待定系数法的适用范围及注意事项.121.待定系数法的概念一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.12归纳总结利用待定系数法解题的关键是依据已知条件,正确列出含有未知系数的等式.运用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决.要判断一个问题是否能用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式
2、,如果具有,就可以用待定系数法求解,其基本步骤如下:(1)设出含有待定系数的解析式;(2)根据恒等条件,列出含待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组求出待定系数,从而使问题得到解决.12【做一做1-1】若正比例函数f(x)的图象经过点(-2,6),则f(x)的解析式为.解析:依题意设f(x)=kx(k0),则6=k(-2),解得k=-3,故f(x)=-3x.答案:f(x)=-3x【做一做1-2】已知6x2-x-1=(2x-1)(ax+b),则a=,b=.解析:因为(2x-1)(ax+b)=2ax2+(2b-a)x-b,所以6x2-x-1=2ax2+(2b-a)x-b,答案:311212【
3、做一做2-1】已知抛物线经过点(-3,2),顶点是(-2,3),则抛物线的解析式为()A.y=-x2-4x-1 B.y=x2-4x-1C.y=x2+4x-1 D.y=-x2-4x+1解析:设所求解析式为y=a(x+2)2+3(a0).因为抛物线过点(-3,2),所以2=a+3,解得a=-1.所以y=-(x+2)2+3=-x2-4x-1.答案:A12【做一做2-2】已知二次函数的图象过(0,1),(2,4),(3,10)三点,则这个二次函数的解析式为.解析:根据题意设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a0),然后将图象所经过的三个点的坐标分别代入方程,确定二次函数解析式所需要的条件剖析
4、:二次函数解析式的求法有以下几种情况:(1)已知三点坐标,求解析式.可将函数解析式设为y=ax2+bx+c(a0).将点的坐标分别代入所设解析式,列出关于a,b,c的三元一次方程组,解出a,b,c即可;(2)已知顶点坐标为(m,n),可设y=a(x-m)2+n,再借助其他条件求a;(3)已知对称轴方程为x=m,可设y=a(x-m)2+k,再借助其他条件求a与k;(4)已知最大值或最小值为n,可设y=a(x-h)2+n,再借助其他条件求a和h;(5)已知二次函数的图象与x轴只有一个交点,可设y=a(x-h)2,再借助其他条件求a和h;(6)已知二次函数图象与x轴有两个交点x1,x2,可设y=a(
5、x-x1)(x-x2),再借助其他条件求a.题型一题型二【例1】求下列函数的解析式:(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).(3)已知二次函数y=f(x)的图象过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,求这个二次函数的解析式.分析:对于(1)小题,可设 对于(2)小题,可设出一次函数f(x)=ax+b(a0);对于(3)小题,可设出二次函数的顶点式或一般式,利用待定系数法求出解析式.题型一题型二题型一题型二题型一题型二反思利用待定系数法求函数的解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式,再由已知条件列方
6、程或方程组,然后求出待定系数即可.当已知函数的类型,如二次函数、一次函数、反比例函数等,可以设出所求函数的一般形式.例如,y=ax2+bx+c(a0),y=kx+b(k0),等.设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行,注意简化解题过程.题型一题型二【变式训练1】(1)若一次函数f(x)的图象经过P(3,-2)和Q(-1,2)两点,求其解析式;(2)二次函数f(x)的图象与x轴相交于点(-2,0)和(4,0),且其最小值为-18,求f(x)的解析式.题型一题型二题型一题型二【例2】如图所示,函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求函数的解析式.分析:由图象可知:函数图象由两条射线及抛物线的一部
7、分组成;当x1或x3时,函数解析式可设为y=kx+b(k0);当1x3时,函数解析式可设为y=a(x-2)2+2(a0)或y=ax2+bx+c(a0).题型一题型二解:设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(k0,x1).解得k=-1,b=2.所以左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x1).同理可求x3时,函数的解析式为y=x-2(x3).当1x3时,抛物线对应的函数为二次函数.方法一:设函数解析式为y=a(x-2)2+2(1x3,a0),则f(g(x)=g2(x)=(kx+b)2=k2x2+2kbx+b2=4x2-20 x+25,比较系数可得k=2,b=-5.故g(x)=2x-5.答案:2x-51 2 3 4 5 65已知抛物线y=ax2(a0)与直线y=kx+1(k0)交于两点,其中一个交点为(1,4),则另一个交点为.1 2 3 4 5 66已知二次函数f(x)图象的对称轴是直线x=-1,并且经过点(1,13)和(2,28),求二次函数f(x)的解析式.解:设f(x)=a(x+1)2+k(a0).由题意,得f(1)=13,f(2)=28,解得a=3,k=1,故f(x)=3(x+1)2+1.
